Symetrie molekul nepřechodných prvků (30 minut)

Teoretický základ

Intuitivně asi každý tušíme, co to znamená, když o nějakém předmětu řekneme, že je symetrický. Myslíme tím, že je vyvážený, co se proporcí a prostorového uspořádání týče. V přesnějším, matematickém smyslu je symetrický každý objekt, který je invariantní vůči nějaké operaci symetrie. Touto operací může být např. rotace o daný úhel nebo reflexe přes nějakou rovinu. Tou invariancí pak myslíme to, že daný objekt je identický před provedením dané operace a po něm. Rozlišujeme dva základní pojmy:

Prvek symetrie – bod, přímka nebo rovina (případně jejich kombinace), pomocí nichž provádíme operaci symetrie. Prvek symetrie nemusí odpovídat žádnému reálnému útvaru v molekule, např. bod nemusí ležet v místě žádného atomu.

Operace symetrie – matematická transformace souřadnic každého bodu objektu, kterou provádíme pomocí prvků symetrie.

Řešený příklad:

Na následujícím obrázku je molekula cis-1,2-dichlorethylenu (C₂H₂Cl₂). Určete, zda je tato molekula invariantní vůči rotaci o 180° okolo červené osy c₂ a vůči reflexi přes oranžovou rovinu σ.

Řešení: Jestliže molekulou otočíme okolo červené osy, pak se zamění poloha zelených chlorů a bílých vodíků. Protože poznáme, že se s molekulou něco stalo (byla otočena), v naznačeném směru neprochází molekulou žádná osa c₂.
Při zrcadlení přes rovinu σ se atomy vodíku (bílý), uhlíku (šedý) i chloru (zelený) nad rovinou σ zobrazí do svých protějšků pod rovinou σ a naopak. Molekula je tedy invariantní vůči zrcadlení přes rovinu σ.

Prvky symetrie (operace symetrie) a jejich označení

V této části zavedeme základní prvky symetrie a operace symetrie k nim přiřazené.

Identita (identita) E

Identita je základní prvek (a zároveň i operace) symetrie, kterou nalezneme v každém předmětu, i v tom sebeméně symetrickém. Nauka o symetrii je obor matematiky a jako takový potřebuje svoji obdobu jedničky nebo nuly. K tomu slouží právě identita.

n-četná rotační osa (rotace) c_n

Jestliže se vzhled nějakého předmětu nezmění, pootočíme-li jím o úhel 2π/n, pak tento předmět obsahuje n-četnou rotační osu. Možná snazší než určit úhel je spočítat, kolikrát je nutno daným předmětem pootočit, než se dostane do výchozí polohy. Toto číslo pak odpovídá četnosti n. Je zřejmé, že osa s vysokou četností může být zároveň i osou s nějakou nižší četností, např. šestičetná osa (n = 6) je zároveň dvojčetná a trojčetná (6 = 2x3), obecně každá osa se sudou četností je zároveň osou dvojčetnou. Existuje i četnost n = ∞. Nalezneme ji u lineárních molekul. Pokud je v daném směru v molekule přítomno více os o různé četnosti, budeme uvádět jen tu s nejvyšší hodnotou n.

Osu s nejvyšší četností n nazýváme osou hlavní.

Molekula benzenu C6H6 s vyznačením polohy šestičetné osy c6 (nalevo, kolmo k rovině molekuly). Možné rotace okolo této osy (vpravo). Šestičetná rotace je vyznačena černě. Osa c6 je zároveň osou c2 (rotace vyznačena červeně) a c3 (rotace vyznačena zeleně).

Rovina symetrie (reflexe) σ

Jestliže lze daný předmět rozdělit rovinou na dvě přesně stejné poloviny, pak tuto rovinu nazýváme rovinou symetrie. Pokud je daný předmět dvojrozměrný (např. planární molekula benzenu), pak rovina, v níž tento předmět leží, je zároveň rovinou symetrie – každý bod se zobrazí sám do sebe.

Molekula vody H2O obsahuje dvě roviny symetrie, které jsou navzájem kolmé.

Střed symetrie (inverze) i

Střed symetrie je bod, ležící v polovině vzdálenosti mezi všemi dvojicemi stejných atomů v dané molekule.

Střed symetrie (zeleně uprostřed vazby C–C) v molekule ethanu C2H6 (ve střídavé konformaci). Barevné šipky naznačují operaci inverze mezi šesti atomy vodíku; stejný vztah samozřejmě platí i mezi oběma atomy uhlíku.

Několik poznámek na závěr

Prvky symetrie budete hledat v běžných anorganických molekulách. Pro jejich správné nalezení potřebujete bezpodmínečně znát tvar dané molekuly určený podle principu VSEPR.

Povšimněte si, že prvek symetrie nemusí obsahovat žádný hmotný bod molekuly – např. šestičetná osa v benzenu prochází středem uhlíkového cyklu, ale neleží na ní žádný atom ani vazba.

Výše jsou uvedeny jen základní prvky symetrie (E, i, c_n, σ) a jim přiřazené operace. Obou je samozřejmě více; s některými dalšími se setkáte v předmětu OACh II, kde bude nauka o symetrii rozšířena ještě o určování grupy symetrie, do níž daná molekula patří.

Řešený příklad:

Nalezněte prvky symetrie v molekule BH₃.

Řešení:
Nejprve musíme určit tvar molekuly. V tomto případě se jedná o planární molekulu tvaru rovnostranného trojúhelníku.
Je patrné, že osou s nejvyšší četností bude trojčetná rotační osa kolmá na rovinu molekuly.
Vedle trojčetné osy obsahuje molekula boranu další tři osy dvojčetné. Každá tato osa obsahuje jednu vazbu B–H a půlí úhel mezi zbylými dvěma vazbami B–H.
Protože je molekula boranu planární, obsahuje rovinu symetrie ležící v rovině molekuly.
Vedle toho obsahuje molekula BH3 tři další roviny. Všechny jsou kolmé na rovinu molekuly, obsahují jednu vazbu B–H a půlí úhel mezi zbylými dvěma vazbami B–H. Na prvním obrázku je znázorněna poloha jedné této roviny. Druhý obrázek pak ukazuje všechny tři tyto roviny a jejich polohu vůči rovině molekuly.

Shrňme si tedy nyní všechny nalezené prvky symetrie: E, c₃, 3c₂, 4σ.

Příklady k procvičení

Příklad 1: Určete, zda zadaná molekula obsahuje daný prvek symetrie.

Fluorid xenoničitýi	tvar: čtverecobsahuje Zobraz skrytý blok
Bromid‑chlorid thionyluσ	tvar: deformovaná trigonální pyramidaneobsahuje Zobraz skrytý blok
Chlorid křemičitýc2	tvar: tetraedrobsahuje 3 (každá půlí úhel mezi dvěma protilehlými dvojicemi vazeb Si–Cl, na obrázku je vyznačena poloha jedné z těchto os) Zobraz skrytý blok
Amonný kationc4	tvar: tetraedrneobsahuje Zobraz skrytý blok
Trifluoraminσ	tvar: trigonální pyramidaobsahuje 3 (každá rovina obsahuje jednu vazbu N–F a půlí úhel mezi zbývajícími dvěma vazbami) Zobraz skrytý blok
Fluorid sírovýc3	tvar: oktaedrobsahuje 4 (procházejí středem protilehlých stěn oktaedru; na obrázku není molekula SF6, ale oktaedr s vyznačenou polohou všech čtyř trojčetných os) Zobraz skrytý blok

Na stránkách Otterbein University (anglicky) lze procvičovat hledání prvků symetrie v různých molekulách. V menu Symmetry Gallery se po výběru konkrétní molekuly tato molekula zobrazí (je nutno mít nainstalovaný applet Jmol), lze v ní vykreslit přítomné prvky symetrie a provést danou operaci symetrie (tlačítko Animate). Menu Symmetry Challenge pak nabízí možnost procvičit si hledání konkrétních prvků symetrie (Otázka: "Obsahuje daná molekula určitý prvek symetrie?"; Odpověď "Ano/Ne"). Určení výsledné grupy symetrie už však není náplní kurzu OACh I.

Obrázky použité v této kapitole byly generovány na stejné stránce (zdroj: Symmetry@Otterbein Home Page. https://symotter.org/ (accessed July 18, 2022)).