Kvadratické rovnice

Teoretické minimum

Kvadratickou rovnicí s neznámou @i\ x@i rozumíme rovnici, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar @b ax^2+bx+c=0,\qquad a,b,c\in\mathbb{R}, a\neq 0.@b Výrazy @i\ ax^2,\ bx,\ c\ @i se nazývají kvadratický člen, lineární člen, absolutní člen kvadratické rovnice.

O počtu kořenů rovnice @i\ ax^2+bx+c=0@i, kde @i\ a\neq 0@i, v oboru reálných čísel, resp. komplexních čísel, rozhoduje diskriminant @i D=b^2-4ac@i. Kvadratická rovnice má:

• pro @i\ D>0\ @i dva různé reálné kořeny @i\ x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt D}{2a}@i,  @i\ x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt D}{2a}@i
  
• pro  @i\ D=0\ @i jeden reálný kořen (dvojnásobný kořen) @i\ x_{1,2}=-\,\dfrac{b}{2a}@i,
  
• pro @i\ D<0\ @i nemá reálné kořeny, má dva komplexně sdružené kořeny @i\ x_{1}=\dfrac{-b+ i\sqrt{|D|} }{2a}@i, @i\ x_{2}=\dfrac{-b- i\sqrt{|D|} }{2a}@i.

Jsou-li @i\ x_1, x_2\ @i kořeny kvadratické rovnice @i\ ax^2+bx+c=0@i, kde @i\ a\neq 0@i, resp. rovnice @i\ x^2+px+q=0@i (rovnice v normovaném tvaru), platí: @b\begin{array}{rclrcl} x_1+x_2&=&-\dfrac ba,\qquad &x_1\cdot x_2&=&\dfrac ca, \quad {\rm resp.}\\[3mm]  x_1+x_2&=&-p, &x_1\cdot x_2&=&q.\end{array} @b

Související

Mnohočleny, kvadratické nerovnice, kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel, kvadratická funkce.

Řešené příklady

Řešte kvadratickou rovnici @i\  x^2-11x+24=0\ @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i

Pro rovnici platí @i\ a=1,\ b=-11,\ c=24@i. Vypočteme diskriminant: @i\ D=(-11)^2-4\cdot 1\cdot 24=121-96=25@i. Rovnice má dva reálné kořeny @bx_1=\dfrac{11+\sqrt{25}}{2}=8,\qquad x_2=\dfrac{11-\sqrt{25}}{2}=3\qquad \Longrightarrow\quad K=\{3,8\}.@b




Řešte kvadratickou rovnici @i\  x^2-2x+10=0\ @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i

Pro rovnici platí @i\ a=1,\ b=-2,\ c=10@i. Vypočteme diskriminant: @i\ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 10=4-40=-36<0@i. Rovnice nemá reálné kořeny, tj. @i\ K=\emptyset@i.




Řešte kvadratickou rovnici @i\  3x^2+3(x-2)=x-2(x+3)\ @i s neznámou @ix\in\mathbb{R}.@i

Zbavíme se závorek na levé i pravé straně rovnice

@b \begin{array}{r c l} 3x^2+3x-6&=& x-2x-6 ,\\ 3x^2+3x-6&=&-x-6. \end{array}@b

Převedeme všechny členy na jednu stranu rovnice


@b 3x^2 +4x =0.@b


Jedná se tedy o kvadratickou rovnici bez absolutního členu, vytknutím @ix@i převedeme na rovnici v součinovém tvaru.

@b \begin{array}{r c l} x(3x+4)&=& 0 ,\\  3x\cdot(x+\frac43)&=&0. \end{array}@b

Součin dvou činitelů je roven nule, pokud je roven nule aspoň jeden z nich, tedy rovnici řeší @ix_1=0@i a @ix_2=-\frac43,@i

@bK = \Bigl\{ -\frac43,0\Bigr\}.@b

 Užitečná poznámka: Kvadratickou rovnici lze řešit též přes diskriminant, takový postup je ale v tomto případě nepoměrně složitější.




Řešte kvadratickou rovnici @i\  4x^2-7=0\ @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i

Jedná se o kvadratickou rovnici bez lineárního členu, kterou převedeme pomocí vzorce @i\ A^2-B^2=(A-B)\cdot(A+B)@i na  rovnici v součinovém tvaru. @b\begin{array}{rcl}(2x)^2-(\sqrt 7)^2&=&0\\[2mm] (2x-\sqrt7)\cdot(2x+\sqrt7)&=&0\end{array}@b 

Součin dvou činitelů je roven nule, pokud je roven nule aspoň jeden z nich, tedy rovnici řeší @i\ x_1=\dfrac{ \sqrt7} 2@i a @i\ x_2=-\dfrac{\sqrt 7}2,@i

@bK = \Bigl\{ -\frac{\sqrt 7}2,\frac{\sqrt 7}2\Bigr\}.@b

 Pozor, častá chyba: Kvadratickou rovnici lze řešit osamostatněním členu @i\ x^2@i na levé straně rovnice a následným odmocněním celé rovnice. @b\begin{array}{rcl}x^2&=&\dfrac 74 \\[2mm]\sqrt{x^2}&=&\sqrt{\dfrac74}\\[2mm]|x|&=&\dfrac{\sqrt 7}2\\[2mm]x_{1,2}&=&\pm\dfrac{\sqrt 7}2.\end{array}@b  Zapomíná se na absolutní hodnotu! @i\ \sqrt{x^2}=|x|@i. Ztratí se tak kořen rovnice.




Řešte kvadratickou rovnici @i\  x^2+9=0\ @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i

Rovnici lze ekvivalentně psát ve tvaru @bx^2 = -9.@b Levá strana rovnice je vždy nezáporná, pravá strana je záporná. Rovnice nemá řešení. Můžeme se přesvědčit, že diskriminant rovnice je záporný, @i D = 0^2 - 4\cdot9\cdot1= -36 @i.

@bK = \emptyset.@b

 Pozor, častá chyba:  Polynom @i\ x^2+9@i nemá kořeny, nelze ho rozložit na součin. Platí @i\ (x+3)(x-3)=x^2-9@i a @i\ (x+3)(x+3)=(x+3)^2=x^2+6x+9@i.                  

Neřešené příklady

Řešte rovnici  @i\ x^2 -16 = 0@i s neznámou @ix\in \mathbb{R}@i.


Výsledek


Rovnice má dvě řešení @iK =\{-4,4\}.@i

Řešte rovnici @i\  2x-x^2=0@i s neznámou @ix\in \mathbb{R}@i.


Výsledek


Rovnice má dvě řešení @i K =\{0,2\}.@i

Řešte rovnici @i\  2(x^2+1)=3-x@i s neznámou @ix\in \mathbb{R}@i.


Výsledek


@b 2x^2+2=3-x @b @b 2x^2+x-1=0 @b Rovnice má dvě řešení @i K =\Bigl\{-1,\dfrac12\Bigr\}.@i

Řešte rovnici @i\  2-x(2+x)= 1-2x(x+3) @i s neznámou @ix\in \mathbb{R}@i.


Výsledek


@b 2-2x-x^2 =1-2x^2-6x @b @b x^2+4x+1=0,@b @b D=16-4\cdot1=12,@b @bx_{1,2} = \dfrac{-4\pm\sqrt{12}}{2\cdot1} = \dfrac{-4\pm\sqrt{4\cdot3}}{2} = \dfrac{-4\pm2\sqrt{3}}{2} = \dfrac{2(-2\pm\sqrt{3})}{2} = -2\pm \sqrt{3}. @b Rovnice má dvě řešení @i x = -2\pm \sqrt{3} @i

Řešte rovnici @i\ (2x-3) 2\sqrt{x} =\dfrac{ 1-2x}{\sqrt{x}} @i s neznámou @ix\in \mathbb{R}@i.


Výsledek


Rovnice má smysl pouze pro @b x>0 . @b Rovnici upravíme @b (4x-6) \sqrt{x}\sqrt{x} = 1-2x @b @b (4x-6)x- 1+2x=0 @b @b 4x^2-6x- 1+2x=0 @b @b 4x^2-4x- 1=0 , @b vyřešíme přes diskriminant @b D=16+4\cdot4=32,@b @bx_{1,2} = \dfrac{+4\pm\sqrt{32}}{2\cdot4} = \dfrac{4\pm\sqrt{2\cdot16}}{2\cdot 4 } = \dfrac{4(1\pm\sqrt{2})}{2\cdot 4} = \dfrac{1\pm\sqrt{2}}{2}. @b Protože @i \dfrac{1-\sqrt{2}}{2 }<0 @i a není tedy splněna výše uvedená podmínka, má původní rovnice jediné řešení @i K =\Bigl\{ \dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\Bigr\}. @i