Mnohočleny

Teoretické minimum

Algebraickým výrazem rozumíme každý zápis, který je správně vytvořen podle pravidel pro zápisy čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí.

Je-li @i x @i reálná proměnná (písmeno ve významu libovolného reálného čísla), @i n @i dané přirozené číslo, @i a_0,a_1, \ldots ,a_n @i dané reálné konstanty (čísla) a @i a_n\neq 0 @i, výraz

@b a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_1x+a_0@b

nazýváme reálným polynomem (mnohočlenem) @i n @i-tého stupně proměnné @i x @i. Čísla  @i a_0,a_1, \ldots ,a_n @i nazýváme koeficienty polynomu, jednotlivé sčítance @i a_{i}x^{i},i=1\ldots n\ @i členy polynomu a @i a_0 @i absolutní člen.

1. Rovnost polynomů

Rozhodněte, pro jaká reálná čísla @i a, b @i se polynomy @i\  x+3 @i, @i\  (a+b)x-2a-b\ @i rovnají. Dva polynomy se rovnají právě tehdy, když se rovnají koeficienty u stejných mocnin @i x @i. Tedy rovnost

@b (a+b)x-2a-b= x+3 @b

nastane právě tehdy, když

@b\begin{array}{r c l}
      a+b&=& 1\\
   -2a-b &=& 3
 \end{array}@b

Soustavu vyřešíme tak, že rovnice sečteme: @i -a=4@i. Odtud @i a=-4 @i. Za neznámou @i a @i v první rovnici dosadí @i -4+b=1 @i, tedy @i b=5@i.

2. Sčítání, odčítání

Je intuitivní.

3. Násobení polynomů

Vynásobte mnohočleny @i\, x^3-2x,\ 3-x^2@i. Všechny členy prvního mnohočlenu vynásobíme každým členem druhého mnohočlenu a vzniklé součiny sečteme. @b(x^3-2x)\cdot(3-x^2)=x^3(3-x^2)-2x(3-x^2)=3x^3-x^5-6x+2x^3=-x^5+5x^3-6x@b

Výsledný mnohočlen jsme uspořádali sestupně podle mocniny proměnné.

4. Dělení polynomů 

Dělení @b \dfrac {x^4+x^3+2x^2+8x}{x^2+2x} = (x^4+x^3+2x^2+8x):(x^2+2x),\qquad x\neq 0\,\wedge\, x\neq -2 @b můžeme provést, neboť čitatel (dělenec) @i x^4+x^3+2x^2+8x @i  je stupně @i n=4\geq1 @i a jmenovatel (dělitel) @i x^2+2x @i  je polynom stupně @i m=2\leq 4 @i.  Postup dělení můžeme rozepsat do několika bodů:

  • Oba polynomy jsou uspořádané sestupně podle mocniny proměnné. Tak to musí být.
  • Člen dělence s nejvyšším stupněm @i x^4 @i dělíme členem dělitele s nejvyšším stupněm @i x^2 @i, výsledek dělení je první člen hledaného podílu  @i \dfrac {x^4}{x^2}=x^2@i.
  • Prvním členem podílu vynásobíme dělitele @i x^2\cdot(x^2+2x)=x^4+2x^3@i a výsledek zapíšeme pod dělenec (stejné mocniny pod sebe) a odečteme. Rozdíl @i -x^3+2x^2+8x @i je opět polynom.
  • Celý postup opakujeme pro tento  nový polynom  @i -x^3+2x^2+8x @i. Jestliže rozdíl má stupeň menší než dělitel, dělení ukončíme a rozdíl prohlásíme za zbytek po dělení. V našem případe je zbytek nula.

Celý postup dělení vypadá takto:


Podobný příklad dělení se zbytkem (pro @i\, x\neq -1@i):



 Nakonec je rozdíl @i 2 @i. Dělení ukončíme. Je stupně menšího než dělitel @i\ x+1\ @i. Zbytek přičteme k podílu ve tvaru @i\ \dfrac 2{x+1}@i. Udělejme zkoušku. Obě strany rovnosti vynásobme dělitelem @i\ x+1\ @i. Vpravo máme polynom @i\ 2x^2\ @i a vlevo

@b\left( 2x-2+\dfrac 2{x+1} \right) (x+1)=(2x-2)(x+1)+2=2x^2+2x-2x-2+2=2x^2.@b

Tedy levá strana se rovná pravé.

5. Umocňování a rozklad polynomů na součin

Nazpaměť je třeba znát vzorce

@b \begin{aligned}(a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\  (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\\ a^2-b^2 &=  (a-b)(a+b)\end{aligned}@b

Užitečná poznámka: Měli bychom vědět, že také existují následující  vzorce 

@b \begin{aligned}(a+b)^3 &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ (a-b)^3 &= a^3-3a^2b+3ab^2+b^3\\ a^3+b^3 &=  (a+b)(a^2-ab+b^2)\\ a^3-b^3&=(a-b)(a^2+ab+b^2)\end{aligned}@b

Pravdivost každého vzorce snadno sami dokážete. Např. @i\, (a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2@i.


Rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů

Kvadratická rovnice @i \ 2x^2+3x-2=0\ @i má dva kořeny @i\ x_1=-2\ @i a  @i\ x_2=\dfrac 12 @i. O tom se můžeme přesvědčit dosazením do rovnice: @i \ 2\cdot(-2)^2+3\cdot(-2)-2=8-6-2=0\ @i a @i \ 2\cdot \left(\frac 12\right)^2+3\cdot\frac 12-2=\frac 12+\frac 32-2=0 @i. Polynom @i \ 2x^2+3x-2\ @i můžeme rozložit na součin

@b  \fbox{2}x^2+3x-2=\fbox{2}\cdot(x+2)\cdot\left(x-\dfrac 12\right).\ @b

Popišme si rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů obecně. Pokud má kvadratická rovnice @i\ ax^2+bx+c=0\  @i kořeny @i \ x_1, x_2\ @i (platí @i \ a\neq 0\  @i a @i\ b^2-4ac\geq 0\  @i ), potom kvadratický trojčlen @i\ ax^2+bx+c\  @i rozložíme na součin takto:

@b \fbox{a}x^2+bx+c=\fbox{a}\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2).@b

Obě strany rovnice  @i\ ax^2+bx+c=0\  @i vydělíme nenulovou konstantou @i\ a\ @i a přejmenujeme koeficienty  @i\ \dfrac ba=p\ @i a  @i\ \dfrac ca=q @i.  Máme rovnici   @i\ x^2+px+q=0\ @i v normovaném tvaru, která má stejné kořeny @i \ x_1, x_2\ @i . Polynom  @i\ x^2+px+q\ @i rozložíme na součin

@b x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2). @b

Nyní pravou stranu rovnosti roznásobíme @i\ (x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\ @i a porovnáme s polynomem @i\ x^2+px+q\ @i na levé straně rovnosti, tedy

@b\begin{array}{r c l}
      x_1+x_2&=& -p\\
       x_1x_2 &=& q
 \end{array}.@b

Tyto vztahy nazýváme Vietovy vzorce. Je to možnost, jak kořeny kvadratické rovnice v normovaném tvaru uhodnout.

Doplnění kvadratického trojčlenu na čtverec (na úplnou druhou mocninu)

Nyní budeme využívat vzorec @i\ a^2 \pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\ @i. Doplníme polynom @i\ x^2+3x-1\ @i na čtverec tak, že jeho první dva členy převedeme na tvar odpovídající prvním dvěma členům levé strany vzorce. Tak zjistíme, kolik je hodnota konstanty @i\ b\ @i (@i\ a=x\ @i). Pak připíšeme @i\ b^2 @i. Nezapomínejme, že hodnotu výrazu nesmíme změnit.

@bx^2+3x-1=x^2+\fbox{2}\cdot x\cdot \dfrac 3{\fbox{2}}+\fbox{$\left(\dfrac 32\right)^2-\left(\dfrac 32\right)^2$}-1=\left(x+\dfrac 32\right)^2-\dfrac 94-1=\left(x+\dfrac 32\right)^2-\dfrac {13}4.@b

Obecně platí

@b x^2+px+q=\left(x+\dfrac p2\right)^2-\dfrac{p^2}4+q.@b

Užitečná poznámka: Výrazy upravujeme tak, aby to bylo výhodné pro případný další výpočet. Např. funkci @i {f(x)= x^2-4x +3} @i  můžeme upravit na ekvivalentní tvar @b {x^2-4x+3 =(x-1)(x-3)}, @b  odkud snadno určíme průsečíky grafu funkce s osou @ix@i, tedy @ix=1,\:3@i ale také ji můžeme upravit na tvar @b x^2-4x +3 = x^2-4x +4-1 = (x-2)^2-1, @b který je výhodnější pro určení souřadnic vrcholu paraboly, jež tvoří graf funkce @iV =[2,-1].@i

Pozor, častá chyba: Dělení polynomů @i\ \dfrac{2x+1}{x^2+9}\ @i se nerovná @i\ \dfrac {2x}{x^2}\cdot \dfrac 19.@i  Stupeň polynomu v čitateli je menší než stupeň polynomu ve jmenovateli, nedělíme. Ani jmenovatel nelze rozložit na součin. 


Pozor, častá chyba:  @i\ x^2+9\ @i se nerovná @i\ (x+3)\cdot (x+3)\ @i.  Polynom @i\ x^2+9\ @i nemá v oboru reálných čísel kořeny.  @b\ (x+3)\cdot (x+3)=(x+3)^2=x^2+6x+9. @b


Pozor, častá chyba:  @i\ \dfrac{2}{1+2x}\ @i se nerovná @i\ \dfrac {1}{1+x}.@i  Ve jmenovateli musíme nejprve dvojku vytknout a pak můžeme krátit. @b \dfrac{2}{1+2x} =\dfrac{2}{2(\frac 12+x)} =\dfrac 1{\frac 12+x}.@b 

Pozor, častá chyba: @i\ \dfrac{\sqrt x-(3+x)\cdot \frac 12\cdot \frac 1{\sqrt x}}{(\sqrt x)^2}\ @i se nerovná @i\ \dfrac {\sqrt x-(3+x)}{2\sqrt x\cdot x}.@i  V čitateli nejprve musíme @i\ \frac 1{2\sqrt x}\ @i vytknout.  @b\ \dfrac{\sqrt x-(3+x)\cdot \frac 12\cdot \frac 1{\sqrt x}}{(\sqrt x)^2}=\dfrac{ \dfrac{2\sqrt x \sqrt x-(3+x)}{2\sqrt x}}{x}=\dfrac{2x-(3+x)}{2\sqrt x \cdot x}.@b


Související

Lineární lomená funkce, parciální zlomky, integrování racionální lomené funkce, kvadratická rovnice.

Řešené příklady

  1. Pro @i a\neq 0, 1@i sečtěte @i\dfrac{1}{1-a} - \dfrac{2a+1}{a^2-a}+\dfrac{3}{a}@i.
  2. Nejprve rozložíme jmenovatel druhého zlomku na kořenové činitele vytknutím @ia@i, dále převedeme zlomky na nejmenší společný jmenovatel.

    @b \dfrac{1}{1-a} - \dfrac{2a+1}{a^2-a}+\dfrac{3}{a}  = \dfrac{-1}{a-1} - \dfrac{2a+1}{a(a-1)}+\dfrac{3}{a}  = \dfrac{-a}{a(a-1)} - \dfrac{2a+1}{a(a-1)}+\dfrac{3(a-1)}{a(a-1)} . @b

    Nyní můžeme zlomky sečíst. Všimněte si, že zlomek funguje jako závorka.

    @b \dfrac{1}{1-a} - \dfrac{2a+1}{a^2-a}+\dfrac{3}{a}  =  \dfrac{-a- (2a+1)+3(a-1)}{a(a-1)}  =  \dfrac{-a- 2a-1+3a-3}{a^2-a}  = \dfrac{-4}{a^2-a} . @b

  3. Pro @i x \notin \{-2,0,2,3\}@i zjednodušte výraz @i \dfrac{3-x}{x^2-4} \cdot \dfrac{2+x}{2x-6} - \dfrac{x+1}{6x} @i.
  4. Provedeme násobení. Kde je to možné rozložíme výrazy na součiny a krátíme.

    @b  \dfrac{3-x}{x^2-4} \cdot \dfrac{2+x}{2x-6} - \dfrac{x+1}{6x}   = \dfrac{(3-x)\cdot(2+x)}{(x-2)(x+2) \cdot 2 (x-3)} - \dfrac{x+1}{6x}  =  \dfrac{(-1)}{(x-2) \cdot 2 } - \dfrac{x+1}{6x} .@b

     Dále převedeme na nejmenšího společného jmenovatele, odečteme a odstraníme závorky.

    @b  \dfrac{3-x}{x^2-4} \cdot \dfrac{2+x}{2x-6} - \dfrac{x+1}{6x}   = \dfrac{(-1)\cdot 3x}{6x(x-2)} - \dfrac{(x+1)(x-2)}{6x(x-2)} =  \dfrac{-3x - (x^2 +x-2x-2)}{6x(x-2)} =  \dfrac{-3x - (x^2 -x-2)}{6x(x-2)} = \dfrac{-x^2 -2x+2}{6x^2-12x} .@b

    Pokud by to bylo z hlediska případného dalšího výpočtu výhodné, můžeme ještě podělit polynomy

    @b \dfrac{-x^2 -2x+2}{6x^2-12x}  =(-x^2 -2x+2):(6x^2-12x) = -\dfrac{1}{6} + \dfrac{-2x+1}{3x^2-6x} @b

  5. Určete pro jakou hodnotu parametru @i p @i se polynomy @i\:  x^2-3x+2 \: @i a @i\: 6+p(x-4) + (x-4)^2\: @i rovnají.
  6. Závorky ve druhém polynomu roznásobíme, členy seřadíme sestupně podle mocnin @ix. @i @b 6+p(x-4) + (x-4)^2 = 6 + px-4p +x^2 -8x+16 = x^2 + px-8x + 22-4p = x^2 + (p-8) x + (22-4p).@b Rovnost @i x^2-3x+2 = x^2 + (p-8) x + (22-4p)@i bude splněna pro všechna @ix@i, pokud se rovnají jednotlivé koeficienty, tedy @b\begin{array}{r c l}
          1 &=&\: 1\\
       p-8 &=& -3 \\
       22-4p &=&\: 2
     \end{array}@b Úloha má jediné řešení @i p=5.@i


Neřešené příklady

  1. Pro @i x\notin \{ 0, \:2 \}@i zjednodušte výraz @i\: \dfrac{2(x-1)(2-x)+4}{2x-x^2}-2 @i
  2. Zjednodušte výraz @i \dfrac{a^3-b^2a}{b(b-a^2)+a(b+ab)} @i. Určete, kdy má výraz smysl.
  3. Pro @i x\neq -2@i vydělte @i (x^3-2x+8):(x+2) @i.
  4. Pro @ix\neq0 @i upravte výraz @i \dfrac{x}{x-\dfrac{1}{x+\frac{1}{x}}} @i.
  5. Výsledek

Last modified: Wednesday, 12 August 2020, 12:05 PM