Kvadratické rovnice

Teoretické minimum

Kvadratickou rovnicí s neznámou @i\ x@i rozumíme rovnici, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar @b ax^2+bx+c=0,\qquad a,b\in\mathbb{R}, a\neq 0.@b Výrazy @i\ ax^2,\ bx,\ c\ @i se nazývají kvadratický člen, lineární člen, absolutní člen kvadratické rovnice.

O počtu kořenů rovnice @i\ ax^2+bx+c=0@i, kde @i\ a\neq 0@i, v oboru reálných čísel, resp. komplexních čísel rozhoduje diskriminant @i D=b^2-4ac@i. Kvadratická rovnice má:

  • pro @i\ D>0\ @i dva různé reálné kořeny @i\ x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt D}{2a}@i,  @i\ x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt D}{2a}@i
  • pro  @i\ D=0\ @i jeden reálný kořen (dvojnásobný kořen) @i\ x_{1,2}=-\,\dfrac{b}{2a}@i,
  • pro @i\ D<0\ @i nemá reálné kořeny, má dva komplexně sdružené kořeny @i\ x_{1}=\dfrac{-b+ i\sqrt{|D|} }{2a}@i, @i\ x_{2}=\dfrac{-b- i\sqrt{|D|} }{2a}@i.


Užitečná poznámka:
Uvědomme si, že počet reálných kořenů rovnice @i\ ax^2+bx+c=0,\ a\neq 0@i je roven počtu průsečíků paraboly @i\ y=ax^2+bx+c\ @i s osou @i\ x@i.


Jsou-li @i\ x_1, x_2\ @i kořeny kvadratické rovnice @i\ ax^2+bx+c=0@i, kde @i\ a\neq 0@i, resp. rovnice @i\ x^2+px+q=0@i (rovnice v normovaném tvaru), platí: @b\begin{array}{rclrcl} x_1+x_2&=&-\dfrac ba,\qquad &x_1\cdot x_2&=&\dfrac ca, \quad {\rm resp.}\\[3mm]  x_1+x_2&=&-p, &x_1\cdot x_2&=&q.\end{array} @b


Užitečná poznámka: 
Kvadratickou rovnici bez absolutního členu @i\ ax^2+bx=0,\ a\neq 0@i vždy převedeme na rovnici v součinovém tvaru @i\ x(ax+b)=0@i. Kořenem je vždy nula a druhý kořen snadno dopočteme. Kvadratická rovnice bez lineárního členu @i\ ax^2+c=0,\ a> 0@i  nemá kořen, pokud @i\ c>0@i. Je-li @i\ c=0@i, rovnice má dvojnásobný kořen @i\ x=0@i. Je-li @i\ c <0@i, rovnici převedeme na součinový tvar podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin  @i\ A^2-B^2=(A-B)(A+B) @i.


Související

Mnohočlenykvadratické nerovnice, kvadratické rovnice v oboru komplexních čísel, kvadratická funkce.


Řešené příklady

  1. Řešte kvadratickou rovnici @i\  x^2-11x+24=0\ @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i
  2. Pro rovnici platí @i\ a=1,\ b=-11,\ c=24@i. Vypočteme diskriminant: @i\ D=(-11)^2-4\cdot 1\cdot 24=121-96=25@i. Rovnice má dva reálné kořeny @bx_1=\dfrac{11+\sqrt{25}}{2}=8,\qquad x_2=\dfrac{11-\sqrt{25}}{2}=3\qquad \Longrightarrow\quad K=\{3,8\}.@b


  3. Řešte kvadratickou rovnici @i\  x^2-2x+10=0\ @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i
  4. Pro rovnici platí @i\ a=1,\ b=-2,\ c=10@i. Vypočteme diskriminant: @i\ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 10=4-40=-36<0@i. Rovnice nemá reálné kořeny, tj. @i\ K=\emptyset@i.


  5. Řešte kvadratickou rovnici @i\  3x^2+3(x-2)=x-2(x+3)\ @i s neznámou @ix\in\mathbb{R}.@i
  6. Zbavíme se závorek na levé i pravé straně rovnice

    @b \begin{array}{r c l} 3x^2+3x-6&=& x-2x-6 ,\\ 3x^2+3x-6&=&-x-6. \end{array}@b

    Převedeme všechny členy na jednu stranu rovnice

    @b 3x^2 +4x =0.@b

    Jedná se tedy o kvadratickou rovnici bez absolutního členu, vytknutím @ix@i převedeme na rovnici v součinovém tvaru.

    @b \begin{array}{r c l} x(3x+4)&=& 0 ,\\  3x\cdot(x+\frac43)&=&0. \end{array}@b

    Součin dvou činitelů je roven nule, pokud je roven nule aspoň jeden z nich, tedy rovnici řeší @ix_1=0@i a @ix_2=-\frac43,@i

    @bK = \Bigl\{ -\frac43,0\Bigr\}.@b

     Užitečná poznámka: Kvadratickou rovnici lze řešit též přes diskriminant, takový postup je ale v tomto případě nepoměrně složitější.


  7. Řešte kvadratickou rovnici @i\  4x^2-7=0\ @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i
  8. Jedná se o kvadratickou rovnici bez lineárního členu, kterou převedeme pomocí vzorce @i\ A^2-B^2=(A-B)\cdot(A+B)@i na  rovnici v součinovém tvaru. @b\begin{array}{rcl}(2x)^2-(\sqrt 7)^2&=&0\\[2mm] (2x-\sqrt7)\cdot(2x+\sqrt7)&=&0\end{array}@b 

    Součin dvou činitelů je roven nule, pokud je roven nule aspoň jeden z nich, tedy rovnici řeší @i\ x_1=\dfrac{ \sqrt7} 2@i a @i\ x_2=-\dfrac{\sqrt 7}2,@i

    @bK = \Bigl\{ -\frac{\sqrt 7}2,\frac{\sqrt 7}2\Bigr\}.@b

     Pozor, častá chyba: Kvadratickou rovnici lze řešit osamostatněním členu @i\ x^2@i na levé straně rovnice a následným odmocním celé rovnice. @b\begin{array}{rcl}x^2&=&\dfrac 74 \\[2mm]\sqrt{x^2}&=&\sqrt{\dfrac74}\\[2mm]|x|&=&\dfrac{\sqrt 7}2\\[2mm]x_{1,2}&=&\pm\dfrac{\sqrt 7}2.\end{array}@b  Zapomíná se na absolutní hodnotu! @i\ \sqrt{x^2}=|x|@i. Ztratí se tak kořen rovnice.


  9. Řešte kvadratickou rovnici @i\  x^2+9=0\ @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i
  10. Rovnici lze ekvivalentně psát ve tvaru @bx^2 = -9.@b Levá strana rovnice je vždy nezáporná, pravá strana je záporná. Rovnice nemá řešení. Můžeme se přesvědčit, že diskriminant rovnice je záporný, @i D = 0^2 - 4\cdot9\cdot1= -36 @i.

    @bK = \emptyset.@b

     Pozor, častá chyba:  Polynom @i\ x^2+9@i nemá kořeny, nelze ho rozložit na součin. Platí @i\ (x+3)(x-3)=x^2-9@i a @i\ (x+3)(x+3)=(x+3)^2=x^2+6x+9@i.                  


Neřešené příklady

  1. Řešte rovnici  @i\ x^2 -16 = 0@i s neznámou @ix\in \mathbb{R}@i.
  2. Řešte rovnici @i\  2x-x^2=0@i s neznámou @ix\in \mathbb{R}@i.
  3. Řešte rovnici @i\  2(x^2+1)=3-x@i s neznámou @ix\in \mathbb{R}@i.
  4. Řešte rovnici @i\  2-x(2+x)= 1-2x(x+3) @i s neznámou @ix\in \mathbb{R}@i.
  5. Řešte rovnici @i\ (2x-3) 2\sqrt{x} =\dfrac{ 1-2x}{\sqrt{x}} @i s neznámou @ix\in \mathbb{R}@i.
Last modified: Tuesday, 4 September 2018, 2:31 PM