Logo OPVVV

Teoretické minimum

Při studiu reálných funkcí jedné reálné proměnné určujeme také některé jejich vlastnosti, které nám mohou mnoho napovědět o chování dané funkce. Mezi základní takové vlastnosti patří monotonie, omezenost, určité symetrie grafu funkce apod. Další důležité vlastnosti budeme studovat ještě v následujících kapitolách, jmenovitě prostotu funkce, spojitost a konvexnost a konkávnost. 


Monotonie

Zajímá nás, jak se na zadané množině @iM@i mění funkční hodnoty @if(x)@i při rostoucí hodnotě nezávisle proměnné @ix@i. Řekneme, že funkce @if@i je na množině @iM@i

  • rostoucí, jestliže pro všechna @ix_1,x_2\in M@i taková, že @ix_1<x_2@i,  je    @if(x_1)<f(x_2)@i;

  • klesající, jestliže pro všechna @ix_1,x_2\in M@i taková, že @ix_1<x_2@i,  je    @if(x_1)>f(x_2)@i;

  • neklesající, jestliže pro všechna @ix_1,x_2\in M@i taková, že @ix_1<x_2@i,  je    @if(x_1)\leq f(x_2)@i;

  • nerostoucí, jestliže pro všechna @ix_1,x_2\in M@i taková, že @ix_1<x_2@i,  je    @if(x_1)\geq f(x_2)@i.

Má-li funkce @if@i libovolnou z uvedených vlastností, nazývá se funkce monotonní. Funkce rostoucí a klesají nazýváme souhrnně  ryze monotonní.

Na prvním obrázku je uveden příklad rostoucí  funkce, na druhém obrázku příklad klesající funkce:



O monotonii funkce můžeme rozhodnout několika způsoby. Můžeme použít přímo definici. U složené funkce platí pravidlo podobné násobení kladných a záporných čísel: složíme-li dvě funkce, které jsou obě rostoucí či obě klesající, výsledná funkce bude rostoucí. Funkce složená z rostoucí a klesající funkce je klesající. U složitějších funkcí určujeme intervaly, na kterých funkce roste, resp. klesá, pomocí první derivace. 


Omezenost

Při zkoumání omezenosti funkce zjišťujeme, zda její funkční hodnoty  mohou nabývat libovolně velkých (resp. libovolně malých) hodnot, nebo zda mají určité meze. Funkce @if@i se nazývá

  • omezená zdola, pokud existuje reálné číslo @iK@i takové, že platí @if(x)\ge K@i pro všechna @ix\in\mathcal D(f)@i;
  • omezená shora, pokud existuje reálné číslo @iL@i takové, že platí @if(x)\le L@i pro všechna @ix\in\mathcal D(f)@i;
  • omezená, pokud je omezená zdola i shora.

Graficky lze omezenost interpretovat následovně: Funkce @if@i je

  • omezená zdola, pokud existuje reálné číslo @iK@i takové, že celý graf funkce @if@i leží nad přímkou  @iy=K@i;
  • omezená shora, pokud existuje reálné číslo @iL@i takové, že celý graf funkce @if@i leží pod přímkou  @iy=L@i;
  • omezená, pokud existují reálná čísla @iK@i a @iL@i taková, že celý graf funkce @if@i leží mezi výše uvedenými přímkami.
Užitečná poznámka: Uvědomte si, že o omezenosti funkce @if@i lze jednoduše rozhodnout, známe-li její obor hodnot @i\mathcal H(f)@i.

Funkce sudé a liché

Graf funkce může vykazovat určité symetrie. K tomu dochází například, je-li funkce sudá nebo lichá. Za podmínky že pro každé @ix\in\mathcal D(f)@i je také @i-x\in\mathcal D(f)@i se funkce@if@i nazývá

  • sudá, pokud pro každé @ix\in\mathcal D(f)@i platí, že @if(-x)=f(x)@i;
  • lichá, pokud pro každé @ix\in\mathcal D(f)@i  že @if(-x)=-f(x)@i.

Graf sudé funkce je osově symetrický vzhledem k ose @iy@i. Typickými zástupci sudých funkcí jsou všechny sudé mocniny, funkce kosinus nebo funkce absolutní hodnota.

Graf liché funkce je středově souměrný vzhledem k počátku. Příklady lichých funkcí jsou všechny liché mocniny, liché odmocniny, funkce sinus, či tangens.

Užitečná poznámka: Není-li definiční obor  @i\mathcal D(f)@i symetrický vzhledem k nule, nemůže být funkce @if@i ani sudá ani lichá.

Na prvním obrázku je uveden příklad sudé  funkce, na druhém obrázku příklad liché funkce:



Periodicita funkce
Existuje-li reálné číslo @ip \neq 0@i takové, že

  1. pro každé @ix\in\mathcal D(f)@i je také @i(x\pm p)\in\mathcal D(f)@i a zároveň
  2.  pro každé @ix\in\mathcal D(f)@i je @if(x\pm p)=f(x)@i,

nazývá se funkce @if@i periodická a číslo @ip@i její perioda. Nejmenší kladná perioda funkce @if@i se nazývá primitivní perioda.

Mezi periodické funkce patří například všechny goniometrické funkce. Funkce sinus a kosinus mají primitivní periodu @i2\pi@i, funkce tangens a kotangens mají primitivní periodu @i\pi@i


Související

Graf funkce, průběh funkce.


Řešené příklady

1. Je dána funkce @if(x)=3-(x+1)^2@i. Určete, na kterých intervalech je rostoucí/klesající. Rozhodněte, jestli je omezená.

Jeden z možných přístupů je načrtnout si graf funkce @if@ia požadované vlastnosti z něj vyčíst. Nebo si můžeme jen uvědomit, jak mění graf jednotlivé transformace. Elementární funkce @iy=x^2@i je klesající na intervalu @i(-\infty,0)@i a rostoucí na @i(0,\infty)@i, zároveň je omezená zdola. Přičtení jedničky v argumentu posune vrchol paraboly do bodu odpovídajícího @ix=-1@i a znaménko mínus graf překlopí vzhledem k ose @ix@i. Přčtením trojky se výsledný graf posune ještě o 3 nahoru.Z toho vyplývá, že zadaná funkce @if@ije rostoucí na @i(-\infty,-1)@i, klesající na intervalu @i(-1,\infty)@i. Funkce @if@i je omezená shora.


2. Určete definiční obor a obor hodnot funkce @if(x)=1+\frac{1}{x-2}@i. Určete, na kterých intervalech je  @if@i rostoucí/klesající.

Definiční obor @i \mathcal D(f)=\mathbb{R}\setminus \{2\}@i.  Opět si můžeme načrtnout graf funkce @if@i. Z něj vidíme, že obor hodnot je @i H(f)=\mathbb{R}\setminus \{1\}@i. Funkce je klesající na intervalu @i(-\infty,2)@i a také na intervalu @i(2,\infty)@i. Pozor, častá chyba: Nemůžeme říct, že je funkce klesající na sjednocení těchto intervalů, protože například @i1<3@i, ale @i0=f(1)<f(3)=2@i. Tedy @if@i není klesající na svém @i\mathcal D(f)@i.


3. Rozhodněte, jestli je funkce @if(x)=\sqrt[3]{\ln(1-x)}@i na svém definičním oboru rostoucí nebo klesající.

Definiční obor funkce je interval @i(-\infty,1)@i. Funkce je složená z elementráních funkcí @i1-x,\ln x@i a @i\sqrt[3]{x}@i, přičemž první je klesající, další dvě rostoucí. Celkově je tedy zadaná funkce klesající na svém definičním oboru.


4. Rozhodněte, jestli jsou zadané funkce sudé, liché nebo ani jedno z toho.

  1. @if_1(x)=\frac{\cos x}{x}@i
  2. @if_2(x)=x^3\sin x@i
  3. @if_3(x)=x^2-x^3@i

Pokud dokazujeme, že je funkce sudá nebo lichá, postupujeme podle definice. Nejdříve ověříme, je-li definiční obor symetrický vzhledem k nule. Pokud ne, nemůže být funkce sudá ani lichá. Pokud ano, do funkčního předpisu za @ix@i dosadíme @i-x@i a předpis upravíme. Zjišťujeme, jestli můžeme po úpravě dostat původní předpis, resp. výraz opačný. Při dokazování, že funkce není ani sudá ani lichá  je nejjednodušším způsobem nalezení protipříkladu. Pozor, častá chyba: Jedním konkrétním příkladem můžeme dokázat, že nějaká vlastnost neplatí. Nemůžeme však pomocí jednoho příkladu ukázat, že platí.

  1. Definiční obor @i \mathcal D(f_1)=\mathbb{R}\setminus \{0\}@i je symetrický vzhledem k @i0@i. Dosadíme @i-x@i: @bf_1(-x)=\frac{\cos (-x)}{-x}=\frac{\cos x}{-x}=-\frac{\cos x}{x}=-f(x)@b Funkce @if_1@i je tedy lichá. V druhém kroku jsme využili fakt, že funkce kosinus je sudá funkce a tedy @i\cos(-x)=\cos x@i.
  2. Definičním oborem @if_2@i jsou všechna reálná čísla. Postupujeme jako v předchozím příkladě, využijeme znalosti, že funkce sinus je lichá. @bf_2(-x)=(-x)^3\sin(-x)=-x^3(-\sin x)=x^3\sin x=f(x).@b Funkce @if_2@i je tedy sudá.
  3. Definičním oborem je opět @i \mathcal D(f_3)=\mathbb{R}@i.  Dosadíme-li za @ix@i například postupně @i1@i a @i-1@i, dostáváme: @bf_3(1)=1-1=0\neq f_3(-1)=1+1=2.@b Funkce @if_3@i tedy není ani sudá, ani lichá.


5. Rozhodněte, zda je funkce @if(x)=\left(\sin 2x+1\right)^2@i periodická a najděte její primitivní periodu.

Definičním oborem @if@i jsou všechna reálná čísla. Funkce sinus je periodická s primitivní periodou @i2\pi@i. Platí tedy @bf(x + \pi)=\left(\sin 2(x+\pi)+1\right)^2=\left(\sin (2x+2\pi)+1\right)^2=\left(\sin 2x+1\right)^2=f(x)@b  @bf(x-\pi)=\left(\sin 2(x-\pi)+1\right)^2=\left(\sin (2x-2\pi)+1\right)^2=\left(\sin 2x+1\right)^2=f(x)@b Zadaná funkce @if@i je tedy periodická s primitivní periodou @i\pi@i.


Neřešené příklady

  1. Je dána funkce @if(x)=2-\mathrm{e}^x@i. Určete, na kterých intervalech je rostoucí/klesající. Rozhodněte, zda je @if@i omezená.
  2. Je dána funkce @if(x)=3-\frac{2}{1+x}@i. Určete, na kterých intervalech je @if@i rostoucí/klesající.
  3. Rozhodněte,zda je funkce @if(x)=x-\frac{1}{x}@i sudá nebo lichá nebo ani jedno z toho.    
  4. Rozhodněte, zda je funkce @if(x)=\frac{|x|}{2}-3@i sudá nebo lichá nebo ani jedno z toho.
  5. Rozhodněte, zdai je funkce @if(x)=\frac{x^2}{x+x^3}@i sudá nebo lichá nebo ani jedno z toho.
  6. Rozhodněte, zda je funkce @if(x)=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}@i sudá nebo lichá nebo ani jedno z toho.
  7. Rozhodněte, zda je funkce @if(x)=x\cos x-1@i sudá nebo lichá nebo ani jedno z toho.
  8. Rozhodněte, zda je složená funkce @if(x)=3-\left( \mathrm{e}^x+1\right)^2@i rostoucí nebo klesající na svém @i\mathcal D(f)@i.
  9. Rozhodněte, zda je složená funkce @if(x)=\sqrt{\log_{0,5}x+2}@i rostoucí nebo klesající na svém @i\mathcal D(f)@i.

Licence CC BY SA

Naposledy změněno: úterý, 14. června 2022, 21.38