Spojitost funkce
Spojitost funkce
Teoretické minimum
Okolí bodu
Před tím, než si zavedeme spojitost funkce, je potřeba si říci, co je to okolí bodu.
(Plným) @i\varepsilon@i-okolím bodu @ix_0@i míníme interval @i(x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon)@i. Toto okolí budeme značit @i\mathcal{O}_{\varepsilon}(x_0).@i
Pravým @i\varepsilon@i-okolím bodu @ix_0@i rozumíme interval @i[ x_0,x_0+\varepsilon)@i. Značíme @i\mathcal{O}^+_\varepsilon(x_0).@i
Analogicky lze definovat levé @i\varepsilon@i-okolí bodu @i\mathcal{O}^-_\varepsilon(x_0)=(x_0-\varepsilon,x_0].@i
Prstencovým @i\varepsilon@i-okolím bodu @ix_0@i rozumíme množinu @i(x_0-\varepsilon,x_0)\cup(x_0,x_0+\varepsilon)=\mathcal{O}_\varepsilon(x_0)\setminus\{x_0\}.@i Toto okolí budeme značit @i\mathcal{P}_{\varepsilon}(x_0).@i
Analogicky k plnému okolí lze definovat i pravé a levé prstencové okolí:
@i\mathcal{P}^+_\varepsilon(x_0)=(x_0,x_0+\varepsilon),@i
@i\mathcal{P}^-_\varepsilon(x_0)=(x_0-\varepsilon,x_0).@i
Užitečná poznámka: Obecně, používáme-li v matematice symbol @i\varepsilon@i, myslíme tím nějaké kladné číslo velmi blízké nule.
Spojitost funkce v bodě
Uvažujme funkci @if@i takovou, že pro bod @ix_0@i existuje okolí takové, že @i\mathcal{O}(x_0)\subseteq\mathcal{D}(f)@i. Řekneme, že funkce @if@i je spojitá v bodě @ix_0@i, jestliže pro všechna @i\varepsilon>0@i existuje @i\delta>0@i takové, že
@b\forall x\in\mathcal{O}_\delta(x_0) \text{ je } f(x)\in\mathcal{O}_\varepsilon\bigl(f(x_0)\bigr).@b
Funkci spojitou v bodě @ix_0@i si lze představit tak, že existuje okolí @ix_0@i, na kterém je graf @if@i nepřerušená čára. Takto vágně ovšem spojitost definovat nelze, její definice musí být univerzální. Definice spojitosti v bodě @ix_0@i říká, že body "blízké" bodu @ix_0@i mají funkční hodnoty "blízké" hodnotě @if(x_0)@i.
Poznámka: V případě reálné funkce jedné reálné proměnné můžeme místo @i x \in\mathcal{O}_\varepsilon(x_0)@i psát také @i|x-x_0|<\varepsilon@i. V definici ovšem místo vzdáleností používáme raději pojem okolí @i\mathcal{O}@i. Je to zejména proto, že pro jiné typy funkcí (např. funkce dvou proměnných) se pak definice spojitosti nezmění. Pro případ reálné funkce jedné reálné proměnné tedy můžeme definici spojitosti přepsat následovně:
Pro každé (libovolně malé) @i\varepsilon>0@i existuje @i\delta>0@i takové, že
@i\forall x@i takové, že @i|x-x_0|<\delta @i je @i|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.@i
Budeme-li uvažovat bod @ix_0@i takový, že existuje nějaké jeho pravé okolí @i\mathcal{O}^+(x_0)@i tak, že @i\mathcal{O}^+(x_0)\subseteq\mathcal{D}(f)@i, můžeme analogicky ke spojitosti v bodě definovat spojitost zprava. Řekneme, že funkce @if@i je spojitá zprava v bodě @ix_0@i, jestliže pro všechna @i\varepsilon>0@i existuje @i\delta>0@i takové, že
@b\forall x\in\mathcal{O}^+_\delta(x_0) \text{ je } f(x)\in\mathcal{O}_\varepsilon\bigl(f(x_0)\bigr).@b
Obdobně lze přes levé okolí bodu @ix_0@i definovat spojitost v bodě zleva. Těmto spojitostem říkáme jednostranné spojitosti.
Užitečná poznámka: 1. V definicích jednostranné spojitosti používáme jednostranná okolí pouze pro okolí bodu @ix_0@i, nikoliv pro okolí funkční hodnoty @if(x_0)@i.
2. Znovu si připomeňme, že spojitost má smysl řešit pouze v bodě, který je částí definičního oboru, a jehož okolí leží v definičním oboru.
Spojitost na intervalu
Řekneme, že funkce @if@i je spojitá na otevřeném intervalu @i(a,b)@i, jestliže je spojitá v každém bodě tohoto intervalu.
Řekneme, že funkce @if@i je spojitá na uzavřeném intervalu @i[ a,b]@i, jestliže je spojitá na intervalu @i(a,b)@i a je zprava spojitá v bodě @ia@i a zleva spojitá v bodě @ib@i.
Poznámka: Řekneme-li, že je funkce spojitá a neuvedeme kde, myslíme automaticky na celém jejím definičním oboru.
Platí: Funkce je spojitá v bodě @ix_0@i právě tehdy, je-li v bodě @ix_0@i spojitá zprava i zleva.
Pokud by nás zajímala spojitost funkcí na celých jejich definičních oborech, bylo by velmi náročné to dokazovat. Víme ovšem, že platí následující tvrzení.
Platí: Všechny elementární funkce kromě funkce signum jsou spojité na svých přirozených definičních oborech.
Dále platí: Uvažujme funkce @if@i a @ig@i, které jsou spojité na svých definičních oborech. Potom funkce
- @if\pm g@i
- @if\cdot g@i
- @i\dfrac{f}{g}@i pro @ig\neq0@i
- @i f\circ g@i
jsou spojité na svých přirozených definičních oborech.
Užitečná poznámka: Z těchto dvou tvrzení vidíme, že pro jakoukoliv operaci na elementárních funkcích (kromě funkce signum) máme zajištěnou spojitost výsledné funkce. Spojitost tedy budeme zkoumat především pro funkce po částech zadané.
Jelikož argumentace spojitosti je nejlepší přes limity, budeme spojitost pro funkce po částech zadané procvičovat především v následující kapitole o limitách.
Řešené příklady
1. Nakreslete graf nějaké funkce, která je definovaná na intervalu @i[-1,8)@i, je spojitá na intervalech @i(-1,3)@i a @i(3,8)@i a dále je zprava spojitá v bodě @i-1@i, zleva spojitá v bodě @i3@i, ale není zprava spojitá v bodě @i3.@i
Řešení: Na obrázku výše vidíme funkci, která splňuje dané vlastnosti. Ověřte si sami!
2. Dokažte z definice, že funkce @if(x)=x^2@i je spojitá v bodě @ix_0=0@i.
Podle definice pro každé @i\varepsilon>0@i hledáme @i\delta>0@i takové, aby pro @i\forall x: |x-x_0|<\delta@i bylo @i|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.@i Pojďme se podívat na výraz @i|f(x)-f(x_0)|@i:
@b|f(x)-f(x_0)|=|x^2-0^2|=|x^2|=|x|\,|x|.@b
Je tedy vidět, že stačí vzít všechna @ix@i, která jsou (pro pevné, ale libovolné @i\varepsilon@i) od nuly vzdálená méně než @i\delta=\sqrt{\varepsilon}@i. Potom totiž
@b|f(x)-f(x_0)|=|x|\,|x|<\sqrt{\varepsilon}\sqrt{\varepsilon}=\varepsilon,@b
tedy dle definice je funkce @ix^2@i spojitá v bodě @i0@i.
3. Rozhodněte, zda je následující funkce @if@i spojitá na svém definičním oboru:
@b f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} \sqrt{1-x}, &x\leq0,\\ -x^3, & x>0. \end{array} \right. @b
Vzhledem k tomu, že funkce @if@i je po částech zadaná funkcí @i-x^3@i, která je elementární funkcí, a tudíž funkcí spojitou, a funkcí @i\sqrt{1-x}@i, která je složená z elementárních spojitých funkcí @i\sqrt x@i a @i1-x@i, a tedy také spojitá, vidíme, že pro všechna @ix\neq0@i bude funkce @if@i spojitá. Jediný bod podezřelý z nespojitosti je tedy @ix=0@i. Spojitost v tomto bodě vyšetříme pomocí grafu funkce @if@i, který je nakreslen na následujícím obrázku.
Z obrázku je vidět, že pro všechna @ix@i z nějakého pravého prstencového okolí bodu @i0@i je @i|f(x)-f(0)|>1@i, a tedy pro žádné @i\varepsilon<1@i není možné najít @i\delta>0@i tak, aby @i|f(x)-f(0)|<\varepsilon.@i Funkce @if@i tedy není zprava spojitá v bodě @i0@i, tudíž není v tomto bodě spojitá. Z toho plyne, že @if@i není spojitá ani na celém svém definičním oboru. Poznamenejme ještě, že funkce @if@i je zleva spojitá v každém bodě definičního oboru, jak je vidět z obrázku.
