Monotonie funkce a lokální extrémy
Monotonie funkce a lokální extrémy
Teoretické minimum
Připomeňme (vlastnosti funkcí), že funkce @if@i je na intervalu @i I@i rostoucí, jestliže pro všechna @ix_1,x_2\in I@i taková, že @ix_1<x_2@i, je @if(x_1)<f(x_2)@i.
Funkce @if@i je na intervalu @i I@i neklesající, jestliže pro všechna @ix_1,x_2\in I@i taková, že @ix_1<x_2@i, je @if(x_1)\leq f(x_2)@i.
Funkce @if@i je na intervalu @i I@i klesající, jestliže pro všechna @ix_1,x_2\in I@i taková, že @ix_1<x_2@i, je @if(x_1)>f(x_2)@i.
Funkce @if@i je na intervalu @i I@i nerostoucí, jestliže pro všechna @ix_1,x_2\in I@i taková, že @ix_1<x_2@i, je @if(x_1)\geq f(x_2)@i.
Lokální a globální extrémy funkce
Funkce @if@i má v bodě @ix_0\in\mathcal{D}(f)@i lokální maximum, jestliže existuje okolí @i\mathcal{O}(x_0)\subset\mathcal{D}(f)@i tak, že pro @i\forall x\in\mathcal{O}(x_0)@i je @if(x)\leq f(x_0)@i.
Analogicky můžeme definovat lokální minimum funkce. Funkce @if@i má v bodě @ix_0\in\mathcal{D}(f)@i lokální minimum, jestliže existuje okolí @i\mathcal{O}(x_0)\subset\mathcal{D}(f)@i tak, že @i\forall x\in\mathcal{O}(x_0)@i je @if(x)\geq f(x_0)@i.
Pokud existuje @i\mathcal{O}(x_0)\subset\mathcal{D}(f)@i tak, že @i\forall x\in\mathcal{O}(x_0)@i je @if(x)<f(x_0)@i, respektive @if(x)>f(x_0)@i, říkáme, že funkce @if@i má v bodě @ix_0@i ostré lokální maximum, respektive ostré lokální minimum.
Řekneme, že funkce @if@i má v bodě @ix_0\in \mathcal{D}(f)@i globální maximum, jestliže pro @i\forall x\in\mathcal{D}(f)@i je @if(x)\leq f(x_0)@i. Funkce @if@i má v bodě @ix_0\in \mathcal{D}(f)@i globální minimum, jestliže pro @i\forall x\in\mathcal{D}(f)@i je @if(x)\geq f(x_0)@i.
Důležitá poznámka: Povšimněme si, že lokální extrémy funkce určujeme pouze u vnitřních bodů definičního oboru, ale globální extrém může být i v krajním bodě definičního oboru.
Platí: Je-li funkce @if@i spojitá na uzavřeném intervalu @i[a,b]@i, potom nabývá na @i[a,b]@i svého (globálního) maxima a minima. Pro funkce nespojité nebo funkce definované na otevřeném intervalu nic takového zaručeno nemáme.
Na obrázku výše jsou znázorněny lokální a globální extrémy funkce. Budeme-li funkci uvažovat pouze na intervalu @i[a,b]@i, kde je tato funkce zjevně spojitá, bude nabývat svého globálního maxima i minima. V bodech @ix_1@i a @ix_3@i nabývá funkce lokálního minima. V bodě @ix_3@i je zároveň i globální minimum. Lokálního maxima nabývá v bodě @ix_2@i, ve kterém se ovšem nenabývá globálního maxima. Toho je nabyto v levém kraji intervalu @ia@i, neboť zde funkce zjevně nabývá své maximální hodnoty.
Intervaly monotonie funkce
Platí následující tvrzení. Uvažujme diferencovatelnou funkci @if@i na otevřeném intervalu @iI@i.
- Jestliže @if'(x)>0@i pro všechna @ix\in I@i, potom je funkce @if@i na intervalu @iI@i rostoucí.
- Jestliže @if'(x)<0@i pro všechna @ix\in I@i, potom je funkce @if@i na intervalu @iI@i klesající.
(Poznámka: Říkáme-li, že @if'(x)>0@i pro všechna @ix\in I@i, automaticky tím také tvrdíme, že derivace ve všech těchto bodech existuje.)
Právě jsme si uvedli tvrzení, které nám pomůže určit intervaly, na nichž je funkce @if@i ryze monotónní. Pomocí intervalů monotonie můžeme také určit lokální extrémy funkce. Body podezřelé z toho, že jsou v nich lokální extrémy, jsou ty body, v nichž se mění monotonie funkce. Vzhledem k předchozímu tvrzení jsou to body @i x_0 @i z definičního oboru @if@i, ve kterých
- je @if'(x_0)=0@i,
- @if'(x_0)@i neexistuje,
- @ix_0@i je krajním bodem definičního oboru.
Související
Vlastnosti funkcí, derivace funkce.
Řešené příklady
1. Určete maximální intervaly monotonie a lokální extrémy funkce @if(x)=x^3\cdot{\rm e}^{\frac{1}{x}}.@i
Jako první věc si určíme definiční obor @if@i. Funkce @ix^3@i je dobře definovaná pro všechna reálná čísla stejně jako exponenciální funkce. Jediný problém je tedy v exponentu. Pokud nejste Chuck Norris, je dělení nulou nepřípustné, jmenovatel tedy musí být nenulový. To je jediná podmínka pro výraz v dané funkci, proto je definiční obor funkce @if@i
@b\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.@b
Nyní můžeme pomocí pravidel pro počítání derivací spočíst @if'@i:
@bf'(x)=3x^2\cdot{\rm e}^{\frac{1}{x}}+x^3\cdot{\rm e}^{\frac{1}{x}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=3x^2\cdot{\rm e}^{\frac{1}{x}}-x\cdot{\rm e}^{\frac{1}{x}}=x\cdot(3x-1)\cdot {\rm e}^{\frac{1}{x}}.@b
Body podezřelé ze změny monotonie jsou ty body, kde derivace neexistuje nebo je nulová. Derivace této funkce existuje v každém bodě definičního oboru, podezřelými body, ve kterých se může změnit monotonie jsou řešení rovnice
@b x\cdot(3x-1)\cdot {\rm e}^{\frac{1}{x}}=0, @b
tj. body @ix=0@i a @ix=\frac{1}{3}.@i
Znaménka první derivace a jim odpovídající monotonii funkce si shrneme do následující tabulky:
@b\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,\frac{1}{3})&(\frac{1}{3},\infty)\\ \hline f'(x)&+&-&+\\ \hline f(x) &\nearrow&\searrow&\nearrow\\ \hline\end{array}@b
Z tabulky vidíme, že funkce @if@i je rostoucí na intervalech @i(-\infty,0)@i a @i(\frac{1}{3},\infty)@i a je klesající na intervalu @i(0,\frac{1}{3})@i. V bodě @i0@i se sice mění monotonie, ale samotný bod nepatří do definičního oboru, a proto v něm není lokální extrém. V bodě @i\frac{1}{3}@i se také mění monotonie a protože je součástí definičního oboru a mění se v něm monotonie z klesající funkce na rostoucí, je zde lokální minimum @if(\frac{1}{3})=\frac{{\rm e}^3}{27}.@i
Důležitá poznámka: Intervaly se stejným typem monotonie zásadně nesjednocujeme. Obecně totiž pro funkci rostoucí na @i(a,b)@i a na @i(c,d) @i neplatí, že je rostoucí na @i(a,b)\cup (c,d).@i To ostatně můžeme vidět na následujícím obrázku. Funkce @if(x)=-\frac{1}{x}@i, jejíž graf je na obrázku níže, je rostoucí na @i(-\infty,0)@i a @i(0,\infty)@i, ale není rostoucí na @i(-\infty,0)\cup(0,\infty).@i Pro body @ix_1@i a @ix_2@i takové, že @ix_1<x_2@i, neplatí @if(x_1)<f(x_2),@i což je v rozporu s tím, aby @if@i byla rostoucí na @i(-\infty,0)\cup(0,\infty).@i
2. Určete maximální intervaly monotonie a lokální extrémy funkce @if(x)=\frac{x^2+3}{x-1}@i
Nejprve si opět musíme určit definiční obor. Funkce @if@i je podíl kvadratického polynomu a lineární funkce. Takový zlomek bude dávat smysl kdykoliv, kdy nebudeme dělit nulou. Proto @i\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\setminus\{1\}.@i Bod @i1@i je tedy krajním bodem definičního oboru a bude jedním z bodů podezřelých ze změny monotonie. Další podezřelé body získáme z první derivace. Čtenář si sám snadno spočte, že
@bf'(x)=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.@b
První derivace je nulová tehdy, pokud @ix=-1@i nebo @ix=3.@i Je dobře definovaná na celém @i\mathcal{D}(f)@i, žádné další body podezřelé ze změny monotonie funkce už tedy nejsou. Znaménka první derivace na intervalech oddělených body @i-1,1,3@i a jim odpovídající monotonii funkce @if@i shrneme do tabulky:
@b\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,-1)&(-1,1)&(1,3)&(3,\infty)\\ \hline f'(x)&+&-&-&+\\ \hline f(x) \strut &\nearrow&\searrow&\searrow&\nearrow\\ \hline\end{array}@b
Z tabulky je zjevné, že funkce je rostoucí na intervalech @i(-\infty,-1)@i a @i(3,\infty)@i a je klesající na intervalech @i(-1,1)@i a @i(1,3).@i Ze směru šipek v posledním řádku vidíme, že v bodě @ix=-1@i je lokální maximum @if(-1)=-2@i a v bodě @ix=3@i je lokální minimum @if(3)=6.@i Znovu si připomeňme, že nebudeme sjednocovat intervaly se stejným typem monotonie. A to ani v tom případě, že by se (jako zde) jednalo o "sousední" intervaly. Graf funkce @if@i jasně ukazuje, že ani v takovém případě není monotonie na sjednocení zaručena (dokonce je to spíše málo pravděpodobné).
Neřešené příklady
- Nalezněte maximální intervaly monotonie a lokální extrémy funkce @if(x)=\ln\frac{1}{x^2}.@i
- Nalezněte maximální intervaly monotonie a lokální extrémy funkce @if(x)=\frac{x}{\ln x}.@i
- Nalezněte maximální intervaly monotonie a lokální extrémy funkce @if(x)=\frac{x-3}{\sqrt{1+x^2}}.@i
- Nalezněte maximální intervaly monotonie a lokální extrémy funkce @if(x)=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-1}}.@i
- Nalezněte maximální intervaly monotonie a lokální extrémy funkce @if(x)=\frac{\ln(3-x)}{3-x}.@i
