Přidej - Matematika: Vyšetření průběhu funkce

Logo OPVVV

Připomněli jsme si grafy elementárních funkcí, transformace grafů funkcí a naučili jsme se kreslit grafy funkcí po částech zadaných. V tomto odstavci si ukážeme, co dělat, je-li funkce například součtem, součinem či podílem elementárních funkcí. V takovém případě už graf může vypadat všelijak, přesto pro nás může být (např. v aplikacích) chování dané funkce důležité.

V kapitole o derivacích jsme se naučili, jak s jejich pomocí určit některé velmi důležité vlastnosti funkce. Teď si shrneme, co všechno jsme o obecné funkci schopni zjistit, abychom mohli alespoň přibližně načrtnout její graf, do jednoduchého osmera:

Definiční obor funkce.
Sudost a lichost funkce, její spojitost, popř. periodicita.
Průsečíky s osami @ix@i a @iy@i.
Limity v krajních bodech definičního oboru (intervalů spojitosti).
Asymptoty grafu funkce.
Monotonie funkce, lokální extrémy.
Konvexita, resp. konkávita funkce, inflexní body.
Graf funkce, obor hodnot.

Celé vyšetření průběhu funkce si názorně ukážeme na jednom příkladu.

Užitečná poznámka: Průsečíky s osami nemusí existovat. Průsečík s osou @iy@i, pokud existuje, lze určit snadno vypočtením hodnoty funkce v bodě nula. Je třeba si uvědomit, že existují-li průsečíky s osou @ix@i, zdaleka ne vždy je jejich určení snadné či dokonce možné — vizte Newtonovu metodu. V takovém případě s určováním neztrácíme čas.

Řešený příklad

Vyšetřete průběh funkce @if(x)={\rm e}^{^{\dfrac{1}{x-1}}}(x-1).@i

Funkce @if@i je definovaná všude kromě bodu @ix=1@i, tedy @i\mathcal{D}(f)=(-\infty,1)\cup(1,\infty).@i
Vzhledem k nesymetrickému definičnímu oboru nemůže být funkce @if@i ani sudá ani lichá a ani periodická, ale je určitě spojitá na svém definičním oboru.
Průsečík s osou @iy@i je @iP_y=\big(0,f(0)\big)=\big(0,-\frac{1}{\rm e}\big).@i Průsečíky s osou @ix@i mají @iy@i-ovou souřadnici rovnu nule, tj. @ix@i-ové souřednice jsou řešení rovnice @b {\rm e}^{^{\dfrac{1}{x-1}}}(x-1)=0.@b Exponenciela je vždy nenulová. Jediné řešení rovnice je @ix=1@i. Tento bod však leží mimo definiční obor, funkce tedy žádné průsečíky s osou @ix@i nemá.
Definiční obor je sjednocení dvou intervalů, proto je třeba spočítat čtyři limity:
@b\begin{array}{l}&\lim\limits_{x\to-\infty}{\rm e}^{\frac{1}{x-1}}(x-1)="{\rm e}^{\frac{1}{-\infty}}\cdot(-\infty)"="{\rm e}^0\cdot(-\infty)"=-\infty,\\ & \lim\limits_{x\to1-}{\rm e}^{\frac{1}{x-1}}(x-1)="{\rm e}^{\frac{1}{0-}}\cdot0"="{\rm e}^{-\infty}\cdot0"=0\cdot0=0,\\&\lim\limits_{x\to1+}{\rm e}^{\frac{1}{x-1}}(x-1)="{\rm e}^{\frac{1}{0+}}\cdot0"="{\rm e}^{\infty}\cdot0"=\infty\cdot0=\lim\limits_{x\to1+}\frac{{\rm e}^{\frac{1}{x-1}}}{\frac{1}{x-1}}="\frac{\infty}{\infty}"\stackrel{L'H}{=}\lim\limits_{x\to1+}\frac{\frac{-1}{(x-1)^2}\cdot{\rm \ e}^{\frac{1}{x-1}}}{\frac{-1}{(x-1)^2}}=\lim\limits_{x\to1+}{\rm \ e}^{\frac{1}{x-1}}="{\rm e}^\infty"=\infty,\\ &\lim\limits_{x\to\infty}{\rm e}^{\frac{1}{x-1}}(x-1)="{\rm e}^{\frac{1}{\infty}}\cdot\infty"="{\rm e}^0\cdot\infty"=\infty.\end{array}@b
Rovnoosé asymptoty grafu naší funkce dostáváme z vypočtených limit.

Z faktu, že alespoň jedna jednostranná limita funkce @if@i v bodě @ix=1@i je nevlastní, plyne, že graf funkce @if@i má svislou asymptotu, jejíž rovnice je @ix=1@i. Dále, neboť obě limity v nevlastních bodech @i\pm\infty@i jsou nevlastní, graf funkce @if@i nemá vodorovné asymptoty.

Užitečná poznámka: Čtenář si sám může spočítat, že graf této funkce má jedinou nerovnoosou asymptotu (stejnou v obou nevlastních bodech) o rovnici @iy=x.@i
K určení intervalů monotonie potřebujeme znát první derivaci funkce @if:@i @bf'(x)={\rm e}^{\frac{1}{x-1}}\cdot\frac{-1}{(x-1)^2}\cdot(x-1)+{\rm e}^{\frac{1}{x-1}}={\rm e}^{\frac{1}{x-1}}\cdot\frac{x-2}{x-1},\ \forall x\in\mathcal{D}(f).@b Připomeňme, že exponenciela je kladná funkce. O znaménku první derivace rozhoduje výraz @i\,\dfrac{x-2}{x-1}@i. Vidíme tedy, že body podezřelé ze změny monotonie jsou @ix=2@i, kde je první derivace nulová, a @ix=1@i, kde funkce není definovaná. Znaménko první derivace vyšetříme na třech intervalech, tj.
@b\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x&(-\infty,1)&(1,2)&2&(2,\infty)\\ \hline f'(x)&+&-&0&+\\ \hline f(x) &\nearrow&\searrow&\rm e&\nearrow\\ \hline\end{array}@b

V obou podezřelých bodech se mění znaménko derivace a tedy i monotonie funkce. Bod @ix=2@i je bod, ve kterém se nachází lokální minimum @if(2)={\rm e}@i. Na druhou stranu, v bodě @ix=1@i není lokální extrém, neboť tento bod nepatří do definičního oboru funkce!
Pro určení intervalů, na nichž je daná funkce konvexní, resp. konkávní, potřebujeme spočítat druhou derivaci funkce @if@i:

@bf''(x)={\rm e}^{\frac{1}{x-1}}\cdot\frac{-1}{(x-1)^2}\cdot\frac{x-2}{x-1}+{\rm e}^{\frac{1}{x-1}}\cdot\frac{x-1-(x-2)}{(x-1)^2}={\rm e}^{\frac{1}{x-1}}\cdot\frac{-1}{(x-1)^2}\left(\frac{x-2}{x-1}-(x-1-x+2)\right)=\frac{{\rm e}^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^3},\ \forall x\in\mathcal{D}(f)@b

Vidíme, že jediný bod podezřelý ze změny konvexity a konkávity je bod @ix=1.@i Znaménko druhé derivace si opět shrneme v tabulce:@b\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,1)&(1,\infty)\\ \hline f''(x)&-&+\\ \hline f(x) &\cap&\cup\\ \hline\end{array}@b
V bodě @ix=1@i není inflexe, neboť tento bod nepatří do definičního oboru funkce.
Shrnutím všech vlastností, které jsme se o funkci @if@i dozvěděli, už jsme schopni načrtnout její graf. Zde není žádný obecný postup, který by se dal zvolit. Vhodné ovšem je vyznačit si do soustavy souřadnic význačné body, jako jsou místa, kde funkce není definována, kde se nachází extrémy, hodnoty limit, asymptoty apod. Nakonec pomocí znalostí intervalů monotonie a měnící se konvexity a konkávity dokončit graf. Doporučení je zakreslovat informace o grafu funkce postupně tak, jak je v dílčích bodech získáváme.

Z grafu vyčteme obor hodnot naší funkce @i\mathcal{H}(f)=(-\infty,0)\cup[{\rm e},\infty).@i