Logo OPVVV

Teoretické minimum

Funkce @if@i se nazývá prostá, pokud se žádné dvě různé hodnoty proměnné @ix@i nezobrazí na tutéž hodnotu @if(x)@i. Ekvivalentně, pokud má každý prvek z oboru hodnot pouze jeden vzor. Matematicky zapsáno,  funkce @if@i je prostá právě když pro každé @i x_1,x_2 \in \mathcal D(f)@i platí následující: Je-li @i\ x_1 \neq x_2@i, je také @if(x_1)\neq f(x_2)@i. Abychom ukázali, že funkce  @if@i není prostá, stačí najít dvě různé hodnoty @i x_1,x_2 \in \mathcal D(f), \ x_1 \neq x_2@i takové, že @if(x_1)=f(x_2)@i.

Kromě ověřování přímo z definice je i několik dalších způsobů, jak dokázat, že funkce je či není prostá.  Například funkce rostoucí či klesající na celém svém definičním oboru je prostá. Velmi jednoduše poznáme prostotu funkce z grafu: Funkce je prostá, pokud libovolná rovnoběžka s osou @ix@i protne graf nejvýše v jednom bodě. Pokud nějaká rovnoběžka s osou @ix@i protne graf @if@i ve dvou či více bodech, potom funkce @if@i  není prostá. Pro složitější funkce často využíváme toho, že funkce složená z prostých funkcí je také prostá.  Pozor, častá chyba: Složením funkcí rozumíme operaci @if\circ g@i, nikoli části předpisu funkce zadané po částech (,,vidličkou''), viz řešené příklady 1 a 2.

 Například:

  • funkce @if(x)=x^3@i je prostá (je vidět z grafu)
  • funkce @if(x)=x^2@i není prostá, protože například @if(2)=f(-2)=4@i
  • funkce @if(x)= 10^{2x-3}+7@i je prostá, protože je složena z prostých funkcí @i2x-3,10^x@i a @ix+7@i, seřazeno od nejvíc vnitřní po nejvíc vnější.

Ke každé prosté funkci @if@i existuje funkce k ní inverzní, kterou značíme @if^{-1}@i.  Inverzní funkce @if^{-1}@i je definována následujícím vztahem: @by=f(x) \Leftrightarrow x=f^{-1}(y).@b

Vztah funkce @if@i a funkce k ní inverzní @if^{-1}@i si lze představit také tak, že si proměnné @ix@i a @iy@i vymění roli. Z toho vyplývá, že graf @if^{-1}@i vznikne překlopením grafu @if@i  podle osy prvního a třetího kvadrantu kartézkého systému (tedy podle přímky @iy=x@i).  Definičním oborem inverzní funkce @if^{-1}@i je tedy vždy obor hodnot původní funkce @i \mathcal H(f)@i. Naopak @i \mathcal H\left( f^{-1}\right) =\mathcal D(f)@i.

Nejdůležitější vlastnosti inverzní funkce lze shrnout do následujících bodů:

  • @i \mathcal D\left( f^{-1}\right) =\mathcal H(f)@i
  • @i \mathcal H\left( f^{-1}\right) =\mathcal D(f)@i
  • @i\forall x \in D(f): f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) = x@i
  • @i\forall y \in D(f^{-1}): f\bigl(f^{-1}(y)\bigr) = y@i
  • @i\bigl(f^{-1}\bigr)^{-1} = f@i
  • graf @if^{-1}@i je souměrně sdružený s grafem @if@i podle přímky @iy=x@i.


Inverzní funkce k elementárním funkcím jsou uvedeny v Tabulce I. Nejdůležitější příklady vzájemně inverzních funkcí jsou:

@b \begin{array}{l|l}  f(x)=x^3  & \  f^{-1}(x)=\sqrt[3]x \\[1mm] \hline f(x)=x^2, x \in \langle 0, \infty)  & \  f^{-1}(x)=\sqrt x \\[1mm] \hline f(x)=x^2, x \in (-\infty,0 \rangle  & \  f^{-1}(x)=-\sqrt x \\[1mm] \hline f(x)= a^{x}  & \  f^{-1}(x)= \log_a x \\[1mm] \hline f(x)=\sin {x},  \ x \in \langle -\frac {\pi}2 , -\frac {\pi}2 \rangle  & \  f^{-1}(x)= \arcsin x\\[1mm] \hline f(x)=\cos {x},  \ x \in \langle 0 , {\pi} \rangle  & \  f^{-1}(x)=\arccos x \\[1mm] \hline f(x)=\mathrm{tg} {x},  \ x \in ( -\frac {\pi}2 , -\frac {\pi}2 )  & \  f^{-1}(x)=\mathrm{arctg} x \\[1mm] \hline f(x)= \mathrm{cotg} {x},  \ x \in ( 0 , {\pi} ) & \  f^{-1}(x)=\mathrm{arccotg} x \end{array} @b

Funkce @i\arcsin x, \ \arccos x, \ \mathrm{arctg} x@i a @i\mathrm{arccotg} x@i se souhrnně nazývají cyklometrické funkce. Uvědomte si, že jsou to inverzní funkce ke goniometrickým funkcím na pevně daných intervalech, viz tabulka výše. Jejich hodnoty lze odvodit z hodnot goniometrických funkcí. Např. @i \cos \pi =-1@i, tedy pro inverzní funkci musí platit @i \arccos (- 1) =\pi@i. Podobně @i\mathrm{tg} \,\frac {\pi}4 =1@i, tedy @i\mathrm{arctg} \,1=\frac {\pi}4@i.

Ze vzájemně inverzního vztahu mezi exponenciálou a logaritmem, jsou definovány také hodnoty logaritmu. Protože například @i2^3=8@i, dostáváme ihned, že @i \log_2 (8)=3@i. Podobně víme-li, že @i10^{-2}=0,01@i, dostáváme okamžitě, že @i \log (0,01)=-2@i, atd.

Dále si uvědomte, že z výše uvedeného také plyne například:

  • @i \ln(\mathrm {e}^{x}) = x, \ \forall x \in \mathbb{R}@i
  • @i \mathrm {e}^{ \ln x} = x, \ \forall x \in (0, \infty)@i
  • @i \sin (\arcsin x) = x, \ \forall x \in \langle -1, 1 \rangle @i
  • @i \arcsin (\sin x) = x, \ \forall x \in \langle  -\frac {\pi}2 , -\frac {\pi}2 \rangle @i,  apod.

Tyto (a podobné) vztahy  budeme využívat při hledání inverzní funkce @if^{-1}@i  k zadané funkci @if@i. Připomínáme, že řešením takové úlohy je nejen předpis funkce @if^{-1}@i, ale také její definiční obor @i \mathcal D\left( f^{-1}\right)@i. Ten určujeme zásadně jako obor hodnot funkce @if@i, a to buď z grafu @if@i, nebo (u složené funkce) postupným zobrazováním @i \mathcal D\left( f\right)@i jednotlivými elementárními funkcemi ze složení, jako v kapitole Operace s funkcemi.

Pozor, častá chyba:  Nestačí určit definiční obor rovnou z předpisu inverzní funkce. To může vést k chybnému výsledku, není-li tato funkce na celém svém definičním oboru prostá. Vezměme si například funkci @if(x)=\sqrt{x}@i. Její definiční obor i obor hodnot je množina nezáporných čísel. Funkce k ní inverzní je @if^{-1} (x)=x^2@i s definičním oborem @i\left\langle 0,\infty\right)@i, nikoli s definičním oborem @i\mathbb{R}@i. 

Doporučený postup při hledání inverzní funkce k funkci @if@i:

  1. Určíme definiční obor @i\mathcal D(f)@i.
  2. Ověříme, že je funkce @if@i prostá.
  3. Určíme obor hodnot @i\mathcal H(f)@i.
  4. Předpis inverzní funkci najdeme tak, že z předpisu @iy=f(x)@i osamostatníme @ix@i a zapíšeme ho jako funkci proměnné @iy@i.
  5. Výměnou symbolů @ix@i a @iy@i získáme předpis inverzní funkce @iy=f^{-1}(x)@i.
  6.  Definiční obor inverzní funkce @if^{-1}@i určíme jako @i\mathcal D\left( f^{-1}\right) =\mathcal H(f)@i.

Související:

Definiční obor funkce, operace s funkcemi.


Řešené příklady

1. Rozhodněte, zda je funkce @if(x)=\ln^3\left(\sqrt{x}-2\right)@i prostá.

Funkce @if@i je složená z funkcí @i\sqrt{x},x-2,\ln x@i a @ix^3@i, seřazeno od nejvíc vnitřní po nejvíc vnější. Všechny tyto funkce jsou prosté, a tedy i funkce @if@i je prostá.


2. Načrtněte graf funkce @if(x)=\begin{cases}1-x^3,\quad x\in\left(-\infty,1\right\rangle\\ 2\ln x,\quad x\in(1,\infty)\end{cases}@i a rozhodněte, zda je prostá.

Se znalostí kapitoly Graf funkce načrtneme příslušný graf. 

Funkce není prostá. Libovolná rovnoběžka s osou @ix@i vedená nad touto osou protne graf @if@i ve dvou bodech. Nebo můžeme argumentovat protipříkladem, platí například, že @if(-1)=f(\mathrm{e})=2@i, což je spor s definicí prosté funkce.


Pozor, častá chyba:  Není podstatné, že obě funkce, které definují po částech funkci @if@i jsou prosté, na funkci @if@i musíme pohlížet jako na celek. Nelze použít podobnou argumentaci jako v předchozím příkladě.


3. Funkce @if@i je zadána grafem, viz obrázek. Načrtněte graf funkce k ní inverzní.


Z obrázku vyčteme, že definiční obor @i\mathcal D(f)=[-3,1)@i a její obor hodnot je @i\mathcal H(f)=[-1,3)@i. U inverzní funkce se role definičního oboru a oboru hodnot vymění, tedy @i\mathcal D(f^{-1})=[-1,3)@i a @i\mathcal H(f^{-1})=[-3,1)@i. Samotný graf  @if^{-1}@i získáme jako zrcadlový obraz grafu funkce @if@i vzhledem k přímce @iy=x@i.


4. Určete definiční obory následujících funkcí.

  1. @if_1(x)=\arcsin(2-x)@i
  2. @if_2(x)=\arccos\sqrt{x}@i
  3. @if_3(x)=\ln\left(\mathrm {arccotg}-\frac{\pi}{4}\right)@i


  1. Přepíšeme si podmínku pro arkus sinus pomocí dvou nerovnic @i-1\le 2-x\le1@i a každou vyřešíme zvlášť. @b \begin{array}{rl} -1 &\le x-2, \\ 1&\le x, \end{array} \qquad\begin{array}{rl} x-2&\le 1,\\ x&\le 3. \end{array} @b Řešení je @i\mathcal D(f_1)=[ 1,3]@i.

  2. Podmínky pro odmocninu a arkus kosinus jsou @bx\ge 0\quad-1\le\sqrt{x}\le1.@b Rozepíšeme druhé dvě nerovnice, @b -1\le \sqrt{x},\quad\sqrt{x}\le 1.@b První nerovnice je automaticky splněna, protože odmocnina je vždy nezáporné číslo. Druhou nerovnici můžeme umocnit, protože jsou na obou stranách nezáporná čísla a dostáváme @ix\le 1@i. Výsledek je @i\mathcal D(f_2)=[0,1]@i. 

    Pozor, častá chyba: Nezapomeňte, že umocnění nerovnice je ekvivalentní úprava pouze tehdy, pokud jsou na obou stranách nezáporné výrazy. Pokud je jeden například jeden kladný a druhý záporný, je nerovnice splněna vždy, nebo naopak nikdy. Žádné další úpravy nejsou potřeba. Umocněním vznikají nesmysly.

  3. Funkce arkus kotangens je definována pro všechna reálná čísla. Z podmínky na definiční obor logaritmu dostáváme @i\mathrm {arccotg}\ x-\frac{\pi}{4}>0@i. Řešíme tedy nerovnici @b\mathrm {arccotg}\ x>\frac{\pi}{4}.@b Protože @i\mathrm{cotg}\frac{\pi}{4}=1@i, platí naopak, že @i\mathrm {arccotg}\ 1=\frac{\pi}{4}@i. Z grafu funkce arkus kotangens je dále vidět, že nerovnost @i\mathrm {arccotg}\ x>\frac{\pi}{4}@i je splněna pro @i x \in ( -\infty,1]@i. Řešení je tedy @i\mathcal D(f_3)=\left( -\infty,1\right]@i. 

    Užitečná poznámka: Je nutné znát základní hodnoty goniometrických funkcí a z nich plynoucí hodnoty cyklometrických funkcí.


5. Najděte předpis a definiční obor funkce inverzní k funkci @if(x)=\sqrt[3]{x-1}+2@i.

Definiční obor funkce @if@i  jsou všechna reálná čísla. Jedná se o posunutou elementrání funkci @i\sqrt[3]{x}@i z Tabulky I, která je prostá a  jejíž obor hodnot jsou všechna reálná čísla.  Je zřejmé, že i posunutá funkce @if@i  je prostá a že její obor hodnot jsou také všechna reálná čísla. Zbývá najít předpis inverzní funkce @if^{-1}@i: @b \begin{array}{rl} y&=\sqrt[3]{x-1}+2\\ y-2&=\sqrt[3]{x-1}\\  (y-2)^3&=x-1\\ (y-2)^3+1&=x \end{array} @b 

Předpis funkce @if^{-1}@i vyjádřený v proměnné @ix@i tak je @if^{-1}(x)=(x-2)^3+1,\quad x\in\mathbb{R}@i.


6. Najděte předpis a definiční obor funkce inverzní k funkci @if(x)=\sqrt{\mathrm{e}^x+1}@i.

Definičním oborem funkce @if@i jsou všechna reálná čísla. Funkce @if@i je složená  z prostých funkcí @i\mathrm{e}^x,x+1@i a @i\sqrt{x}@i, je tedy také prostá. Její obor hodnot @i\mathcal H(f)@i odvodíme postupným zobrazováním definičního oboru @i\mathcal D(f)@i elementárním funkcemi ze složení. Podrobný popis tohoto postupu je uveden v kapitole Operace s funkcemi:

@b\mathcal D(f)=(-\infty,\infty)\xrightarrow{\mathrm{e}^x} (0,\infty) \xrightarrow{x+1}(1,\infty)\xrightarrow{\sqrt{x}}(1,\infty)=\mathcal H(f)=\mathcal D\left(f^{-1}\right)@b 

Určíme ještě předpis inverzní funkce @b \begin{array}{rl} y&=\sqrt{\mathrm{e}^x+1}\\ y^2&=\mathrm{e}^x+1\\ y^2-1&=\mathrm{e}^x\\\ln\left(y^2-1\right) &=x\end{array} @b 

Předpis funkce @if^{-1}@i vyjádříme  v proměnné @ix@i, @if^{-1}(x)=\ln\left(x^2-1\right),\ x\in (1,\infty)@i. Pozor, častá chyba: Všimněte si, že pokud bychom chtěli určit definiční obor inverzní funkce z jejího předpisu, došli bychom k chybnému výsledku @i(-\infty,-1)\cup(1,\infty)@i, viz poznámka výše.


7. Najděte předpis a definiční obor funkce inverzní k funkci @i\arccos \left(\frac{1}{2}-\sqrt{x}\right)@i.

Definiční obor funkce je @i[ 0,\frac{9}{4}]@i. To odvodíme z podmínek @bx\ge 0,\quad -1\le\frac{1}{2}-\sqrt{x}\le 1.@b  Nerovnosti z druhé podmínky po úpravě dávají @i \sqrt{x} \le \frac{3}{2}@i a @i -\frac{1}{2}\le \sqrt{x}@i. První nerovnice má na obou stranách kladné číslo, můžeme umocnit a dostaneme @i x\le \frac{9}{4}@i. Druhá nerovnice je splněná vždy, už ji dále nijak neupravujeme.

Funkce @if@i je prostá, neboť je složená z prostých funkcí (z vnitřku) @i\sqrt{x},\frac{1}{2}-x@i a @i\arccos x@i. Najděme její obor hodnot: 

@b\left[ 0,\frac{9}{4}\right]\xrightarrow{\sqrt {x}} \left[ 0,\frac{3}{2}\right]  \xrightarrow{\frac{1}{2}-x} \left[ -1,\frac{1}{2}\right] \xrightarrow{\arccos\ x} \left[\frac{\pi}{3},\pi\right]=\mathcal H(f)=\mathcal D\left(f^{-1}\right)@b

Poslední krok lze získat jak z grafu funkce @i\arccos\ x@i, tak z jednotkové kružnice - na ose @i x@i, která odpovídá kosinu, si vyznačíme interval @i\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]@i a promítneme ho svisle na jednotkovou kružnici.

Předpis inverzní funkce: @b \begin{array}{rl} y&=\arccos \left(\frac{1}{2}-\sqrt{x}\right)\\ \cos y&=\left(\frac{1}{2}-\sqrt{x}\right)\\ \frac{1}{2}-\cos y&=\sqrt{x}\\ \left(\frac{1}{2}-\cos y\right)^2&=x \end{array} @b 

Odpověď je inverzní funkce @if^{-1}(x)=\left(\frac{1}{2}-\cos x\right)^2@i s definičním oborem @i\left[ \frac{\pi}{3},\pi\right]@i.


Neřešené příklady

  1. Rozhodněte a zdůvodněte, zda jsou prosté funkce z neřešených příkladů kapitoly Graf funkce.

  2. Najděte předpis a definiční obor funkce inverzní k funkci @if(x)=2(x-2)^3+1@i. 

  3. Najděte předpis a definiční obor funkce inverzní k funkci @if(x)=3+\log\sqrt{x}@i.
  4. Najděte předpis a definiční obor funkce inverzní k funkci @if(x)=\ln\frac{1-x}{x}@i.
  5. Najděte předpis a definiční obor funkce inverzní k funkci @if(x)=\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{x}+1}@i.
  6. Najděte předpis a definiční obor funkce inverzní k funkci @if(x)=\arccos(2x-3)@i.
  7. Najděte předpis a definiční obor funkce inverzní k funkci @if(x)=\arcsin\frac{1}{x}@i.

Licence CC BY SA

Naposledy změněno: úterý, 14. června 2022, 21.38