Přidej - Matematika: Definiční obor funkce

Logo OPVVV

Teoretické minimum

Funkce@i f@i jedné reálné proměnné je jistý předpis, který každému číslu @i x\in M\subset\mathbb{R}@i přiřadí právě jedno @i y\in\mathbb{R}@i. Množina @i M@i se nazývá definiční obor , tedy @i M=\mathcal D(f)@i. Definiční obor @i \mathcal D(f)@i je obvykle součástí zadání funkce @i f @i. Pokud tomu tak není, uvažujeme tzv. přirozený definiční obor, tj. množinu všech @ix\in\mathbb{R}@i, pro která má předpis funkce @i f @i smysl.

Pro určení definičního oboru funkce @i f @i je třeba znát definiční obory elementárních funkcí, viz Tabulka I. Podmínky z nich plynoucí jsou shrnuty v následující tabulce a je třeba je perfektně znát. Symbol @i \ast@i označuje jakýkoli výraz obsahující proměnnou @i x @i.

@b \begin{array}{c|c} \frac{1}{\ast} & \ast\neq 0\\ \hline \sqrt[2n]{\ast}, \ {\small \,n\in\mathbb{N}} & \ast \geq 0\\ \hline \log_a \,(\ast ),\ \ {\small a\in (0,1) \cup (1, \infty)}& \ \ \ast > 0\\ \hline \mathrm{tg}\, (\ast) & \ast\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\,k\in\mathbb{Z} \\ \hline \mathrm{cotg} \,(\ast) & \ast\neq k\pi,\,k\in\mathbb{Z} \\ \hline \arcsin \,(\ast) & -1\le\ast\le 1 \\ \hline \arccos \,(\ast) & -1\le\ast\le 1 \\ \end{array} @b

První podmínka nám říká, že výraz ve jmenovateli zlomku nesmí být roven nule. Sudé odmocniny jsou definovány pouze z nezáporných čísel, viz druhý řádek uvedené tabulky. Připoměňme, že lichá odmocnina je definovaná pro každé reálné číslo. Logaritmus při libovolném základu @i a@i, kde @ia\in (0,1) \cup (1, \infty)@i, je definovaný pouze pro kladná čísla. Funkcím arcus sinus a arcus cosinus se budeme více věnovat v kapitole Funkce prosté a funkce k nim inverzní.

Doporučený postup při určování definičního oboru:

Vypíšeme si všechny nerovnice plynoucí z podmínek sepsaných v tabulce.
Všechny tyto podmínky musí být splněny zároveň. Definiční obor @i \mathcal D(f)@i je tedy řešením soustavy těchto nerovnic.

Užitečná poznámka: Nezapomínejte určovat definiční obor funkce vždy, i když není explicitně požadován, například při črtání grafů, vyšetřování vlastností a průběhu funkce, při řešení diferenciálních rovnic apod.

Množina všech funkčních hodnot funkce @if@i se nazývá obor hodnot a značí se @i\mathcal H(f)@i. Tedy

@b\mathcal H (f)=\left\lbrace f(x); x \in \mathcal D (f)\right\rbrace.@b

Související

Řešení lineárních a kvadratických nerovnic a nerovnic v součinovém a podílovém tvaru.

Řešené příklady

1. Určete definiční obor funkce @if(x)= \sqrt{x^2-5x+6}.@i

Předpis funkce obsahuje sudou odmocninu. Její argument (tj. ,,to, co je pod odmocninou'') je @i \ast=x^2-5x+6@i. Podle podmínky z tabulky tedy musí být
@bx^2-5x+6\ge 0. @b
Kvadratickou nerovnici vyřešíme tak, že nejprve nalezneme kořeny kvadratické rovnice @ix^2-5x+6 = 0 @i. V tomto případě je @i x_1=2,\,x_2=3@i. Pomocí nalezených kořenů @i x_1, \,x_2@i rozložíme kvadratický trojčlen na součin kořenových činitelů @ix^2-5x+6 =(x-2)(x-3)@ia vyřešíme nerovnici v součinovém tvaru,
@b(x-2)(x-3)\ge 0.@b

Nulové body jednotlivých činitelů (zde @ix=2@i a @ix=3@i) rozdělí množinu všech reálných čísel na tři intervaly @i(-\infty,2)@i, @i(2,3)@i a @i(3,\infty)@i. N a těchto intervalech již výraz @ix^2-5x+6 @i nemění znaménko. Dosazením libovolného bodu z každého intervalu toto znaménko určíme. Například @i(0)^2-5.0+6>0@i, tedy na intervalu @i(-\infty,2)@i je výraz @ix^2-5x+6 @ikladný. Podobně @i(2,5)^2-5.(2,5)+6<0@i, tedy na intervalu @i(2,3)@i je výraz @ix^2-5x+6 @izáporný. A konečně @i(4)^2-5.4+6>0@i tedy na intervalu @i(3,\infty)@i je výraz @ix^2-5x+6 @iopět kladný.

Celkově vidíme, že nerovnost @i(x-2)(x-3)\ge 0@i je splněna pro @i x \in \left(-\infty,2\right] \cup \left[3,\infty\right).@i

Jiný způsob, jak určit znaménko výrazu @ix^2-5x+6=(x-2)(x-3) @i, jepomocí následující tabulky:

@b \begin{array}{c|c|c|c|c|c} & (-\infty,2)&2&(2,3)&3&(3,\infty)\\ \hline x-2 & - &0&+& + & + \\ \hline x-3 & - & - &- &0& +\\ \hline (x-2)(x-3) & + & 0 &- &0& +\\\end{array} @b

Z tabulky plyne, že výraz @i(x-2)(x-3)@i je nezáporný na @i \left(-\infty,2\right] \cup \left[3,\infty\right).@i Definiční obor funkce @i f @i je tedy
@b \mathcal D(f)=\left(-\infty,2\right] \cup \left[3,\infty\right).@b

Užitečná poznámka: Řešení nerovnice @i(x-2)(x-3)\ge 0@i lze také jednoduše vyčíst přímo z grafu funkce @ix^2-5x+6 =(x-2)(x-3)@i. Tím je nahoru otevřená parabola protínající osu @i x @iv @ix=2@i a @ix=3@i.

2. Určete definiční obor funkce @if(x)=\dfrac{x}{x^2-4}+\log\dfrac{1-x}{3+x}.@i

Předpis funkce obsahuje logaritmus a dva zlomky . Vypíšeme si příslušné podmínky. Argument logaritmu musí být kladné číslo a ve jmenovateli zlomku musí být číslo různé od nuly, tedy @b\frac{1-x}{3+x} >0\quad \wedge\quad 3+x\neq 0 \quad \wedge\quad x^2-4\neq 0.@b
První podmínka je nerovnice v podílovém tvaru. Pozor, častá chyba: Nerovnici nemůžeme vynásobit jmenovatelem @i 3+x@i, pokud nevíme, jestli je jmenovatel kladný nebo záporný. Po vynásobení celé nerovnice záporným jmenovatelem by se otočilo znaménko nerovnosti. Postupujeme stejně jako v předchozím příkladu, určíme si nulové body a intervaly, na kterých zlomek nemění znaménko.
@b \begin{array}{c|c|c|c|c|c} & (-\infty,-3)&-3&(-3,1)&1&(1,\infty)\\ \hline 1-x & + & + &+&0& - \\ \hline 3+x & - & 0&+&+ & +\\ \hline \frac{1-x}{3+x} &- & {\rm \small nedef.} &+&0 & +\\\end{array} @b

Výraz @i \dfrac {1-x}{3+x}@i je tedy kladný naintervalu @ix\in(-3,1).@i

Aby @i x^2-4\neq 0,@i musí být @i x\neq\pm2@i. Pozor, častá chyba: Nezapomeňte, že rovnice @i x^2-4=0@i má dva kořeny, @i x=\pm 2@i.

Definiční obor funkce @i f @i je tedy

@b\mathcal D(f)=\left(-3,-2\right) \cup \left(-2,1\right).@b

3. Určete definiční obor funkce @i f(x)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^x+1}+\ln(x^2)@i.

Předpis funkce obsahuje jeden zlomek a jeden logaritmus. Odpovídající podmínky jsou
@b\mathrm{e}^x+1\neq 0\quad\wedge\quad x^2>0.@b
První podmínka je "automaticky" splněna, protože @i\mathrm{e}^x@i pro libovolné reálné číslo nabývá kladnou hodnotu. Druhá podmínka je splněna pro všechna @ix@i kromě nuly.
Užitečná poznámka: Uvědomte si, že výrazy @i\sqrt{x}, x^2@i jsou vždy nezáporné. Urychlíte si tak výpočet.
Definiční obor funkce je
@b\mathcal D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.@b

4. Určete definiční obor funkce @if(x)=\sqrt{\log_{0,5} x} @i.

Podmínky pro odmocninu a logaritmus jsou
@b\log_{0,5} x \ge 0\quad\wedge\quad x>0.@b
První podmínka je logaritmická nerovnice. Vyřešíme ji například tak, že zapíšeme číslo nula jako logaritmus při základu @i 0{,}5@i z jedničky a odstraníme logaritmus na obou stranách. Pozor, funkce @i\log_{0,5} x@i je klesající. Po odstranění logaritmu se tedy otočí znaménko nerovnice.
@b\begin{aligned}\log_{0,5} x &\ge 0\\ \log_{0,5} x &\ge \log_{0,5} 1\\x&\le 1\end{aligned}@b

Pozor, častá chyba: Nezapomeňte, že při odstraňování logaritmu se základem menším než jedna se mění znaménko nerovnosti.

Užitečná poznámka: Jinou možností, jak nerovnost @i\log_{0,5} x>0@i vyřešit, je vyčíst řešení nerovnice přímo z grafu funkce @i\log_{0,5} x@i. Z tohoto grafu ihned vidíme, že nerovnost @i\log_{0,5} x \ge 0@i je splněna právě pro @ix \in\left(0,1\right].@i

Dostáváme tedy
@b\mathcal D(f)=\left(0,1\right].@b

5. Určete definiční obor funkce @if(x)=\sqrt[3]{x+2}+\sqrt{\dfrac{\ln{x}}{x-2}}@i.

V předpisu se vyskytuje lichá odmocnina, která je definovaná pro všechna reálná čísla. Podmínky pro druhou odmocninu, logaritmus a zlomek vyjádříme následujícícími nerovnicemi:
@b\dfrac{\ln{x}}{x-2}\ge 0\quad \wedge\quad x>0\quad \wedge\quad x-2\neq0.@b
První nerovnici řešíme jako nerovnici v podílovém tvaru pomocí nulových bodů. Nulový bod čitatele je @ix=1@i, protože @i\ln 1 =0@i. Nulový bod jmenovatele je @ix=2@i.

@b \begin{array}{c|c|c|c|c|c} & (0,1)&1&(1,2)&2&(2,\infty)\\ \hline \ln x & - &0&+& + & + \\ \hline x-2 & - & - &-& 0&+\\ \hline \dfrac{\ln{x}}{x-2} &+ & 0 &-& {\rm \small nedef.}&+\\ \end{array} @b

Nulový bod @i x=2 @i jsme z definičního oboru vyloučili, naopak @i x=1 @i do definičního oboru patří, tedy
@b\mathcal D(f)=\left(0,1\right] \cup \left(2,\infty\right).@b