Lineární nerovnice

Teoretické minimum

Nerovnice s jednou neznámou @i\ x\  @i je úloha: najít všechna reálná @i\ x @i, pro která funkce @i\ f\  @i nabývá větších, resp. menších funkčních hodnot než funkce @i\ g\ @i. Zapíšeme ji ve tvaru

@b f(x)>g(x)\quad  \textstyle{\rm resp.}\qquad f(x)<g(x). @b

Funkce @i\ f(x)\ @i je levá strana nerovnice,  funkce @i\ g(x)\ @i je pravá strana nerovnice. U nerovnic se můžeme setkat se znakem neostré nerovnosti větší rovno "@i\geq @i" nebo menší rovno  "@i\leq @i".  Číslo @i\ x@i, které vyhovuje dané nerovnici,  se nazývá kořen (řešení) nerovnice. Řešením nerovnice je často interval. Proto bývá provedení zkoušky obtížné. Je třeba o to více dbát na podmínky, za kterých má daná nerovnice smysl.

Ekvivalentními úpravami nerovnic jsou

  • záměna levé a pravé strany nerovnice současně se změnou znaku nerovnosti
  • přičtení stejného výrazu k oběma stranám nerovnice
  • násobení obou stran rovnice stejným nenulovým výrazem, přičemž pokud je výraz záporný současně dojde ke změně znaku nerovnosti
  • obecně aplikace jakékoli prosté funkce na obě strany nerovnice, přičemž pokud je funkce klesající současně dojde ke změně znaku nerovnosti
  • umocnění obou stran rovnice, pokud jsou obě strany rovnice nezáporné

Lineární nerovnicí s neznámou @i\ x@i rozumíme nerovnici, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar @b ax+b<0,\qquad a,b\in\mathbb{R}.@b Její řešení je následující:

  • je-li @i\ a> 0@i, potom @i x<-\,\dfrac ba@i, tj. @i K=\Bigl(-\infty,-\,\dfrac ba\Bigr)@i,
  • je-li @i\ a< 0@i, potom @i x>-\,\dfrac ba@i, tj. @i K=\Bigl(-\,\dfrac ba,\infty\Bigr)@i,
  • je-li @i\ a=0@i a @i\ b<0@i, potom @i K=\mathbb{R}@i,
  • je-li @i\ a=0@i a @i\ b\geq 0@i, potom @i K=\emptyset@i.
Uvedený postup lze aplikovat i v případě @i \  ax+b>0@i, @i\  ax+b\leq0@i, @i\  ax+b\geq0@i.

Související

Lineární rovnice, lineární funkce, definiční obor funkce.


Řešené příklady

  1. Řešte lineární nerovnici @i\ 5-2(x+1)\leq-5(x-1)@i s reálnou neznámou @ix.@i

  2. Zbavíme se závorek na levé i pravé straně nerovnice

    @b  \begin{array}{r c l} 5-2x-2 &\leq& -5x+5, \\[2mm] 3-2x&\leq& -5x+5.\end{array}@b

    Převedeme členy s @ix@i na jednu stranu a ostatní tzv. absolutní členy na druhou.  (Přičteme @i5x@i a @i-3@i k oběma stranám nerovnice.)

    @b  \begin{array}{r c l} 3+5x-2x &\leq& 5,\\[2mm] 3x&\leq& 5-3.\end{array}@b


    Vydělíme obě strany nerovnice třemi a dostaneme výsledek

    @bx\leq\frac{2}{3}.@b

    Řešením nerovnice je interval @i K=\Bigl(-\infty,\dfrac 23\Bigr\rangle@i.


  3. Řešte lineární nerovnici @i\ \dfrac{x+1}2+\dfrac x3\geq \dfrac{2x+1}2-1@i s reálnou neznámou @ix.@i
  4. Obě strany nerovnice vynásobíme číslem @i\ 6@i. Závorky roznásobíme a sečteme. Členy s neznámou @i\ x@i převedeme na levou stranu nerovnice, absolutní členy na pravou. Poslední úprava je násobení @i\ -1@i. Je třeba otočit znaménko nerovnosti. 

    @b \begin{array}{r c l} \dfrac{x+1}2+\dfrac x3&\geq&\dfrac{2x+1}2-1/ \cdot 6\\[2mm] 3(x+1)+2x&\geq&3(2x+1)-6\\[2mm] 3x+3+2x&\geq&6x+3-6/ -6x-3\\[2mm] 5x-6x&\geq&-6\\[2mm] -x&\geq&-6/\cdot (-1)\\[2mm] x&\leq&6. \end{array}@b

    Řešením nerovnice je interval @i K=(-\infty,6\rangle@i.


Neřešené příklady

  1. Řešte nerovnici   @i x< 1- \dfrac{1+2x}{3} @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i
  2. Řešte nerovnici   @i (3-x)(x+2) \geq x-x^2 + 4.5 @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i
Last modified: Tuesday, 4 September 2018, 2:33 PM