Lineární rovnice

Teoretické minimum

Lineární rovnicí s neznámou @i\ x@i rozumíme rovnici, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar @b ax+b=0,\qquad a,b\in\mathbb{R}.@b Její řešení je následující:

  • je-li @i\ a\neq 0@i, potom @i K=\{-\frac ba\}@i,
  • je-li @i\ a=0@i a @i\ b=0@i, potom @i K=\mathbb{R}@i,
  • je-li @i\ a=0@i a @i\ b\neq 0@i, potom @i K=\emptyset@i.
Užitečná poznámka: Uvědomme si, že řešit rovnici @i\ ax+b=0@i je to samé jako hledat průsečíky přímky @i\ y=ax+b@i s osou @i\ x@i.


Související

Lineární nerovnice, lineární funkce.


Řešené příklady

  1. Řešte lineární rovnici @i5-2(x+1)=-5(x-1)@i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i
  2. Zbavíme se závorek na levé i pravé straně rovnice

    @b \begin{array}{r c l} 5-2x-2&=&-5x+5,\\ 3-2x&=&-5x+5. \end{array}@b

    Převedeme členy s @ix@i na jednu stranu a ostatní tzv. absolutní členy na druhou.  (Přičteme @i5x@i a @i-3@i k oběma stranám rovnice.)

    @b \begin{array}{r c l} 3+5x-2x&=&5,\\ 3x&=&5-3. \end{array}@b

    Vydělíme obě strany rovnice třemi a dostaneme výsledek

    @bx=\frac{2}{3}.@b

  3. Řešte lineární rovnici @i\ \dfrac{3+2x}2-\left(\dfrac 76-\dfrac {12x-1}3\right)=5x\ @i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i
  4. Nejprve odstraníme na levé straně rovnice závorku. Pak vynásobením obou stran rovnice číslem @i\ 6@i se zbavíme zlomků. Závorky roznásobíme a sečteme.

    @b \begin{array}{r c l} \dfrac{3+2x}2-\dfrac 76+\dfrac {12x-1}3&=&5x/ \cdot 6\\[2mm] 3(3+2x)-7+2(12x-1)&=&30x\\[2mm] 9+6x-7+24x-2&=&30x\\[2mm] 30x&=&30x. \end{array}@b

    Poslední rovnost je vždy pravdivá. Řešením rovnice jsou všechny reálné hodnoty @i\ x@i, tj. @i K=\mathbb{R}@i.

  5. Řešte lineární rovnici @i\ \dfrac{3x-1}3-(x-1)=\dfrac{3x-2}6-\dfrac x2\ @i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i
  6. Obě strany rovnice vynásobíme číslem @i\ 6@i. Závorky roznásobíme a sečteme. 

    @b \begin{array}{r c l} \dfrac{3x-1}3-(x-1)&=&\dfrac{3x-2}6-\dfrac x2/ \cdot 6\\[2mm] 2(3x-1)-6(x-1)&=&3x-2-3x\\[2mm] 6x-2-6x+6&=&-2\\[2mm] 4&=&-2. \end{array}@b

    Poslední rovnost není nikdy pravdivá, rovnice nemá řešení, tj. @i K=\emptyset@i.

  7. Řešte lineární rovnici @i\ \dfrac{4x}{2x^2-50}=\dfrac 1{x-5}+\dfrac 1{x+5}\ @i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i
  8. Nejprve určíme podmínky, za kterých má rovnice smysl. Uplatníme tvrzení, nulou nelze dělit.

    @b\begin{array}{rcl} 2x^2-50&\neq &0\\ 2(x^2-25)&\neq&0\\ 2(x-5)(x+5)&\neq&0\end{array}@b

    Rovnice má smysl pro všechna  @i\ x\in\mathbb{R}\backslash\{\pm5\}@i. Jmenovatel zlomku na levé straně rovnice jsme již rozložili na součin. Obě strany rovnice vynásobíme společným jmenovatel všech tří zlomků.

    @b\begin{array}{rcl} \dfrac{4x}{2x^2-50}&= &\dfrac 1{x-5}+\dfrac1{x+5}/ \cdot2(x-5)(x+5)\\[2mm] 4x&=&2(x+5)+2(x-5)\\[2mm] 4x&=&4x\end{array}@b

    Poslední rovnost je vždy pravdivá. Řešením rovnice jsou všechny reálné hodnoty @i\ x@i, pro které má rovnice smysl, tj. @i K=\mathbb{R}\backslash\{\pm5\}@i.


Neřešené příklady

  1. Řešte rovnici   @i\ 2-3(x-5) = 8-\dfrac{2x+1}{2}@i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i
  2. Řešte rovnici   @i\ \dfrac{2x+3}{2} = 1-\dfrac{2-3x}{3}@i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i
  3. Řešte rovnici   @i\ 2.5 +4.8x = 2.8x -0.3@i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i

Last modified: Friday, 27 September 2019, 9:38 AM