Lineární rovnice

Teoretické minimum

• je-li @i\ a\neq 0@i, potom @i K=\{-\frac ba\}@i,
• je-li @i\ a=0@i a @i\ b=0@i, potom @i K=\mathbb{R}@i,
• je-li @i\ a=0@i a @i\ b\neq 0@i, potom @i K=\emptyset@i.

Související

Lineární nerovnice, lineární funkce.

Řešené příklady

Řešte lineární rovnici @i5-2(x+1)=-5(x-1)@i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i

Zbavíme se závorek na levé i pravé straně rovnice

@b \begin{array}{r c l} 5-2x-2&=&-5x+5,\\ 3-2x&=&-5x+5. \end{array}@b

Převedeme členy s @ix@i na jednu stranu a ostatní tzv. absolutní členy na druhou.  (Přičteme @i5x@i a @i-3@i k oběma stranám rovnice.)


@b \begin{array}{r c l} 3+5x-2x&=&5,\\ 3x&=&5-3. \end{array}@b


Vydělíme obě strany rovnice třemi a dostaneme výsledek


@bx=\frac{2}{3}.@b

Řešte lineární rovnici @i\ \dfrac{3+2x}2-\left(\dfrac 76-\dfrac {12x-1}3\right)=5x\ @i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i

Nejprve odstraníme na levé straně rovnice závorku. Pak vynásobením obou stran rovnice číslem @i\ 6@i se zbavíme zlomků. Závorky roznásobíme a sečteme.

@b \begin{array}{r c l} \dfrac{3+2x}2-\dfrac 76+\dfrac {12x-1}3&=&5x/ \cdot 6\\[2mm] 3(3+2x)-7+2(12x-1)&=&30x\\[2mm] 9+6x-7+24x-2&=&30x\\[2mm] 30x&=&30x. \end{array}@b


Poslední rovnost je vždy pravdivá. Řešením rovnice jsou všechny reálné hodnoty @i\ x@i, tj. @i K=\mathbb{R}@i.

Řešte lineární rovnici @i\ \dfrac{3x-1}3-(x-1)=\dfrac{3x-2}6-\dfrac x2\ @i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i

Obě strany rovnice vynásobíme číslem @i\ 6@i. Závorky roznásobíme a sečteme. 

@b \begin{array}{r c l} \dfrac{3x-1}3-(x-1)&=&\dfrac{3x-2}6-\dfrac x2/ \cdot 6\\[2mm] 2(3x-1)-6(x-1)&=&3x-2-3x\\[2mm] 6x-2-6x+6&=&-2\\[2mm] 4&=&-2. \end{array}@b


Poslední rovnost není nikdy pravdivá, rovnice nemá řešení, tj. @i K=\emptyset@i.

Řešte lineární rovnici @i\ \dfrac{4x}{2x^2-50}=\dfrac 1{x-5}+\dfrac 1{x+5}\ @i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i

Nejprve určíme podmínky, za kterých má rovnice smysl. Uplatníme tvrzení, nulou nelze dělit.

@b\begin{array}{rcl} 2x^2-50&\neq &0\\ 2(x^2-25)&\neq&0\\ 2(x-5)(x+5)&\neq&0\end{array}@b

Rovnice má smysl pro všechna  @i\ x\in\mathbb{R}\backslash\{\pm5\}@i. Jmenovatel zlomku na levé straně rovnice jsme již rozložili na součin. Obě strany rovnice vynásobíme společným jmenovatel všech tří zlomků.

@b\begin{array}{rcl} \dfrac{4x}{2x^2-50}&= &\dfrac 1{x-5}+\dfrac1{x+5}/ \cdot2(x-5)(x+5)\\[2mm] 4x&=&2(x+5)+2(x-5)\\[2mm] 4x&=&4x\end{array}@b


Poslední rovnost je vždy pravdivá. Řešením rovnice jsou všechny reálné hodnoty @i\ x@i, pro které má rovnice smysl, tj. @i K=\mathbb{R}\backslash\{\pm5\}@i.