Určitý a nevlastní integrál

Teoretické minimum

Mějme primitivní funkci @i F @i k funkci @i f @i na intervalu @i [a,b] @i. Pak určitý integrál fukce @i f @i od @i a @i do @i b @i je definován jako @b \int_a^b f(x)\,{\rm d}x := \left(\big[F(x)\big]_a^b\equiv\right) F(b)-F(a). @b Číslo @i a @i se nazývá dolní mez integrálu a číslo @i b @i horní mez. Lze říci, že určitý integrál je přírůstkem funkčních hodnot primitivní funkce od @i a @i do @i b @i.

Platí tzv. aditivita integrálu: @b \int_a^b f(x)\,{\rm d}x= \int_a^c f(x)\,{\rm d}x + \int_c^b f(x)\,{\rm d}x @b pro každé @i c\in [a,b] @i.

V případě, kdy některá z mezí je nevlastní (@i +\infty @i, či @i  -\infty @i), anebo když primitivní funkce existuje pouze na otevřeném, či polouzavřeném intervalu, lze zobecnit výše uvedený určitý integrál následujícím způsobem: @b \int_a^b f(x)\,{\rm d}x := \left(\big[F(x)\big]_a^b\equiv\right) \lim_{x\rightarrow b-}F(x)-\lim_{x\rightarrow a+} F(x), @b pokud má pravá strana smysl. Toto zobecnění se nazývá nevlastní integrál funkce @i f @i od @i a @i do @i b @i. Říkáme, že integrál konverguje, pokud je konečný. V opačném případě (pokud je nekonečný, anebo neexistuje) říkáme, že integrál diverguje.

Související

Metody výpočtu neurčitých integrálů, limity.   

Řešené příklady

Jak je z definic určitého a nevlastního integrálu vidět, musíme umět najít primitivní funkci (neurčitý integrál), a pak už jen počítat její funkční hodnoty, popř. limity. Využijeme proto příklady spočtené v předchozích částech:

1. Neurčitý integrál, primitivní funkce
2. Integrace metodou per partes a substitucí
3. Integrace racionálních funkcí

1. Spočtěme @i\displaystyle \int_0^1 3\sqrt x\,{\rm d}x @i.

Jedna z primitivních funkcí je @i F(x) = 2x\sqrt x,\ x\in [0,+\infty) @i (vizte I., Př. 3). Poznamenejme, že @i [0,1]\subset [0,+\infty) @i, jedná se tedy o určitý integrál, a tak z definice dostáváme @b \int_0^1 3\sqrt x\,{\rm d}x=\big [2x\sqrt x\big]_0^1 = 2\cdot 1\sqrt 1 - 2\cdot 0\sqrt 0 = 2.  @b

2. Vypočtěme @i \displaystyle\int_{-1}^0 \Big(1-\dfrac{1}{x^2}\Big)\,{\rm d}x @i.

Primitivní funkcí je např. funkce @i x+\dfrac{1}{x},\ x\in(-\infty,0) @i (vizte I., Př. 4). Jelikož není primitivní funkce definovaná na uzavřeném intervalu @i [-1,0] @i, ale pouze na polouzavřeném intervalu @i [-1,0) @i, jedná se o nevlastní integrál, a tak budeme muset pro jeho výpočet použít limitu: @b \int_{-1}^0 \Big(1-\frac{1}{x^2}\Big)\,{\rm d}x=\Big[x+\frac{1}{x}\Big]_{-1}^0 = \lim_{x\rightarrow 0-}\Big(x+\frac{1}{x}\Big)- \Big(-1+\frac{1}{-1}\Big)=-\infty, @b takže integrál diverguje.

3. Spočtěme @i \displaystyle\int_1^{\rm e}\ln x\,{\rm d}x @i.

Primitivní funkce je např. @i x(\ln x -1),\ x\in (0,+\infty) @i (vizte II., Př. 2). Protože @i [1,{\rm e}]\subset (0,+\infty) @i, jedná se o určitý integrál: @b \int_1^{\rm  e} \ln x\,{\rm d}x = \big[x(\ln x-1)\big]_1^{\rm e}= {\rm e}(1-1)-1(0-1)= 1. @b

4. Určeme @i \displaystyle\int_0^1 \dfrac{(\sqrt x - 1)^2}{2\sqrt x}\,{\rm d}x @i.

Jedna z primitivních funkcí je @i \dfrac{1}{3}(\sqrt x -1)^3,\ x\in (0,+\infty) @i (vizte II., Př. 8). Opět se jedná o nevlastní integrál, neboť primitivní funkce existuje pouze na intervalu @i (0,+\infty)\supset (0,1] @i, a tak @b \int_0^1 \frac{(\sqrt x - 1)^2}{2\sqrt x}\,{\rm d}x =\Big[\frac{1}{3}(\sqrt x -1)^3\Big]_0^1=\frac{1}{3}\Big[(\sqrt x -1)^3\Big]_0^1=\frac{1}{3}\big(1-1-\lim_{x\rightarrow 0+}(\sqrt x -1)^3\big)=\frac{1}{3}, @b tudíž integrál konverguje.

5. Vypočtěme @i \displaystyle\int_3^{+\infty} \dfrac{3x-2}{-x^2+3x-2}\,{\rm d}x @i.

Primitivní funkci lze zapsat ve tvaru @i \ln(x-1)-4\ln(x-2),\ x\in (2,+\infty) @i (vizte III., Př. 1, se správným výběrem intervalu @i [3,+\infty)\subset (2,+\infty) @i a následným odstraněním absolutních hodnot). Tento integrál je nevlastním vlivem horní meze: @b \int_3^{+\infty} \frac{3x-2}{-x^2+3x-2}\,{\rm d}x = \big[\ln(x-1)-4\ln(x-2)\big]_3^{+\infty} = \lim_{x\rightarrow +\infty}\big(\ln(x-1)-4\ln(x-2)\big) -\ln 2.@b Limita je neurčitého typu „@i +\infty-\infty @i“, spočteme ji s využitím l'Hospitalova pravidla. Z rozdílu vytkneme např. @i \ln(x-1) @i a dostaneme @b \ln(x-1)\left(1-4\,\frac{\ln(x-2)}{\ln(x-1)}\right). @b Na vzniklý podíl, který je neurčitého typu „@i \frac{+\infty}{+\infty} @i“, můžeme použít l'Hospitalovo pravidlo: @b \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln(x-2)}{\ln(x-1)} \overset{{\rm l'H}}{=} \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\,\frac{1}{x-2}\,}{\frac{1}{x-1}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x-1}{x-2}=1 @b (poslední rovnost zdůvodněte sami!).

Užitečná poznámka: Tento trik na výpočet limity rozdílu by nevedl k cíli např. pro @i \lim_{x\rightarrow +\infty}\big(\ln(x-1)-\ln(x-2)\big) @i, tj. v případě, když „obě nekonečna jsou stejná“ (Zkuste si to!). Účinný je jiný postup uvedení o několik řádků níže.

Jelikož @b \lim_{x\rightarrow +\infty}\big(\ln(x-1)-4\ln(x-2)\big)= \lim_{x\rightarrow +\infty}\ln(x-1)\left(1-4\,\frac{\ln(x-2)}{\ln(x-1)}\right)={\rm „}+\infty \cdot(1-4\cdot 1){\rm “}=-\infty, @b je hledaný nevlastní integrál @i -\infty @i.

Pozor, častá chyba: Obecně NEPLATÍ @b \lim_{x\rightarrow a} (A+B)= \lim_{x\rightarrow a} A +\lim_{x\rightarrow a} B, @b

tudíž v našem případě nelze psát:

@b \big[\ln(x-1)-4\ln(x-2)\big]_3^{+\infty} = \big[\ln(x-1)\big]_3^{+\infty}-\big[4\ln(x-2)\big]_3^{+\infty}\ ! @b

Jiný způsob výpočtu limity (aneb umění počítání s logaritmy se vyplatí ;-))

Primitivní funkci lze zapsat i ve tvaru @b \ln(x-1)-4\ln(x-2)=\ln\frac{x-1}{(x-2)^4}. @b Jelikož @i \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x-1}{(x-2)^4} = 0 @i (výpočet proveďte sami!), aplikací věty o limitě složené funkce dostáváme @b \lim_{x\rightarrow +\infty} \ln\frac{x-1}{(x-2)^4}=\lim_{y\rightarrow 0+}\ln y=-\infty. @b

6. Spočtěme @i \displaystyle\int_0^2 \big(2|2x-1|+1\big)\,{\rm d}x @i.

V tomto případě je nutné odstranit absolutní hodnotu a využít aditivity integrálu. Nulovým bodem @i |2x-1| @i je @i 1/2 @i, a tak @b \begin{align*}\int_0^2 \big( 2|2x-1|+1\big)\,{\rm d}x &= \int_0^{\frac{1}{2}} \big( -2(2x-1)+1\big)\,{\rm d}x + \int_{\frac{1}{2}}^2 \big( 2(2x-1)+1\big)\,{\rm d}x \\&= \int_0^{\frac{1}{2}} (-4x+3)\,{\rm d}x + \int_{\frac{1}{2}}^2 (4x-1)\,{\rm d}x = \big[-2x^2+3x\big]_0^{\frac{1}{2}} + \big[2x^2-x\big]_{\frac{1}{2}}^2\\&= -\frac{1}{2}+\frac{3}{2} -0+ 8-2-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)= 7.\end{align*} @b

Užitečná poznámka: Předpokládejme, že funkce @i f @i je spojitá na intervalu @i [-a,a] @i pro nějaké @i a>0 @i. Využitím aditivity integrálu a substituce lze odvodit, že 

• je-li  @i f @i lichá, tak @b \int_{-a}^a f(x)\, {\rm d} x =0 @b
  
• je-li @i f @i sudá, tak  @b \int_{-a}^a f(x)\, {\rm d} x = 2\int_0^a f(x)\,{\rm d}x @b

Takže například @b \int_{-1}^1 x\,{\rm d}x = 0\qquad{a}\qquad \int_{-1}^1 x^2\,{\rm d}x=2\int_0^1 x^2\,{\rm d}x=2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}. @b