Neurčitý integrál, primitivní funkce
Neurčitý integrál, primitivní funkce
Teoretické minimum
Primitivní funkce @i F@i k funkci @i f @i na intervalu @i I @i je taková funkce, pro kterou platí @b \forall x\in I\quad F'(x)=f(x). @b Z definice je vidět, že když dostaneme kandidáta na primitivní funkci, je snadné (derivováním) ověřit, že je
to opravdu primitivní funkce. Všechny primitivní funkce k dané funkci se liší nejvýše o konstantu (derivace konstanty je nula), tj. pro dvě primitivní funkce @i F,G @i k funkci @i f @i na intervalu @i I @i existuje konstanta @i K\in\mathbb R @i taková,
že platí @b \forall x\in I\quad F(x)=G(x)+K. @b Konstantu @i K @i nazýváme integrační konstantou, funkci @i f@i integrandem a množinu všech primitivních funkcí neurčitým integrálem.
Neurčitý integrál @i \int f(x)\,{\rm d}x @i k funkci @i f@i na intervalu @i I @i je @b \int f(x)\,{\rm d}x\equiv\{F;\, F\hbox{ je primitivní funkce k } f \hbox{ na intervalu } I\}. @b
Platí: Neurčitý integrál (primitivní funkce) existuje, je-li funkce @i f @i spojitá na intervalu @i I @i. Pak jsou i všechny primitivní funkce spojité na @i I @i.
Úmluva: Dle potřeby někdy označujeme @b F(x)=\int f(x)\,{\rm d}x. @b
Neurčitý integrál některých jednoduchých funkcí (Tabulka III)
@i C\in\mathbb R @i značí integrační konstantu (najděte sami všechny maximální intervaly, na kterých neurčité integrály níže uvedených funkcí existují!)
@b \begin{align*} & \int 0\,{\rm d}x=C \\ & \int x^a\,{\rm d}x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C,\ a\in\mathbb R\setminus\{-1\}\\ & \int\frac{1}{x}\,{\rm d}x=\ln|x|+C\\ & \int\sin x\,{\rm d}x=-\cos x+C,\qquad \int\cos x\,{\rm d}x=\sin+C\\
& \int a^x\,{\rm d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C,\ a\in (0,+\infty)\setminus\{1\}\\ & \int\frac{1}{1+x^2}\,{\rm d}x={\rm arctg}\,x+C,\qquad \int-\frac{1}{1+x^2}\,{\rm d}x={\rm arccotg}\,x+C \\ &\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,{\rm d}x=\arcsin
x+C,\qquad \int-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,{\rm d}x=\arccos x+C \\ & \int\frac{1}{\sin^2 x}\,{\rm d}x=-{\rm cotg}\,x+C,\qquad \int\frac{1}{\cos^2 x}\,{\rm d}x={\rm tg}\,x+C\\ & \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,{\rm d}x=\ln|f(x)|+C\end{align*}
@b
Jelikož je neurčitý integrál „opačnou“ operací k operaci derivace, dědí některé její vlastnosti: @b \forall \alpha,\beta\in\mathbb R\quad \int \big(\alpha f(x)+\beta g(x)\big)\,{\rm d}x = \alpha\int f(x)\,{\rm d}x + \beta \int g(x)\,{\rm d}x\ \hbox{ na
intervalu } I. @b Také neurčité integrály některých elementárních funkcí lze odvodit ze znalosti derivace elementárních funkcí. Např. @i (x^2)'=2x,x\in\mathbb R, @i a tudíž @i \displaystyle\int x\,{\rm d}x=\frac{x^2}{2}+C,\ x\in\mathbb R,C\in\mathbb
R @i.
Užitečná poznámka: Neurčitý integrál budeme zapisovat v právě uvedené formě, tj. jako součet jedné primitivní funkce a integrační konstanty.
Platí: Je-li @i F @i primitivní funkcí k @i f @i na intervalu @i I @i, pak pro libovolná @i a,b\in\mathbb R,\ a\neq 0,@i máme @b\begin{equation} \int f(ax+b)\,{\rm d}x = \frac{1}{a}F(ax+b) + C,\ ax+b\in I, C\in\mathbb R. \end{equation}\label{LS}\tag{LS}@b Jedná se o tzv. lineární substituci v neurčitém integrálu, aneb o integraci složené funkce, kde vnitřní funkce je lineární funkce @i ax+b @i a vnější je @i f @i. Toto tvrzení je velmi užitečné, protože ušetří časté používání věty o (lineární) substituci. Pokud mu nevěříte, přesvědčte se (zpětnou) derivací pravé strany. Chceme-li využít (\ref{LS}) např. k nalezení neurčitého integrálu z funkce @i \cos (2x+1) @i na @i \mathbb R @i, stačí vědět, že primitivní funkce ke @i \cos x @i je @i \sin x @i (derivace sinu je kosinus) a najít směrnici @i a=2 @i lineární funkce @i 2x+1 @i. Ta se objeví jako převrácená hodnota u primitivní funkce @i \sin @i, do níž dosadíme lineární funkci @i 2x+1 @i, tedy @b \int \cos (2x+1)\,{\rm d}x = \frac{1}{2}\sin(2x+1) + C,\ x\in\mathbb R, C\in\mathbb R. @b
Související
Řešené příklady
1. Zjistěte, jsou-li funkce @i F(x)=-{\rm arctg}\,x,\ x\in\mathbb R, @i a @i G(x)={\rm arccotg}\,x,\ x\in\mathbb R, @i primitivní funkce ke stejné funkci na @i \mathbb R @i. Pokud tomu tak je, nalezněte konstantu, o kterou se liší.
Zderivujme @i F, G @i: @b F'(x)=-\frac{1}{1+x^2},\ x\in\mathbb R,\qquad G'(x)=-\frac{1}{1+x^2},\ x\in\mathbb R. @b Vidíme, že @b \forall x\in\mathbb R\quad F'(x)=G'(x), @b a tudíž @i F,G @i jsou primitivní funkce k funkci @i f(x)=-\dfrac{1}{1+x^2} @i na @i \mathbb R @i.
Jelikož musí existovat konstanta @i K\in\mathbb R @i tak, že @i \forall x\in \mathbb R\quad F(x)=G(x)+K @i, pro její určení stačí zvolit jedno @i x\in\mathbb R @i. Zvolme např. @i x=0 @i: @i F(0)=-{\rm arctg}\,0=0,\ G(0)={\rm arccotg}\, 0=\frac{\pi}{2}
@i, a tak @b 0=\frac{\pi}{2} + K\ \Rightarrow\ K=-\frac{\pi}{2}, @b tudíž @b F=G-\frac{\pi}{2} \hbox{ na }\mathbb R. @b Tento závěr ostatně plyne ze známé identity @b {\rm arctg} x+ {\rm arccotg}x=\frac{\pi}{2}, @b anebo z grafů obou funkcí:
2. Stanovte maximální intervaly, na kterých je neurčitý integrál @i \displaystyle\int x(x^2-1)\ln(x+1)\,{\rm d}x @i definovaný. Dále vyšetřete monotonii každé z primitivních funkcí.
Neurčitý integrál je definovaný na intervalech, na kterých je integrand @i f(x)=x(x^2-1)\ln(x+1) @i spojitý, tudíž na intervalu @i (-1,+\infty) @i. Definičním oborem neurčitého integrálu je tedy interval @i I=(-1,+\infty) @i.
Jelikož se všechny primitivní funkce liší o konstantu, je monotonie každé z nich stejná. Zvolme si tedy jednu a označme ji @i F @i. Monotonii vyšetříme na základě první derivace. Z definice primitivní funkce máme @b F'(x)=f(x)=x(x^2-1)\ln(x+1),\ x\in (-1,+\infty). @b Položme @i F'(x)=x(x^2-1)\ln(x+1)=0 @i. Pak stacionární body jsou @i x_1=0,\ x_2=1 @i. Vyšetřeme znaménko @i F'=f @i v jejich okolí:
Protože je primitivní funkce @i F @i spojitá na @i (-1,+\infty) @i, je klesající na intervalu @i (-1,1) @i a rostoucí na intervalu @i (1,+\infty) @i.
3. Spočtěme @i \displaystyle\int 3\sqrt x \,{\rm d}x @i.
Jelikož je funkce @i 3\sqrt x @i spojitá v @i I=[0,+\infty) @i, je definičním oborem neurčitého integrálu tento interval @i I @i. S využitím linearity integrálu dostaneme @b \int 3\sqrt x\,{\rm d}x = 3\int \sqrt x\,{\rm d}x = 3\int x^{\frac{1}{2}}\,{\rm
d}x =3\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C = 3\cdot\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+ C = 2x\sqrt x +C,\ x\in [0,+\infty),C\in\mathbb R. @b
4. Najděme primitivní funkci k funkci @i f(x)=1-\dfrac{1}{x^2} @i.
Funkce @i f(x)=1-\dfrac{1}{x^2} @i je spojitá na intervalech @i I=(-\infty,0) @i a @i J=(0,+\infty) @i. Proto primitivní funkce (označme ji @i F @i) existuje na intervalech @i I @i a @i J @i. Máme @b F(x)=\int\left(1-\frac{1}{x^2}\right){\rm d}x = \int
1\,{\rm d}x -\int\frac{1}{x^2}\,{\rm d}x = x - \int x^{-2}\,{\rm d}x =x-\frac{x^{-1}}{-1} = x+\frac{1}{x},\ x\in (-\infty,0)\hbox{ nebo } x\in (0,+\infty). @b
Užitečná poznámka: V našem příkladě jsme volili primitivní funkci odpovídající integrační konstantě rovné nule. Mohli jsme si však zvolit i jinou primitivní funkci, např. @b G(x)= x+\frac{1}{x} +\pi,\ x\in (-\infty,0) \hbox{ nebo } x\in (0,+\infty), @b která odpovídá integrační konstantě @i \pi @i.
Užitečná poznámka: Odmocniny a převrácené hodnoty libovolné mocniny (s výjimkou @i \frac{1}{x} @i!) integrujeme vždy ve formě mocniny.
5. Spočtěme @i \displaystyle\int \dfrac{x^2+1}{x}\,{\rm d}x. @i Aneb dělení je užitečná úprava!
Integrand @i \dfrac{x^2+1}{x} @i je spojitý na dvou intervalech @i (-\infty,0) @i a @i (0,+\infty) @i, hledaný neurčitý integrál tedy bude existovat na každém z těchto intervalů. Vydělme čitatele integrandu jmenovatelem @b \int \frac{x^2+1}{x}\,{\rm d}x=\int \left(x+\frac{1}{x}\right){\rm d}x=\int x\,{\rm d}x + \int \frac{1}{x}\,{\rm d}x=\frac{x^2}{2}+\ln|x| + C,\ x\in (-\infty,0) \hbox{ nebo } x\in (0,+\infty), C\in \mathbb R. @b
6. Najděme takovou primitivní funkci @i F @i k funkci @i x(3x+1) @i, jejíž graf prochází bodem @i (0,2) @i. Aneb roznásobování je též někdy užitečné!
Funkce @i x(3x+1) @i je spojitá všude, takže hledaná primitivní funkce existuje na celém @i \mathbb R @i. Roznásobením integrandu dostaneme @b \int x(3x+1)\,{\rm d}x = \int(3x^2+x)\,{\rm d}x = 3\int x^2\,{\rm d}x + \int x\,{\rm d}x=3\cdot \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}
+ C=x^3 + \frac{x^2}{2} + C,\ x\in\mathbb R, C\in \mathbb R. @b Jelikož @i F(x) = x^3 + \dfrac{x^2}{2} + C @i pro jedno konkrétní @i C @i, musíme ho z podmínky @i F(0) = 2 @i v zadání příkladu stanovit: @b F(0)=0^3+\frac{0^2}{2}+C=C, @b a tudíž
@i C=2 @i. Hledaná primitivní funkce je @i F(x) = x^3 + \dfrac{x^2}{2} + 2,\ x\in\mathbb R @i.
7. Vypočtěme @i \displaystyle\int \cos^2 x\,{\rm d}x @i. Aneb vzorečky jsou někdy užitečné!
Užitečná poznámka: Integraci @i \sin^2 x @i a @i \cos^2 x @i lze v zásadě provést dvěma způsoby. Metodou per partes Integrace metodou per partes a substitucí (viz později) anebo využitím vztahů plynoucích ze vzorcečků odvozených ze vzorců pro cosinus dvojnásobného úhlu @b \sin^2 x=\frac{1}{2}\big(1-\cos(2x)\big) @b @b \cos^2 x=\frac{1}{2}\big(1+\cos(2x)\big) @b
Integrand @i \cos^2 x @i je spojitý v @i \mathbb R @i, hledaný integrál tedy existuje v @i \mathbb R @i. Aplikací druhého vzorečku dostaneme @b \int \cos^2 x\,{\rm d}x = \int \frac{1}{2}\big(1+\cos(2x)\big)\,{\rm d}x = \frac{1}{2}\left(x+\int\cos(2x)\,{\rm d}x\right)= \frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2}\sin(2x)\right) + C,\ x\in\mathbb R,C\in\mathbb R, @b kde k výpočtu @i \displaystyle\int\cos(2x)\,{\rm d}x @i jsme využili lineární substituci (\ref{LS}).
8. Spočtěme @i \displaystyle\int\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\,{\rm d}x @i. Aneb jde-li o integraci racionální funkce a je-li stupeň polynomu v čitateli větší nebo roven stupni polynomu ve jmenovateli, dělíme!
Funkce @i \dfrac{x^2-1}{x^2+1} @i je spojitá v @i \mathbb R @i. Definiční obor všech primitivních funkcí bude tedy @i \mathbb R @i. Jelikož se jedná o racionální funkci (podíl dvou polynomů) a stupeň @i x^2-1 @i je roven stupni @i x^2+1 @i, tj. dvojce, můžeme vydělit. Proveďte sami! My si ukážeme jinou metodu, kterou lze používat v jednoduchých případech obdobných tomuto. Do čitatele napíšeme jmenovatele a vše musíme upravit tak, aby rovnost zůstala zachovaná @b \int\frac{x^2-1}{x^2+1}\,{\rm d}x = \int\frac{(x^2+1)-2}{x^2+1}\,{\rm d}x @b a vydělíme rozdíl v čitateli jmenovatelem @b \int\frac{(x^2+1)-2}{x^2+1}\,{\rm d}x = \int\left(1-\frac{2}{x^2+1}\right){\rm d}x. @b Dostaneme @b \int\frac{x^2-1}{x^2+1}\,{\rm d}x = x-2\int\frac{1}{x^2+1}\,{\rm d}x = x-2\,{\rm arctg}\,x + C,\ x\in\mathbb R,C\in\mathbb R. @b
Užitečná poznámka: Jelikož primitivní funkcí k funkci @i -\dfrac{1}{1+x^2} @i je @i {\rm arccotg}\,x @i, lze získat i jiný výsledek @b \int\frac{x^2-1}{x^2+1}\,{\rm d}x = x+2\,{\rm arccotg}\,x +C,\ x\in\mathbb R,C\in\mathbb R. @b
9. Vypočtěme @i \displaystyle\int {\rm tg}^2\,x\,{\rm d}x @i. Aneb nějaké triky je dobré znát.
Jelikož je funkce @i {\rm tg}^2\,x @i spojitá na každém z intervalů @i \left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),k\in\mathbb Z, @i neurčitý integrál bude existovat na kterémkoli z těchto intervalů. Použitím definice funkce tangens a základní
goniometrické identity @b \forall x\in\mathbb R\quad\sin^2 x + \cos^2 x = 1 @b dostaneme @b \int {\rm tg}^2\,x\,{\rm d}x=\int\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\,{\rm d}x = \int\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\,{\rm d}x = \int\frac{1}{\cos^2 x}\,{\rm d}x - \int
1\,{\rm d}x = {\rm tg}\, x -x + C,\ x\in \left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right),k\in\mathbb Z; C\in\mathbb R, @b kde jsme ve třetí rovnosti dělili čitatele jmenovatelem.
10. Spočtěme @i \displaystyle\int \dfrac{(\sqrt x -1)^2}{2\sqrt x}\,{\rm d}x @i. Aneb úpravy výrazů jsou velmi užitečné.
Integrand @i \dfrac{(\sqrt x -1)^2}{2\sqrt x} @i je spojitý na kladných číslech, neurčitý integrál bude proto existovat na @i (0,+\infty) @i. Čitatele umocníme na druhou s využitím vzorečku @b (A\pm B)^2=A^2\pm 2AB+B^2, @b a pak vydělíme jmenovatelem
@b \int \dfrac{(\sqrt x -1)^2}{2\sqrt x}\,{\rm d}x = \int \dfrac{x-2\sqrt x +1}{2\sqrt x}\,{\rm d}x = \int\left(\dfrac{\sqrt x}{2}-1+\dfrac{1}{2\sqrt x}\right)\,{\rm d}x. @b Jelikož
- z Příkladu 3 víme, že @i \displaystyle\int\sqrt x\,{\rm d}x = \dfrac{2}{3}x\sqrt x +C @i,
- @i (\sqrt x)' = \dfrac{1}{2\sqrt x} @i (zkuste si primitivní funkci k @i \dfrac{1}{2\sqrt x} @i spočítat sami obdobným postupem jako v Příkladě 3!),
máme @b \int \dfrac{(\sqrt x -1)^2}{2\sqrt x}\,{\rm d}x = \dfrac{1}{3}x\sqrt x - x + \sqrt x + C,\ x\in (0,+\infty),C\in\mathbb R. @b
Užitečná poznámka: Tento příklad lze řešit mnohem elegantněji substitucí @i y= \sqrt x -1 @i, což si ukážeme v části Integrace metodou per partes a substitucí (Příklad 8).
Neřešené příklady
- Spočtěte @i \displaystyle\int \left({\rm e} + \dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right){\rm d}x @i.
- Najděte primitivní funkci k funkci @i {\rm cotg}^2\,x @i, jejíž graf prochází bodem @i \left(-\frac{\pi}{2},1\right) @i.
- Vypočtěte @i \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{8x}}\,{\rm d}x @i.
- Určete @i \displaystyle\int 4\sin^2 x\,{\rm d}x @i.
- Najděte primitivní funkci k @i \dfrac{(2x+1)^2}{x} @i na intervalu @i (-\infty,0) @i.
- Vypočtěte @i \displaystyle\int -\dfrac{3}{\sqrt{4-(2x)^2}}\,{\rm d}x @i.
- Spočtěte @i \displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}\,{\rm d}x @i. Najděte všechny maximální intervaly, na kterých je neurčitý integrál definován.
- Určete @i \displaystyle\int \dfrac{x^3-x^2+x-1}{x-1}\,{\rm d}x @i.
- Stanovte @i \displaystyle\int 2^x\left(1-\dfrac{2^{-x}}{x^3}\right)\,{\rm d}x @i.
- Najděte @i \displaystyle\int \dfrac{1+\cos^2 x}{1-\sin^2 x}\,{\rm d}x @i.
