Limita funkce

Teoretické minimum

Limita funkce v bodě @ix_0@i popisuje chování funkce na velmi blízkém okolí bodu @ix_0.@i Jinými slovy, limita v bodě @ix_0@i je rovna hodnotě, ke které se blíží funkční hodnoty funkce @if@i pro body dostatečně blízké bodu @ix_0.@i

Pro definici limity funkce jsou klíčové pojmy okolí a prstencové okolí, připomeňte si je z předchozí kapitoly.

Vlastní limita funkce ve vlastním bodě

Uvažujme funkci @if@i a bod @ix_0\in\mathbb{R}@i takový, že @i\mathcal{P}(x_0)\subset\mathcal{D}(f)@i. Řekneme, že funkce @if@i má v bodě @ix_0@i limitu @iL\in\mathbb{R}@i (neboli @if@i konverguje k @iL@i pro @ix@i jdoucí k @ix_0@i), jestliže pro všechna @i\varepsilon>0@i existuje @i\delta>0@i tak, že

@b\forall x\in\mathcal{P}_\delta(x_0) \text{ je } f(x)\in\mathcal{O}_\varepsilon(L). \label{rovnice}\tag{1} @b

Že má funkce @if@i limitu @iL@i v bodě @ix_0@i obvykle zapisujeme následujícím způsobem: @i\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L.@i

Užitečná poznámka: Všimněme si, že definice vlastní (tj. konečné) limity ve vlastním bodě (tj. ne v @i\pm \infty@i) je téměř shodná s definicí spojitosti v bodě. Jediný rozdíl je v tom, že v bodě @ix_0@i nemusí být splněna podmínka, že @if(x_0)\in\mathcal{O}_\varepsilon(L)@i. To je právě řečeno záměnou @i\mathcal{O}_\delta(x_0)@i za @i\mathcal{P}_\delta(x_0)@i. Dokonce bod @ix_0@i ani nemusí být součástí definičního oboru. Jinými slovy, nezáleží na tom, jak se funkce chová v bodě @ix_0@i, ale jen na jeho bezprostředním okolí. Limita funkce nám dává informaci o hodnotách funkce na prstencovém okolí bodu @ix_0@i.

Ekvivalentně lze pro funkci jedné reálné proměnné definovat limitu místo přes okolí bodu s použitím absolutní hodnoty. Řádek \eqref{rovnice} je pak nahrazen řádkem:

@i\forall x\neq x_0@i   takové, že  @i |x-x_0|<\delta @i  je @i|f(x)-L|<\varepsilon.@i

Jak již bylo řečeno, zkoumání limity v bodě @ix_0@i je vlastně zkoumání chování funkce na bezprostředním okolí bodu @ix_0@i. 

Na obrázku lze nahlédnout podstatu limity a rozdíl mezi ní a spojitostí v bodě. Funkce @if@i má v bodě @ix_0@i limitu @iL@i a to i přesto, že samotná hodnota @if(x_0)@i se od @iL@i liší. Nicméně, pro libovolný "pás" kolem limity @iL@i šířky @i2\varepsilon@i (@i\varepsilon@i na obě strany od @iL@i) platí, že pokryje veškeré funkční hodnoty bodů z @i\mathcal{P}_{\delta}(x_0)@i. 

Poznámka: Mezi limitou a spojitostí v bodě existuje přímý vztah. Platí: Funkce @if@i je spojitá v bodě @ix_0@i právě tehdy, když existuje limita @iL@i v tomto bodě a platí @bL=\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).@b

Na obrázku níže vidíme tři různé případy. Všechny funkce mají v bodě @ix_0=1@i limitu @iL=1@i, ovšem pouze funkce z @i(a)@i je spojitá v bodě @i1@i. Funkce z @i(b)@i  není v bodě @i1@i vůbec definována (@i1\notin\mathcal{D}(f)@i) a funkce z @i(c)@i  není v bodě @i1@i spojitá, neboť @i\lim\limits_{x\to1}f(x)=1\neq f(1)=1,5.@i

Obdobně zajímavé je ovšem i chování funkce pouze na levém či pouze na pravém okolí bodu @ix_0.@i Proto analogicky jako u spojitosti můžeme definovat limitu zleva, respektive limitu zprava, funkce @if@i v bodě @ix_0@i:

• funkce @if@i má limitu @iL@i zleva v bodě @ix_0@i, jestliže

   @b\forall x\in\mathcal{P}^-_\delta(x_0) \text{ je } f(x)\in\mathcal{O}_\varepsilon(L),@b

• funkce @if@i má limitu @iL@i zprava v bodě @ix_0@i, jestliže

   @b\forall x\in\mathcal{P}^+_\delta(x_0) \text{ je } f(x)\in\mathcal{O}_\varepsilon(L).@b

Jednostrannou limitu zleva v bodě @ix_0@i značíme @i\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)@i a limitu zprava @i\lim\limits_{x\to x_0+}f(x).@i

Platí: 

• Funkce má v bodě @ix_0@i nejvýše jednu limitu (a nejvýše jednu limitu zleva a nejvýše jednu limitu zprava).
• Funkce @if@i má v bodě @ix_0@i limitu @iL@i právě tehdy, když existují obě jednostranné limity a platí @i\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=L@i.

Nyní si probereme podrobně limity funkce na následujícím obrázku:

Funkce @if@i má v bodě @ix_1@i limitu zleva @i-0,3@i (@i\lim\limits_{x\to x_1-}f(x)=-0,3@i), zprava má v tomto bodě limitu @i-3@i (@i\lim\limits_{x\to x_1+}f(x)=-3@i). Vzhledem k tomu, že se tyto dvě limity nerovnají, (oboustranná) limita v tomto bodě neexistuje. V bodě @ix_2@i má funkce @if@i limitu zleva @i-3@i (@i\lim\limits_{x\to x_2-}f(x)=-3@i) a limita zprava je v tomto bodě rovna @i0,25@i (@i\lim\limits_{x\to x_2+}f(x)=0,25@i). Opět tedy v tomto bodě limita neexistuje. V bodě @ix_3@i je limita zleva i zprava shodně @i4@i, tedy limita existuje a je @i\lim\limits_{x\to x_3}f(x)=4.@i

Než se pustíme do počítání příkladů, uvedeme si několik užitečných tvrzení, která platí pro jednostrannou i oboustrannou limitu funkce (tvrzení si uvedeme pro oboustrannou limitu):

Předpokládejme, že @i\lim\limits_{x\to x_0}f(x)@i a @i\lim\limits_{x\to x_0}g(x)@i existují.

Pak platí:

1. @i\lim\limits_{x\to x_0}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\pm \lim\limits_{x\to x_0}g(x)@i 
2. @i\lim\limits_{x\to x_0}\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0}g(x)@i 
3. @i\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{ g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}@i, je-li @i\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\neq0@i

Kromě operací sčítání, násobení a dělení funkcí máme operaci skládání funkcí. U limity složené funkce nejprve zkoumáme chování vnitřní funkce na daném prstencovém okolí. Pokud je vnější funkce spojitá v limitě vnitřní funkce, stačí dosadit. Tedy platí:

Je-li @i\lim\limits_{x\to x_0} g(x)=C@i a funkce @if(y)@i je spojitá v bodě @iy=C@i, pak

@b\lim\limits_{x\to x_0} f\big(g(x)\big)=f(C).@b

Uvedeme si ještě jedno užitečné tvrzení, které má velmi roztomilý název, jmenuje se "Věta o dvou policajtech".

Věta o dvou policajtech: Předpokládejme, že @i\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L@i a @i\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=L@i a že na nějakém prstencovém okolí bodu @ix_0@i platí @if(x)\leq h(x)\leq g(x).@i Potom @i\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=L.@i

Řešené příklady 1

1. Spočtěte limitu @i\lim\limits_{x\to4}\dfrac{x+2}{3-x}.@i

Při počítání limity jako první zkoušíme dosadit bod, ve kterém chceme limitu určit. Pozor, lze to v případě, že funkce je spojitá. Pokud po dosazení bude výraz dávat smysl, je limita rovna přímo spočtené hodnotě. Zkusme tedy dosadit:

@b\lim_{x\to4}\frac{x+2}{3-x}="\frac{6}{-1}".@b

V tomto případě výraz dává dobrý smysl, a tedy platí, že limita je

@b\lim_{x\to4}\frac{x+2}{3-x}=-6.@b

2. Spočtěte limitu @i\lim\limits_{x\to 5}\dfrac{x^2-25}{5-x}.@i

Opět jako první zkusíme dosadit číslo pět do dané funkce:

@b\lim\limits_{x\to5}\frac{x^2-25}{5-x}="\frac{0}{0}".@b

Při dosazování obvykle dáváme výraz do uvozovek. Míníme tím, že limita je daného typu. Výraz @i\dfrac{0}{0}@i je první neurčitý výraz, s nímž se setkáváme. O neurčitých výrazech se budeme bavit později. V tomto případě si stačí uvědomit, že funkce @if(x)=\dfrac{x^2-25}{5-x}@i je racionální funkce a její čitatel je rozdílem čtverců, lze ho rozložit na součin. Po úpravě dostáváme

@b\frac{x^2-25}{5-x}=\frac{(x-5)(x+5)}{5-x}=\frac{x+5}{-1}=-x-5@b

pro všechna @ix\neq 5@i. Tedy platí

@b\lim_{x\to5}\frac{x^2-25}{5-x}=\lim_{x\to5}(-x-5)=-10.@b

Užitečná poznámka: Povšimněte si, že funkce @if@i je shodná s funkcí @ig(x)=-x-5@i pro všechna @ix\in\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\setminus\{5\}.@i Pokud bychom se rozhodli ji "dodefinovat" v bodě @ix=5@i jako @if(5)=-10@i, byla by nově vzniklá funkce definovaná všude na @i\mathbb{R}@i a navíc by byla spojitá.

3. Spočtěte limitu @i\lim\limits_{x\to 5}\sqrt[3]{\dfrac{x^2-25}{5-x}}@i.

Daná funkce je složená. Vnější funkce @i\,f(y)=\sqrt[3] y\,@i je spojitá na množině všech reálných čísel. Můžeme tedy použít větu o limitě složené funkce, tj.

@b\lim\limits_{x\to5}\sqrt[3]{\frac{x^2-25}{5-x}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to5}\frac{x^2-25}{5-x}}=\sqrt[3]{-10}=-\,\sqrt[3]{10}.@b Limitu vnitřní funkce známe z předchozího příkladu.

Limity zahrnující nevlastní body

Hovoříme-li v matematice o tom, že je něco (číslo, bod, limita,...) nevlastní, míníme tím, že to není konečné. O konečných číslech (bodech,... ) hovoříme jako o vlastních. Nevlastní limita @iL@i ve vlastním bodě @ix_0@i tedy znamená, že @iL\in\{-\infty,\infty\}@i a @ix_0\in\mathbb{R}.@i Limity zahrnující nevlastní body jsou trojího druhu — nevlastní limita ve vlastním bodě, vlastní limita v nevlastním bodě a nevlastní limita v nevlastním bodě. Probereme si je postupně a teprve potom budeme pokračovat v počítání příkladů.

• Nevlastní limita ve vlastním bodě
  

Definice nevlastní limity se od té předchozí poněkud liší. Intuitivně si představme, že na okolí bodu @ix_0@i jdou hodnoty funkce @if@i buď neomezeně nahoru do nekonečna, nebo dolů do mínus nekonečna. Pojďme si nyní říci definici nevlastní limity korektně. Předpokládejme opět, že pro nějaké prstencové okolí @i\mathcal{P}(x_0)@i bodu @ix_0@i platí @i\mathcal{P}(x_0)\subseteq\mathcal{D}(f)@i.

Funkce @if@i má v bodě @ix_0@i nevlastní limitu @iL=\infty@i, pokud pro všechna @iM\in\mathbb{R}@i existuje @i\delta>0@i tak, že

@b\forall x\in\mathcal{P}_\delta(x_0) \text{ je } f(x)>M.@b

Funkce @if@i má v bodě @ix_0@i nevlastní limitu @iL=-\infty@i, pokud pro všechna @iN\in\mathbb{R}@i existuje @i\delta>0@i tak, že

@b\forall x\in\mathcal{P}_\delta(x_0) \text{ je } f(x)<N.@b

Poznámka: 

1. Zcela analogicky lze definovat jednostranné nevlastní limity ve vlastním bodě nahrazením prstencového okolí příslušným jednostranným prstencovým okolím.
   
2. Opět platí, že funkce má v bodě @ix_0@i limitu, pokud má obě jednostranné limity a tyto se rovnají.

• Vlastní limita v nevlastním bodě

• Nevlastní limita v nevlastním bodě

Zbývá nám probrat poslední případ, kdy limita v nekonečnu (respektive v mínus nekonečnu) je nekonečná, tj. stručně řečeno případ, kdy

@b\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty.@b

Předpokládejme, obdobně jako v předchozím případě, že existuje @iC\in\mathbb{R}@i tak, že @i(C,\infty)\subset\mathcal{D}(f)@i (pro případ limity v mínus nekonečnu předpokládáme takové @iC@i, že @i(-\infty,C)\subset\mathcal{D}(f)@i). Potom má funkce @if@i v bodě @i\infty@i limitu @iL=\infty@i (resp. @iL=-\infty@i), jestliže  pro všechna @iM\in\mathbb{R}@i  (resp. @iN\in\mathbb{R}@i) existuje @ic\in\mathbb{R}@i tak, že

@b  \forall x>c\Longrightarrow f(x)>M\, ( \text{resp. } \forall x>c\Longrightarrow f(x)<N).@b

Analogicky definujeme obě nevlastní limity v nevlastním bodě @i-\infty@i, např:

@b  \lim_{x\to -\infty}f(x)= + \infty \: \: \Leftrightarrow \:\:  \forall  M \in\mathbb{R}  \:\exists c\in\mathbb{R} \: \forall x< c\Longrightarrow f(x)>M .@b

Tímto jsme si probrali všechny případy limit funkcí, které existují. Pro výpočet limit si připomeňme operace s nekonečny, které jsou ve skriptech zavedeny (přepis Věty 3.15).

• @i "\infty + \infty"=\infty,\quad "\infty \pm k"=\infty, \: k\in\mathbb{R}.@i 
  
• @i"\infty \cdot\infty"=\infty ,\quad "\infty \cdot (-\infty)"=-\infty @i
  
• @i"\frac{k}{\pm\infty}"=0,\: k\in\mathbb{R}@i
• @i"\frac{\infty}{k}"=\infty,@i @ik>0\quad @i nebo @i\quad "\frac{\infty}{k}"=-\infty,@i @ik<0@i

Již jsme si uvedli pravidla pro počítání limit pro případ vlastní limity ve vlastním bodě. Stejná pravidla platí obecně pro všechny druhy limit. Předpokládejme, že @i\lim\limits_{x\to x_0}f(x)@i a @i\lim\limits_{x\to x_0}g(x)@i existují. Pro limity součtu, součinu a podílu dvou funkcí platí:

1. @i\lim\limits_{x\to x_0}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\pm \lim\limits_{x\to x_0}g(x)@i, má-li pravá strana smysl
2. @i\lim\limits_{x\to x_0}\bigl(f(x)\cdot g(x)\bigr)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0}g(x)@i,  má-li pravá strana smysl
3. @i\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{ g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}@i , má-li pravá strana smysl (spec. @i\lim\limits_{x\to x_0}g(x)\neq0)@i

Úsloví " má-li pravá strana smysl" v obecném případě přibylo ke všem operacím. Problémy jsou spojeny s tzv. neurčitými výrazy.

Neurčité výrazy jsou výrazy typu
@b\pm(\infty-\infty),\qquad\frac{\pm\infty}{\pm\infty},\qquad\frac{0}{0},\qquad 0\cdot(\pm \infty),\qquad 0^0,\qquad0^{\infty},\qquad1^\infty,\qquad\infty^0@b

Vysvětleme si pojem na konkrétním příkladě. Uvažujme limitu funkce @i f(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}@i v plus nekonečnu, neboli @i\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}@i. Jak čitatel, tak jmenovatel konvergují k plus nekonečnu: @i\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}="\dfrac{\infty}{\infty}"@i . Ukažme si na jednoduchých příkladech, že limita typu  nekonečno lomeno nekonečnem může vyjít cokoliv, proto to je neurčitý výraz.

Užitečná poznámka: Počítáme-li limitu @i\,\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}\,@i, spočteme limitu čitatele a limitu jmenovatele. Protože výraz @i\,"\dfrac{\infty}{\infty}"\,@i nemá smysl, musíme následně zvolit jiný postup. V tomto případě L'Hospitalovo pravidlo, které se naučíme později.

Doplňme limitu podílu o případ @i"\dfrac{k}{0}",@i @ik\in\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}, k\neq0@i. Dělíme něco, co je pořád stejně velké (nebo dokonce čím dál větší), něčím, co je menší a menší, neboli laicky řečeno máme pořád stejný (čím dál větší) koláč na čím dál méně strávníků. To logicky vede k tomu, že velikost dílku koláče na strávníka nekonečně roste. Očekávali bychom tedy výsledek @i\infty@i. 

To je také do jisté míry pravda, ovšem záleží na tom, z jaké strany se výraz ve jmenovateli k nule přibližuje, tj. jestli znaménko výrazu ve jmenovateli, který je pouze téměř nulový, je plus nebo mínus. Dělíme-li totiž dvě čísla, znaménko výsledného podílu závisí na znaménku čitatele i jmenovatele. Uvažujme například funkci @if(x)=\dfrac{1}{x}.@i Jelikož se jedná o elementární funkci, jejíž graf je nám dobře znám, můžeme snadno nahlédnout, že limita funkce @if(x)=\dfrac 1x@i v bodě @ix_0=0@i neexistuje, neboť @b\lim_{x\to0-}\frac 1x=-\infty,\quad \lim_{x\to0+}\frac 1x=+\infty.@b V případě limity zleva je totiž jmenovatel blízký nule, ale záporný, dělíme tedy plus jedničku malým záporným číslem a výsledek je tudíž velké záporné číslo a v případě limity zprava je tomu naopak.  Aby byl zápis našeho postupu srozumitelný, zapisujeme takový výpočet zpravidla

@b\lim_{x\to0-}\frac{1}{x}="\frac{1}{0{\color{red}{-}}}"=-\infty@b

a

@b\lim_{x\to0+}\frac{1}{x}="\frac{1}{0{\color{red}{+}}}"=\infty,@b

čili máme-li ve jmenovateli nulu, vždy uvádíme, "ze které strany" jsme se k ní dostali. Pokud výraz ve jmenovateli na každém prstencovém okolí bodu @ix_0@i mění znaménko, limita neexistuje.

Užitečná poznámka: Zapamatujte si: Nulou nelze dělit! Je-li limita v bodě @ix_0@i typu @i"\dfrac{k}{0}",@i @ik\in\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}, k\neq0@i, vždy musíme zjistit, zda na prstencovém okolí bodu @ix_0@i jmenovatel nabývá kladných hodnot nebo záporných či mění znaménko.

Stejně tak i pro limity zahrnující nevlastní body platí věta o dvou policajtech a jeden její velice užitečný důsledek:

Mějme @ia\in\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}@i. Potom 

• je-li funkce @if@i omezená a funkce @ig@i konverguje k nule, pak @b\lim_{x\to a}f(x)\cdot g(x)=0,@b
• je-li funkce @if@i omezená a funkce @ig@i konverguje k plus nebo mínus nekonečnu, pak @b\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0.@b

Uveďme si příklad @b\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}="\frac{\rm omezená}{\infty}"=0.@b

Porovnejte tuto limitu s notoricky známou limitou

@b\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.@b

Užitečná poznámka: Její správnost si můžete sami ověřit později použitím L'Hospitalova pravidla.

Řešené příklady 2

1. Spočtěte limitu @i\lim\limits_{x\to\infty}\left(\sqrt[3]{\log_{\frac{1}{3}}x} + {\rm{arctg}}\:x\right).@i

Vypočteme limitu každého sčítance, přičemž první sčítanec je složená funkce. Logaritmus o základu menším než jedna konverguje v plus nekonečnu k mínus nekonečnu. Konverguje-li argument liché odmocniny k mínus nekonečnu, hodnoty odmocniny se blíží také k mínus nekonečnu. @b\lim_{x\to\infty}\log_{\frac 13}x=-\infty\Longrightarrow \lim_{y\to-\infty}\sqrt[3]y=-\infty@b Funkce @i{\rm{arctg}}\: x@i má v plus nekonečnu limitu @i\frac{\pi}{2}@i, tj.  @i\lim\limits_{x\to\infty}{\rm{arctg}}\:x=\dfrac \pi 2@i. Celkem tedy @b\lim\limits_{x\to\infty}\left (\sqrt[3]{\log_{\frac{1}{3}}x} + {\rm{arctg}}\: x\right)= "-\infty + \frac{\pi}{2}" =-\infty .@b

2. Spočtěte limitu @i\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1-x^2}{{\rm e}^x}.@i

Vypočteme limitu čitatele a limitu jmenovate. Čitatel výrazu konverguje k mínus nekonečnu a jmenovatel konverguje k nule. Jde o limitu typu @i"\dfrac{-\infty}{0}".@i Z poznámky výše víme, že v takovém případě musíme určit pro @ix\rightarrow\infty@i znaménko hodnot jmenovatele. Jelikož platí, že @i{\rm e}^x>0@i pro všechna @ix@i, máme podíl záporného a kladného čísla, tj.

@b\lim_{x\to-\infty}\frac{1-x^2}{{\rm e}^x}="\frac{-\infty}{0+}"=-\infty.@b

3. Spočtěte limitu @i\lim\limits_{x\to4}\dfrac{x}{(x-4)^2}.@i

Funkce je podílem dvou spojitých funkcí a počítáme limitu jejich podílu ve vlastním bodě, tedy zkusíme dosadit, abychom věděli, jakého typu daná limita je:

@b\lim_{x\to 4}\frac{x}{(x-4)^2}="\frac{4}{0}".@b Jak vidíme, je to typ limity s nulou ve jmenovateli a nenulovým číslem v čitateli. Tedy na prstencovém okolí čtyřky určíme znaménko hodnot jmenovatele. Výraz ve jmenovateli @i(x-4)^2@i je kladný pro @ix\neq4@i, tedy okamžitě vidíme

@b\lim_{x\to 4}\frac{x}{(x-4)^2}="\frac{4}{0\color{red}{+}}"=+\infty.@b

4. Spočtěte limitu @i\lim\limits_{x\to-3}\dfrac{x+5}{(3+x)^5}.@i

Po dosazení čísla @i-3@i do podílu dvou spojitých funkcí dostáváme limitu typu @i"\dfrac{2}{0}"@i. Opět tedy máme limitu s nenulovým čitatelem a nulovým jmenovatelem. Hodnoty výrazu ve jmenovateli @i(3+x)^5@i mění na prstencovém okolí @i\,-3\,@i znaménko. Blížíme-li se k bodu @i-3@i zleva (tj. máme čísla o něco málo menší než @i-3@i), hodnota výrazu @i3+x@i je velmi blízká nule, ale záporná. Obdobně, blížíme-li se k bodu @i-3@i zprava (tj. máme čísla o něco málo větší než @i-3@i), dostáváme hodnotu výrazu @i3+x@i o něco maličko větší než nula. Vzhledem k tomu, že pátá mocnina zachovává znaménko, platí pro jednostranné limity

@b\begin{eqnarray}\lim_{x\to -3-}\frac{x+5}{(3+x)^5}="\frac{2}{0\color{red}{-}}"=-\infty,\\\lim_{x\to-3+}\frac{x+5}{(3+x)^5}="\frac{2}{0\color{red}{+}}"=+\infty.\end{eqnarray}@b

Vzhledem k tomu, že se jednostranné limity nerovnají, limita  @i\lim\limits_{x\to -3}\dfrac{x+5}{(3+x)^5}@i neexistuje.

5. Spočtěte limitu @i\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}.@i

Po dosazení čísla @i\,2\,@i do dané funkce dostáváme limitu typu @i"\dfrac{0}{0}".@i Pokud je i v čitateli nula, nepomůže k výpočtu zkoumat znaménko hodnoty jmenovatele na prestencovém okolí dvojky. Uvědomme si, že pokud polynom @i\,x^2-3x+2\,@i ve dvojce nabývá hodnoty nula, je @ix=2@i kořen. Polynom (Mnohočlen) lze rozložit na součin kořenových činitelů, tj. @ix^2-3x+2=(x-2)(x-1)@i. Tedy

@b\lim_{x\to2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x-1)}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{x-1}{1}=1.@b

Užitečná poznámka: Je-li @i\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac {P(x)}{Q(x)}="\dfrac{0}{0}"@i, kde @iP@i a @i Q@i jsou polynomy, pak je třeba polynomy @i\,P,\ Q\,@i rozložit na součin kořenových činitelů. V čitateli i jmenovateli bude jeden z činitelů roven @ix-x_0@i, které se v podílu krátí. Pokud by i poté byla limita typu @i"\dfrac{0}{0}"@i, znamená to, že @ix=x_0@i byl vícenásobný kořen čitatele i jmenovatele, a tedy krácení musíme zopakovat.

6. Spočtěte limitu @i\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\cos^2x-1}{x^2}.@i

Limita je opět typu @i"\dfrac{0}{0}"@i. V tomto případě můžeme výraz @i\,\dfrac{\cos^2x-1}{x^2}\,@i upravit a  použít známou limitu @i\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1@i.

@b\lim_{x\to0}\dfrac{\cos^2x-1}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\sin^2x}{x^2}=\lim_{x\to0}-\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2=-\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right)^2=-1.@b

V posledním kroku jsme použili pravidlo o limitě složené funkce.

7. Spočtěte limitu @i\lim\limits_{x\to\infty}-4x^5+6x^4+2x^3-x+11@i.

Spočteme-li limitu každého sčítance v @i\infty@i, pak obdržíme součet @i"-\infty+\infty+\infty-\infty+11".@i Umíme sečíst stejná nekonečena a umíme přičíst konstantu. Tím dostáváme neurčitý výraz @i"\infty-\infty"@i. V případě limity polynomu v @i\pm\infty@i postupujeme tak, že vytkneme @i\,x\,@i s nejvyšším mocninou, tj.

@b\lim_{x\to\infty}-4x^5+6x^4+2x^3-x+11=\lim_{x\to\infty}x^5\cdot\left(-4+\frac{6}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^4}+\frac{11}{x^5}\right).@b

Limity @i\,x\,@i na zápornou mocninu v @i\infty@i jsou rovny nule. Použijeme pravidlo o limitě součinu a součtu. Tedy

@b\lim_{x\to\infty}-4x^5+6x^4+2x^3-x+11=\lim_{x\to\infty}x^5\cdot\left(-4+\frac{6}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^4}+\frac{11}{x^5}\right)="\infty\cdot(-4+0+0-0+0)"=-\infty.@b

Užitečná poznámka: Chování polynomu v @i\pm\infty@i závisí pouze na členu s nejvyšší mocninou.

8. Spočtěte limitu @i\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4x^3-2x^2+9x-5}{x^6-5x^5+4x^3-2x^2+3}.@i

Díky předchozímu příkladu již víme, že čitatel konverguje k nekonečnu a jmenovatel také k nekonečnu. Sami si ověřte! Limita je tedy typu @i"\dfrac{\infty}{\infty}".@i Budeme postupovat jako v předchozím příkladě.  Vytkneme v čitateli i jmenovateli @i\,x\,@i s nejvyšším mocninou.

@b\lim_{x\to\infty}\frac{4x^3-2x^2+9x-5}{x^6-5x^5+4x^3-2x^2+3}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3\left(4-\frac{2}{x}+\frac{9}{x^2}-\frac{5}{x^3}\right)}{x^6\left(1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^3}-\frac{2}{x^4}+\frac{3}{x^6}\right)}@b

@b\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=\lim_{x\to\infty}\frac{4-\frac{2}{x}+\frac{9}{x^2}-\frac{5}{x^3}}{x^3\left(1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^3}-\frac{2}{x^4}+\frac{3}{x^6}\right)}="\frac{4-0+0-0}{\infty\cdot(1-0+0-0+0)}"="\dfrac{4}{\infty}"=0.@b

9. Spočtěte limitu @i\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{3x^4+2x^3-x}{11x^4+9x^3+8x^2+4x-23}.@i

Postup při řešení tohoto příkladu je naprosto analogický postupu z předchozího příkladu.

@b\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3x^4+2x^3-x}{11x^4+9x^3+8x^2+4x-23}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^4\left(3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3}\right)}{x^4\left(11+\frac{9}{x}+\frac{8}{x^2}+\frac{4}{x^3}-\frac{23}{x^4}\right)}=\lim_{x\to-\infty}\frac{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3}}{11+\frac{9}{x}+\frac{8}{x^2}+\frac{4}{x^3}-\frac{23}{x^4}}=\frac{3}{11}.@b

10. Spočtěte limitu @i\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{3x^3+x^2-x+1}{x^2+5x-8}.@i

Postup při řešení tohoto příkladu je naprosto analogický postupu z 8. příkladu.

@b\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3x^3+x^2-x+1}{x^2+5x-8}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^3\left(3+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}{x^2\left(1+\frac{5}{x}-\frac{8}{x^2}\right)}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x\left(3+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)}{1+\frac{5}{x}-\frac{8}{x^2}}="\frac{-\infty\cdot3}{1}"=-\infty.@b

Neřešené příklady

najdete ve Sbírce příkladů z Matematiky I ve strukturovaném studiu  — strany 20-25, další příklady na všechny limity (i ty, které se naučíme počítat později L'Hospitalovým pravidlem) jsou zařazeny do společné kapitoly Neřešené příklady na počítání limit funkcí (zařazeno za kapitolu L'Hospitalovo pravilo v sekci Derivace funkce).