Parametrizace rovinných křivek

Teoretické minimum

Rovinná křivka @i \mathcal K @i je množina bodů v rovině, kterou lze popsat jako obraz spojitého zobrazení z nějakého intervalu @i I\subset \mathbb R @i do roviny @i \mathbb R^2 @i, které má derivaci ve všech bodech @i I @i s výjimkou konečně mnoha. Stručněji zapsáno @b \mathcal K=\big\{\varphi(t);\,t\in I \big\}, @b kde zobrazení @i \varphi: I\rightarrow \mathbb R^2,\ t\mapsto \varphi(t)=\big(\varphi_1(t),\varphi_2(t)\big) @i, je

1. spojité na @i I @i, tj. funkce @i \varphi_1(t) @i a @i \varphi_2(t) @i jsou spojité pro všechna @i t\in I @i,
2. diferencovatelné na @i I @i s výjimkou konečně mnoha hodnot, tj. funkce @i \varphi_1(t) @i a @i \varphi_2(t) @i mají derivaci pro všechna @i t\in I @i s výjimkou konečně mnoha @i t @i.
   

Zobrazení @i \varphi @i se nazývá parametrizace křivky @i \mathcal K @i a rovnice @b \begin{array}{rcl} x & = & \varphi_1(t)\\ y & = & \varphi_2(t) \end{array},\ t\in I, @b se nazývají parametrické rovnice křivky @i \mathcal K @i.

Velmi volně lze říci, že křivka je „cesta, kterou projdete, aniž byste ji přerušili“. To, jakým způsobem onu křivku (cestu) projdete, nám říká parametrizace. Např. trasu tramvaje číslo @i 20 @i Divoká Šárka — Sídliště Barrandov můžeme považovat za křivku a každý průjezd trasy tramvají za jednu parametrizaci. Z tohoto příkladu si snadno vyvodíme, že parametrizací jedné křivky je nekonečně mnoho!

Ze střední školy umíte parametrizovat přímky, polopřímky a úsečky. Navíc se naučíme hledat parametrizace (částí) grafů funkcí, kružnic, elips a parabol.

Parametrizace přímky a jejích částí

Víme, že přímka @i p @i je určena

• bodem @i A @i a směrem (směrovým vektorem) @i \vec{u} @i
  nebo
• dvěma body @i A @i a @i B @i

Druhý případ snadno převedeme na první tak, že si najdeme směr přímky, např.  @i \vec{u} = B-A @i.

Označme @i A=(a_1,a_2) @i a @i \vec{u} =(u_1,u_2) @i souřadnice bodu @i A @i a vektoru @i \vec{u} @i. Pak parametrické rovnice přímky @i p @i jsou @b p:\begin{array}{rcl} x & = & a_1 + t u_1\\ y & = & a_2 + t u_2 \end{array},\ t\in \mathbb R. @b Její parametrizace je @b \varphi_p(t)=(\underbrace{a_1 + t u_1}_{x},\underbrace{a_2 + t u_2}_{y}), \ t\in\mathbb R, @b anebo zapsáno symbolicky @b \varphi_p(t) = A + t \vec{u} ,\ t\in \mathbb R. @b Pozor, častá chyba: Nenapsat, odkud je parametr @i t@i!

Na předchozím obrázku je přímka @i p @i určena body @i A=(1,1) @i a @i B= (3,2) @i. Najdeme směrový vektor @i\vec{u}=B-A=(2,1) @i a můžeme napsat parametrické rovnice přímky @i p @i @b p:\begin{array}{rcl} x & = & 1 + 2t\\ y & = & 1 + t \end{array},\ t\in \mathbb R, @b a její parametrizaci @b \varphi_p(t)=(\underbrace{1 + 2t}_{x},\underbrace{1 + t}_{y}), \ t\in\mathbb R, @b anebo symbolicky @b \varphi_p(t) = (1,1) + t (2,1),\ t\in \mathbb R. @b

Polopřímky @i \mapsto\!\!AB @i a @i \mapsto\!\!BA @i a úsečka @i AB @i jsou podmnožinami přímky @i p @i. Chceme-li tedy najít jejich parametrické rovnice, či parametrizace, stačí omezit hodnoty parametru @i t @i, pro

• @i \mapsto\!\!AB @i vezmeme @i t\in [0,+\infty) @i,
• @i \mapsto\!\!BA @i vezmeme @i t\in (-\infty,1] @i,
• @i AB @i vezmeme @i t\in [0,1] @i.
  

Poznamenejme,  že např.

• @i \begin{array}{rcl} x & = & 3 - 2s\\ y & = & 2 - s \end{array},\ s\in \mathbb [0,+\infty), @i jsou také parametrické rovnice @i \mapsto\!\!BA @i,
• @i \varphi_{AB}(r)=(1,1) - r(2,1) = (1-2r,1-r),\ r\in [-1,0], @i je také parametrizace úsečky @i AB @i.

Napište další dvě parametrizace přímky @i p @i.

Parametrizace grafu funkce

Tato úloha je velmi jednoduchá. Mějme funkci @i f:I\rightarrow \mathbb R @i zadanou předpisem @i y=f(x) @i. Volíme-li nezávisle proměnnou @i x @i jako parametr @i t @i, dostaneme parametrické rovnice grafu @i f @i @b f:\begin{array}{rcl} x & = & t\\ y & = & f(t) \end{array},\ t\in I, @b a parametrizaci @b \varphi_f(t) = \big(t,f(t)\big),\ t\in I. @b Např. graf funkce @i f(x)=\dfrac{1}{x+1},\ x\in (-1,+\infty), @i

má parametrické rovnice @b f:\begin{array}{rcl} x & = & t\\ y & = & \dfrac{1}{t+1} \end{array},\ t\in (-1,+\infty), @b a parametrizaci @b \varphi_f(t) =\Big(\underbrace{t}_{x},\underbrace{\dfrac{1}{t+1}}_{y}\Big),\ t\in (-1,+\infty). @b

Parametrizace kružnice

Mějme kružnici @i k @i se středem @i S=(m,n) @i a poloměrem @i r>0 @i.

Odvodíme parametrické rovnice kružnice @i k @i. Na obrázku jsme zvolili libovolný bod @i X @i ležící na kružnici @i k @i. Označme úhel, který svírá přímka @i SX @i s kladným směrem osy @i x @i, jako @i t @i. Protože trojúhelník @i SX_0X @i je pravoúhlý, platí v něm goniometrické vzorce @i \cos t = \dfrac{x_1}{r},\ \sin t = \dfrac{y_1}{r} @i, z nichž vyjádříme @b x_1 = r\cos t,\quad\ y_1 = r\sin t. @b Pak parametrické rovnice kružnice @i k @i jsou @b k:\begin{array}{rcl} x & = & m + x_1 = m + r\cos t\\ y & =& n+y_1 = n + r\sin t \end{array}, t\in [0,2\pi], @b a její parametrizace je @b\varphi_k(t) =(\underbrace{m + r\cos t}_{x},\underbrace{n + r\sin t}_{y}),\ t\in [0,2\pi]. @b
Užitečná poznámka: Parametr @i t @i lze brát z libovolného intervalu délky alespoň @i 2\pi @i. Volíme-li interval @i [0,2\pi] @i, bod „oběhne kružnici“právě jednou.

Např. kružnice @i l @i se středem v bodě @i (3,2) @i a poloměrem @i 4 @i má parametrické rovnice @b l:\begin{array}{rcl} x = 3 + 4\cos t\\ y = 2 + 4\sin t \end{array},\ t\in [0,2\pi], @b a parametrizaci @b \varphi_l(t)=(\underbrace{3 + 4\cos t}_{x},\underbrace{2 + 4\sin t}_{y}),\ t\in [0,2\pi]. @b
Užitečná poznámka: Pokud bychom chtěli parametrizovat oblouk kružnice, stačí zúžit interval, který parametr @i t @i probíhá. Např. kdybychom chtěli parametrizovat oblouk kružnice @i l @i pod přímkou s rovnicí @i y=2 @i, vezmeme @i  t\in [\pi,2\pi]@i.

Parametrizace elipsy

Protože se na elipsu dá dívat jako na „zdeformovanou“ kružnici, bude její parametrizace připomínat parametrizaci kružnice. Pokud deformace probíhá pouze ve směru souřadnicových os, do parametrizace kružnice se místo poloměru @i r @i napíší hlavní a vedlejší poloosa elipsy.

Mějme elipsu @i E @i zadanou rovnicí ve středovém tvaru @b \frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1, @b kde  @i S=(m,n) @i je střed a @i a,b>0,\, a\neq b, @i jsou poloosy. Pak parametrické rovnice elipsy @i E @i jsou @b E:\begin{array}{rcl} x & = & m + a\cos t\\ y & = & n + b\sin t \end{array},\ t\in [0,2\pi], @b a její parametrizace je @b \varphi_E(t) = (\underbrace{m + a\cos t}_{x},\underbrace{n + b\sin t}_{y}),\ t\in [0,2\pi]. @b

1. Najděte parametrizaci elipsy @i L @i dané obecnou rovnicí @i x^2-2x+4y^2-8y+1=0 @i.

Nejprve upravíme obecnou rovnici na středový tvar „doplněním na čtverec“: @b (x^2-2x+1) + 4(y^2-2y+1) = 4\quad \Rightarrow \quad (x-1)^2 + 4(y-1)^2=4\quad \Rightarrow\quad \frac{(x-1)^2}{4} + (y-1)^2 = 1. @b

Pak parametrické rovnice elipsy @i L @i jsou @b L:\begin{array}{rcl} x & = & 1 + 2\cos t\\ y & = & 1 + \sin t \end{array},\ t\in [0,2\pi], @b a tedy dostáváme její parametrizaci @b \varphi_L(t) =(\underbrace{1+ 2\cos t}_{x},\underbrace{1 + \sin t}_{y}),\ t\in [0,2\pi]. @b

Parametrizace paraboly

Každou parabolu, jejíž osa je rovnoběžná s osou

• @i x @i lze popsat rovnicí @i x=a(y-n)^2+m @i,
• @i y @i lze popsat rovnicí @i y=a(x-m)^2+n @i,

kde @i a,m,n\in\mathbb R @i. Ve druhém případě je parabola grafem kvadratické funkce, a tak ji můžeme parametrizovat jako graf funkce. V prvním případě je parabola grafem funkce proměnné @i y @i, a tak ji také můžeme parametrizovat. Např. lze zvolit @i t=y-n @i, a tedy @i y=t+n @i, pak @i x=at^2+m @i. Tudíž parametrizace paraboly z prvního případu je @b \varphi_P(t) = (x,y)=(at^2+m,t+n),\ t\in \mathbb R. @b

Např. parametrizace paraboly @i Q @i dané rovnicí @i x = y^2+1 @i

je @b \varphi_Q(t) = (t^2+1,t),\ t\in \mathbb R. @b

Pro úplnost uveďme na závěr

Parametrizaci hyperboly

Uvažujme hyperboly @i H_1@i, @i H_2 @i, jejichž rovnice ve středovém tvaru jsou po řadě

• @i \dfrac{(x-m)^2}{a^2} - \dfrac{(y-n)^2}{b^2} = 1 @i,
• @i \dfrac{(y-n)^2}{b^2} - \dfrac{(x-m)^2}{a^2} = 1 @i,

kde @i S=(m,n) @i je střed a @i a,b>0 @i jsou poloosy. Parametrizace každé z větví hyperboly

• @i H_1 @i jsou
  
  • @i \varphi_{H_1,1}(t)=\left(m+a\dfrac{1}{\cos t},n+b\,{\rm tg}\,t\right),\ t\in \left( -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) @i,
  • @i \varphi_{H_1,2}(t)=\left(m+a\dfrac{1}{\cos t},n+b\,{\rm tg}\,t\right),\ t\in \left( \dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right) @i,

• @i H_2 @i jsou
  
  • @i \varphi_{H_2,1}(t)=\left(m+a\,{\rm tg}\,t,n+b\dfrac{1}{\cos t}\right),\ t\in \left( -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) @i,
  • @i \varphi_{H_2,2}(t)=\left(m+a\,{\rm tg}\,t,n+b\dfrac{1}{\cos t}\right),\ t\in \left( \dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right) @i.

Např. parametrizace větve rovnoosé hyperboly @i H_3 @i dané rovnicí @i x^2-y^2=1 @i v polorovině @i \big\{(x,y)\in\mathbb R^2;\,x\geq 0\big\} @i

je @b \varphi_{H_3}(t)=\left(\frac{1}{\cos t},{\rm tg}\,t\right),\ t\in \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).@b Ověřme ještě, že @i \varphi_{H_3} @i parametrizuje skutečně větev hyperboly @i H_3 @i. Do rovnice @i x^2-y^2=1 @i dosadíme @i x=\dfrac{1}{\cos t} @i a @i y={\rm tg}\,t @i: @b \left(\frac{1}{\cos t}\right)^2 - {\rm tg}^2\, t = \frac{1}{\cos^2 t} - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}=\frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = 1,\ t\in \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). @b Zkontrolujme například,  že pro hodnotu parametru @i t= 0 @i dostaneme bod @i (1,0) @i, který na naší větvi leží.

Užitečná poznámka: Pokud si chcete ověřit, že jste napsali správnou parametrizaci křivky zadané rovnicí, dosaďte tuto parametrizaci do rovnice (stejně můžete zjistit, zdali dvě parametrizace parametrizují stejnou křivku). Chybu mnohdy odhalí i dosazení  několika hodnot parametru do parametrických rovnic. Spočtené body musí ležet na křivce.

Kreslení křivek daných parametricky

Právě jsme si vysvětlili, jak parametrizovat vybrané křivky. Nyní se budeme věnovat opačné úloze — jak křivku danou parametrizací nakreslit. Naučíme se kreslit dvě množiny křivek:

1. přímky, kuželosečky a jejich části (parametrizace těchto křivek bychom totiž měli poznat),
2. křivky, kde první či druhá souřadnicová funkce parametrizace je prostá na intervalu @i I @i. Tohoto předpokladu využijeme. Buď např. prostá funkce @i \varphi_1 @i. Z rovnice @i x=\varphi_1(t) @i vyjádříme parametr @i t=\varphi_1^{-1}(x),\ x\in\mathcal H(\varphi_1) @i, a dosadíme ji do druhé rovnice @b y=\varphi_2(t)=\varphi_2\big(\varphi_1^{-1}(x)\big),\  x\in\mathcal H(\varphi_1). @b Získali jsme předpis funkce proměnné @i x @i, jejímž grafem je naše křivka.
   Užitečná poznámka: Pokud by byla prostá funkce @i \varphi_2 @i, vyjadřovali bychom parametr @i t @i z druhé rovnice. Získali bychom předpis funkce proměnné @i y @i, jejímž grafem by byla hledaná křivka.

2. Nakreslete křivku @i \mathcal K @i danou parametrizací @i \varphi(t)=(1+t,t^2-1),t\in [-1,+\infty) @i.

Funkce @i \varphi_1(t)=1+t @i je prostá na intervalu @i [-1,+\infty) @i, proto můžeme z rovnice @i x=1+t @i vyjádřit @i t @i. Dostaneme @i t=x-1,\ x\in [0,+\infty) @i. Zde jsme využili faktu, že @i \mathcal D(\varphi_1^{-1})=\mathcal H(\varphi_1)=[0,+\infty) @i. Dosazením @i t @i do druhé parametrické rovnice @i y=t^2-1 @i získáme předpis funkce @b y=(x-1)^2-1,\ x\in [0,+\infty), @b jejíž graf — část paraboly — je hledaná křivka @i \mathcal K @i:

Pozor, častá chyba: Nejčastější chybou při řešení těchto typů úloh je opomenutí určit, jaký má nalezená funkce @i y\equiv y(x) @i  (či @i x\equiv x(y) @i) definiční obor!

Související

Přímky a jejich části, kuželosečky, inverzní funkce