Derivace vyšších řádů
Derivace vyšších řádů
Teoretické minimum
Uvažujme funkci @if@i, která má všude na intervalu @iI@i vlastní derivaci. Druhou derivací funkce @if@i rozumíme funkci
@bf''(x)=\bigl(f'(x)\bigr)',\quad\forall x\in\mathcal{D}(f).@b
Iterativně můžeme pomocí @in-@ité derivace definovat @i(n+1)-@iní derivaci (tam, kde existuje vlastní @in-@itá derivace) následovně:
@bf^{(n+1)}(x)=\left(f^{(n)}(x)\right)'.@b
Užitečná poznámka: Při vyšším počtu derivací už píšeme místo příslušného počtu čárek do horního indexu počet derivací v kulatých závorkách. Například čtvrtou derivaci už píšeme spíše @if^{(4)}@i místo @if''''.@i
Platí: Jestliže funkce @if@i má spojitou @in-@itou derivaci na intervalu @iI@i, potom je @if@i spojitá na @iI@i a má spojité i všechny nižší derivace.
Funkce @i\mathcal{C}^n@i
Množinu funkcí, které mají spojité derivace až do řádu @in@i na intervalu @iI@i, značíme @i\mathcal{C}^n(I).@i
Související
Vyšetření průběhu funkce, Taylorův polynom, Newtonova metoda.
Řešené příklady
1. Spočtěte druhou derivaci funkce @i f(x)=\sin x.@i
Nejprve spočteme první derivaci funkce @i f.@i Vzhledem k tomu, že se jedná o elementární funkci, můžeme podle tabulky okamžitě určit, že @if'(x)=\cos x@i. Potom @if''(x)=(\cos x)'=-\sin x .@i
2. Spočtěte druhou derivaci funkce @i f(x)=x\cdot\ln x.@i
Nejprve spočteme první derivaci funkce @i f:\ f'(x)=(x\cdot\ln x)'=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x +1.@i Potom @if''(x)=(\ln x +1)'=\frac{1}{x}.@i
3. Spočtěte třetí derivaci funkce @if(x)={\rm e}^{x^2}.@i
Funkce @if@i je funkce složená, proto máme: @if'''(x)=({\rm e}^{x^2})'''=(2x\cdot{\rm e}^{x^2})''=(2{\rm e}^{x^2}+4x^2\cdot {\rm e}^{x^2})'=4x{\rm e}^{x^2}+8x\cdot{\rm e}^{x^2}+8x^3\cdot{\rm e}^{x^2} .@i K výpočtu první derivace jsme použili vzorec pro výpočet derivace složené funkce, pro druhou a třetí derivaci navíc ještě vzorec pro výpočet derivace součinu funkcí.
Neřešené příklady
- Spočtěte druhou a třetí derivaci funkce @if(x)=2^{-x^3}.@i
- Spočtěte čtvrtou derivaci funkce @if(x)=\sqrt[3]{x}.@i
- Spočtěte třetí derivaci funkce @if(x)=x\cdot\ln x.@i
