Taylorův polynom
Taylorův polynom
Teoretické minimum
V minulé kapitole jsme si ukázali, jak aproximovat funkční hodnotu funkce @if@i pomocí diferenciálu. Graf funkce @if @i jsme nahradili v okolí bodu @i\big(x_0,f(x_0)\big)@i tečnou ke grafu funkce @if @i procházející tímto bodem, a tak jsme funkci @if@i v okolí bodu @ix_0@i linearizovali. V této kapitole si ukážeme lepší aproximaci. Myšlenka je jednoduchá: Jaká další funkce se dobře vyčísluje a přitom je "variabilnější" než lineární funkce?
Uvažujme bod @ix_0@i takový, že @i\mathcal{O}(x_0)\subseteq\mathcal{D}(f)@i a navíc předpokládejme, že funkce @if@i má v bodě @ix_0@i vlastní derivaci až do řádu @in.@i
Polynom stupně @in@i definovaný jako
@bT_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n@b
nazýváme Taylorovým polynomem @in@i-tého stupně funkce @if@i v bodě @ix_0.@i
Uvědomme si, že Taylorův polynom je funkce proměnné @ix@i. Stupeň @in@i a bod @ix_0@i jsou pevně zvolené. Je konstruován tak, že pro @ix_0@i platí
@bT_n(x_0)=f(x_0),\ T'_n(x_0)=f'(x_0),\ T_n''(x_0)=f''(x_0),\dots,\ T_n^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0).@b
Vidíme tedy, že v bodě @ix_0@i splývají všechny derivace funkce @if@i i Taylorova polynomu až do řádu @in@i. Protože derivace je definovaná jako limita, tedy popisuje chování funkce na okolí bodu, můžeme předpokládat, že na malém okolí bodu @ix_0@i se
funkce @if@i a Taylorův polynom chovají obdobně. Zůstaneme-li rozumně blízko bodu @ix_0@i, můžeme Taylorovým polynomem určit přibližně funkční hodnoty funkce @if@i v bodě @ix:@i
@bf(x)\approx T_n(x).@b
Na obrázku si můžeme prohlédnout, jak dobře aproximuje funkci @if(x)={\rm e}^x@i (červená křivka) Taylorův polynom třetího stupně @iT_3(x)@i (zelená křivka) rozvinutý v bodě @ix_0=0@i. Obě funkce mají podobné chování pouze na malém okolí @i\mathcal{O}(x_0)@i.
Související
Derivace funkce, diferenciál, mnohočleny.
Řešené příklady
1. Sestavte Taylorův polynom třetího stupně pro funkci @if(x)=x\cdot{\rm e}^x@i v bodě @ix_0=0.@i
Jelikož máme sestrojit polynom třetího stupně, budeme potřebovat derivace funkce @if@i do řádu tři:
@i\begin{eqnarray*} f'(x)&=&{\rm e}^x+x\cdot{\rm e}^x\\f''(x)&=&{\rm e}^x+{\rm e}^x+x\cdot{\rm e}^x={\rm e}^x(2+x)\\f'''(x)&=&{\rm e}^x(2+x)+{\rm e}^x={\rm e}^x(3+x)\end{eqnarray*}@i
Teď je potřeba vyčíslit funkci @if@i a její derivace v bodě @ix_0=0:@i
@bf(0)=0,\ f'(0)=1,\ f''(0)=2,\ f'''(0)=3@b
Nyní už můžeme sestavit Taylorův polynom třetího stupně dané funkce v bodě @ix_0=0:@i
@bT_3(x)=0+\frac{1}{1!}(x-0)^1+\frac{2}{2!}(x-0)^2+\frac{3}{3!}(x-0)^3,@b
neboli po drobné úpravě
@bT_3(x)=x+x^2+\frac{1}{2}x^3.@b
2. Sestavte Taylorův polynom třetího stupně pro funkci @if(x)=x^3-2x+4@i v bodě @ix_0=1.@i
Opět je naším cílem sestavit polynom třetího stupně, tedy budeme potřebovat derivace funkce @if@i do řádu tři vyčíslit v bodě @ix_0=1@i:
@if'(x)=3x^2-2 \ \longrightarrow\ f'(1)=1,@i
@if''(x)=6x \ \longrightarrow\ f''(1)=6,@i
@if'''(x)=6 \ \longrightarrow\ f'''(1)=6.@i
Funkční hodnota v bodě @i1@i je @if(1)=3@i a Taylorův polynom třetího stupně funkce @if@i je tedy
@bT_3(x)=3+(x-1)+\frac{6}{2!}(x-1)^2+\frac{6}{3!}(x-1)^3@b
a po drobné úpravě
@bT_3(x)=3+(x-1)+3(x-1)^2+(x-1)^3.@b
Užitečná poznámka: Kdybychom zpětně v polynomu závorky umocnili, odpovídající sčítance sečetli a nakonec seřadili sestupně podle mocniny proměnné, dostaneme @bT_3(x)=x^3-2x+4.@b
Je tedy vidět, že @if(x)=T_3(x)@i. Obecně platí, že je-li funkce @if@i polynomem stupně @in@i, potom všechny Taylorovy polynomy @iT_k@i pro @ik\geq n@i této funkce již splývají se samotnou funkcí @if@i. Nabízí se tedy otázka, zda může být Taylorův polynom v takovém případě užitečný. Pokud polynom rozvineme v bodě @ix_0@i v Taylorův polynom, pak na okolí tohoto bodu můžeme snáze vyčíslovat funkční hodnoty. Zkusme si například vyčíslit hodnotu @if(1,\!1):@i
@bf(1,\!1)=T_3(1,\!1)=3+0,\!1+3\cdot0,\!1^2+0,\!1^3=3,\!1+0,\!03+0,\!001=3,\!131.@b
3. Pomocí Taylorova polynomu třetího stupně vhodně zvolené funkce ve vhodně zvoleném bodě aproximujte hodnotu @ih=\sqrt[3]{0,\!91}.@i
Je potřeba najít vhodnou funkci @if@i a bod @ix_0@i tak, abychom byli schopni vyčíslit tuto funkci a její první tři derivace v bodě @ix_0@i a zároveň aby byl bod @ix_0@i rozumně blízko bodu @ix@i, v němž bude platit, že @if(x)=h.@i V tomto případě se nabízí volba @if(x)=\sqrt[3]{x}@i a @ix_0=1@i. V bodě @i1@i jsme schopni funkci @if@i a její derivace vyčíslit. Navíc chceme odhadnout hodnotu @if(0,\!91)@i a @ix_0=1@i je rozumně blízko hodnotě @i0{,}91@i. Sami sestavte Taylorův polynom třetího stupně pro funkci @if(x)=\sqrt[3]{x}@i v bodě @ix_0=1@i. Tento polynom je tvaru:
@bT_3(x)=1+\frac{1}{3}(x-1)-\frac{1}{9}(x-1)^2+\frac{5}{81}(x-1)^3.@b
Přibližná hodnota funkce @if(0,\!91)@i je potom
@b\sqrt[3]{0,\!91}=f(0,\!91)\approx T_3(0,\!91)=1+\frac{1}{3}(-0,\!09)-\frac{1}{9}(-0,\!09)^2+\frac{5}{81}(-0,\!09)^3=1-0,\!03-0,\!0009-0,\!000045=0,\!969055.@b
Užitečná poznámka: Důležité je zvolit rozumně bod @ix_0@i. Je totiž nezbytné, abychom v tomto bodě byli schopni přesně vyčíslit funkční hodnotu funkce @if@i i její derivace. Budeme-li například chtít aproximovat hodnotu @i\cos 0,\!8\,@i, nezvolíme si @ix_0=1@i, neboť ani funkci cosinus ani funkci sinus, která se vyskytne v jejích derivacích, neumíme vyčíslit v bodě 1. V případě aproximace hodnoty @i\cos 0,\!8@i nedává smysl rozvíjet funkci cosinus v bodě @ix_0=1@i v Taylorův polynom.
Neřešené příklady
- Najděte Taylorův polynom třetího stupně pro funkci @if(x)={\rm e}^{-x^2}@i v bodě @ix_0=0.@i
- Najděte Taylorův polynom druhého stupně pro funkci @if(x)=\dfrac{2^x}{1+2^x}@i v bodě @ix_0=1.@i
- Pomocí Taylorova polynomu druhého stupně vhodně zvolené funkce ve vhodně zvoleném bodě @ix_0@i aproximujte hodnotu @i{\rm arctg}^2\,0,\!1.@i
