Derivace funkce

Teoretické minimum

@b\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},@b

pokud tato limita existuje. Derivaci funkce @if@i v bodě @ix_0@i budeme značit symbolem @if'(x_0)@i.

 Označíme-li symbolem @ih@i výraz @ix-x_0@i (tj. @ih=x-x_0@i a tedy @ix=x_0+h@i), můžeme tuto limitu ekvivalentně přepsat jako  limitu

@bf'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.@b

Tato definice bývá v některých případech výpočetně vhodnější než první  zmíněná definice derivace.

Jednostrannými derivacemi funkce @if@i v bodě @ix_0@i rozumíme příslušné jednostranné limity. Derivaci zprava budeme značit @if_+'@i a analogicky derivaci zleva @if_{-}'@i.

Derivace funkce @if@i v bodě @ix_0@i existuje právě tehdy, existují-li příslušné jednostranné derivace v daném bodě a jsou si rovny.

Užitečná poznámka: Nepleťme si derivaci funkce jakožto funkci derivace @if@i pro obecný argument @ix\in\mathcal{D}(f')\subseteq \mathcal{D}(f)@i s hodnotou @if'(x_0)@i pro daný bod @ix_0@i.

Nevlastní derivace

Jestliže @if'(x_0)=\infty@i nebo @if'(x_0)=-\infty@i, říkáme, že funkce @if@i má v bodě @ix_0@i nevlastní derivaci.  Jestliže je derivace konečná, říkáme, že funkce má v daném bodě vlastní derivaci. 

Příkladem funkcí, které mají nekonečnou derivaci v nějakém bodě, jsou liché odmocniny z @ix@i  v bodě @i0@i. Vezměme si funkci @if(x)=\sqrt[3]{x}@i a bod @ix_0=0@i:

@bf'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[3]{x}-0}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=+\infty@b

Platí: Nechť funkce @if@i má vlastní derivaci na intervalu @iI@i. Potom je @if@i spojitá na @iI@i.

Toto tvrzení neplatí naopak - je-li funkce spojitá, nutně ještě neexistují všude vlastní derivace. Příkladem takové funkce je například @if(x)=|x|@i, která je spojitá všude na @i\mathbb{R},@i ale v bodě @i0@i nemá derivaci. Graficky si lze body spojité funkce, ve kterých neexistuje derivace, představit jako "hroty" či "špičky" grafu (s tím souvisí pojem hladké funkce níže).

Užitečná poznámka: Dokonce ani neplatí, že funkce, která není v daném bodě spojitá (ale je v něm definovaná), nemůže mít v tomto bodě derivaci. Příkladem je funkce @if(x)={\rm sgn}\,x@i, která není spojitá v bodě @ix_0=0@i, ale přesto tam má nekonečnou derivaci.

Související

Spojitost a limita funkce.

Řešené příklady

1. Z definice spočtěte derivaci funkce @if(x)=\sqrt{x+1}@i v bodě @ix_0=1@i. 

Z definice je  @bf'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}@b 

pokud tato limita existuje. Jako vždy nejprve zkusíme do limity dosadit. Vidíme, že dostáváme neurčitý výraz typu "@i\frac{0}{0}@i" (viz poznámka výše). Využijeme tedy vzorce @i(a-b).(a+b)=a^2-b^2@i a rozšíříme celý zlomek výrazem @i\sqrt{x+1}+\sqrt{2}@i.

@bf'(1)\!=\!\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}\!=\!\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}\!\cdot\!\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}\!=\!\lim_{x\to 1}\frac{x+1-2}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})}\!=\!\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})}\!=\!\lim_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}.@b

Do tohoto výrazu již můžeme bez problému dosadit @ix=1@i a dostáváme hodnotu derivace  @if'(1)=\frac{1}{2\sqrt{2}}.@i

2. Odvoďte obecnou formuli pro derivaci funkce @if(x)=x^2@i.

Pro spočtení této derivace bude vhodnější druhý tvar definice derivace (limita pro @ih\to 0@i). Tedy v obecném bodě @ix@i je derivace

@bf'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h(2x+h)}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h).@b

První člen zbylého výrazu nezávisí na @ih@i (přes které děláme limitu), tedy jeho limita pro @ih\to0@i je @i2x@i. Druhý člen konverguje k @i0@i. Odvodili jsme tedy vzorec pro derivaci kvadratické funkce

@bf'(x)=(x^2)'=2x,\,\forall x\in\mathbb{R}.@b

3. Spočtěte derivaci funkce @if(x)=-\sqrt[3]{x+2}@i v bodě @ix_0=-2.@i

Spočítat první derivaci funkce v bodě @ix_0=-2@i znamená spočítat limitu

@b\lim_{x\to-2}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to-2}\frac{-\sqrt[3]{x+2}-0}{x+2}.@b

Úpravou zlomku dostáváme

@b\lim_{x\to-2}\frac{-\sqrt[3]{x+2}}{x+2}=\lim_{x\to-2}-\frac{1}{(x+2)^{\frac{2}{3}}}=\lim_{x\to-2}-\frac{1}{\sqrt[3]{(x+2)^2}}="-\frac{1}{0^+}"=-\infty.@b

Limita tedy existuje a tudíž @if'(-2)=-\infty.@i

Neřešené příklady

1. Spočtěte z definice derivaci následujících funkcí v daném bodě.
   @i(a)@i @if(x)=\sqrt[3]{x},@i @ix_0=0.@i
   
   
   

   Výsledek
   @if'(0)=+\infty.@i

   @i(b)@i @if(x)=\cos x,@i @ix_0=0.@i
   

   Výsledek
   @if'(0)=\lim\limits_{x\to 0} \frac{\cos x -1}{x} =\lim\limits_{x\to 0} \frac{\cos^2 x -1}{x(\cos x +1)}=\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}\frac{\sin x}{\cos x +1} = 0.@i

2. V bodě @ix_0=1@i spočtěte derivaci zleva funkce @if(x)=\sqrt{1-x}.@i



Výsledek
@if\_'(1)=-\infty.@i