Ekvivalentní úpravy

Teoretické minimum

Rovnice s jednou neznámou @i\ x\  @i je úloha: najít všechna reálná @i\ x @i, pro která funkce @i\ f\  @i a @i\ g\ @i nabývají  stejných funkčních hodnot. Zapíšeme ji ve tvaru

@b f(x)=g(x). @b

Funkce @i\ f(x)\ @i je levá strana rovnice,  funkce @i\ g(x)\ @i je pravá strana rovnice. Pokud je pravá strana identicky rovna nule,

@b f(x)=0,@b

mluvíme o rovnici v anulovaném tvaru.  Číslo @i\ x@i, které vyhovuje dané rovnici, tj. jeho dosazením do rovnice za proměnnou se převede rovnice na pravdivou rovnost, se nazývá kořen (řešení) rovnice.

Užitečná poznámka: Termín řešení rovnice znamená:

  • libovolné @i x  @i  vyhovující dané rovnici, tedy kořen dané rovnice
  • množinu všech @i  x @i  vyhovující dané rovnici, tedy množina všech kořenů dané rovnice, označme ji @i\ K\  @i 
  • postup, kterým všechny kořeny rovnice určíme.

Nejčastěji postupujeme tím způsobem, že danou rovnici upravujeme tak dlouho, než získáme rovnici, kterou již snadno umíme vyřešit (např.  rovnici lineární). Rozlišujeme přitom úpravy ekvivalentní, které převedou danou rovnici na rovnici se stejnou množinou kořenů, a neekvivalentní (důsledkové), při jejichž použití se může množina kořenů zvětšit - v tomto případě je vždy nutné provést zkoušku dosazením vypočteného kořenu do původní rovnice.

Ekvivalentními úpravami rovnic jsou

  • záměna levé a pravé strany rovnice
  • přičtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice
  • násobení obou stran rovnice stejným nenulovým výrazem
  • obecně aplikace jakékoli prosté funkce na obě strany rovnice
  • umocnění obou stran rovnice, pokud jsou obě strany rovnice nezáporné


Související

Definiční obor funkce, odmocnina.

Řešené příklady

  1. Vyřešte v reálném oboru rovnici @i\ x(x+7)=x.@i
  2. Nejprve @i x @i na pravé straně převedeme nalevo, tj. k oběma stranám rovnice přičteme @i -x@i. Pak @i x @i  vytkneme a dostaneme rovnici v součinovém tvaru. Vždy když na jedné straně rovnice je @i\,0@i, tak na druhé straně, pokud to jde, rozložíme výraz na součin.  Součin dvou reálných čísel je roven nule právě tehdy, je-li alespoň jedno z čísel nula. 

    @b\begin{array}{r c l}
          x(x+7)&=& x / -x\\    x(x+7)-x&=& 0\\  x(x+7-1)&=&0\\ x(x+6)&=&0\end{array}@b 

    Rovnice má dva kořeny @i\ x_1=0, x_2=-6 @i, tj. @i K=\{ -6,0\} @i.

    Pozor, častá chyba:  Obě strany rovnice vydělíme výrazem @i x @i bez ohledu na to, zda je roven nule. Dostaneme @i \ x+7=1 @i, tedy @i x=-6@i. Kořen @i x=0 @i jsme dělením ztratili.

  3. Vyřešte v reálném oboru rovnici @i\ -2=\sqrt{x+4}@i.
  4. Rovnice nemá řešení, tj. @i\ K=\emptyset @i, protože druhá odmocnina nikdy nenabývá záporné hodnoty.

    Pozor, častá chyba:  Obě strany rovnice umocníme bez ohledu na to, zda je levá strana rovnice nezáporná.   

    @b\begin{array}{r c l}
         -2&=& \sqrt{ x+4}/ \ ^2\\    4&=& x+4\\  x&=&0 \end{array}@b  

    Nyní musíme udělat zkoušku, abychom zjistili, že nula není kořenem rovnice. @b L(0)=-2\qquad P(0)=\sqrt{0+4}=2\qquad L(0)\neq P(0)@b

  5. Vyřešte v reálném oboru rovnici @i\ \dfrac{x+4}{x-1}-\dfrac{5}{x-1}=2@i.
  6. Rovnice má smysl pro @i x\neq 1 @i. Za tohoto předpokladu můžeme obě strany rovnice vynásobit výrazem

    @i x-1 @i.  @b\begin{array}{r c l}
          \dfrac{x+4}{x-1}-\dfrac{5}{x-1}&=& 2 / \cdot(x-1)\\    x+4-5&=& 2(x-1)\\  x-1&=&2x-2 / -2x+1\\ -x&=&-1 \\ x&=&1\end{array}@b Rovnice nemá žádné řešení, protože @i\ x\neq 1@i.

    Pozor, častá chyba:  Je třeba vždy určit, za jakých podmínek má rovnice smysl.

  7. Vyřešte v reálném oboru rovnici @i\ 3-x=\sqrt{x-3}@i.
  8. Rovnice má smysl, pokud pod odmocninou je nezáporné číslo, tj. @i \ x\geq3 @i. Obě strany rovnice můžeme umocnit, pokud levá strana rovnice je nezáporná, tedy @i \ x\leq3 @i. Pravá strana je nezáporná, neboť odmocnina nenabývá záporných hodnot. Průnikem obou množin je číslo @i 3@i, tedy rovnice může mít nejvýše jeden kořen @i\ x=3@i. Levá strana pro @i\ x=3@i nabývá hodnoty nula stejně jako pravá strana rovnice. Rovnice má jeden kořen @i\ x=3 @i, tj. @i K=\{ 3\} @i.

    Pozor, častá chyba:  Obě strany rovnice umocníme, výraz @i \ x-3 @i  odečteme od obou stran rovnice, levou stranu rovnice převedeme na součin. Součin dvou reálných čísel je roven nule právě tehdy, je-li alespoň jedno z čísel nula.  @b\begin{array}{r c l}
          3-x&=&\sqrt{ x-3} / \ ^2\\    (3-x)^2&=& x-3/ -(x-3)\\  (3-x)^2-x+3&=&0\\ (3-x)(3-x+1)&=&0\\ (3-x)(4-x)&=&0\end{array}@b Poslední rovnice má dva kořeny @i \ x_1=3, x_2=4@i. Pokud použijeme umocnění obou stran rovnice, aniž bychom ošetřili, že obě strany rovnice jsou nezáporné, je nutné provést zkoušku.  @b\begin{array}{l l l}
          L(3)=3-3=0\qquad& P(3)=\sqrt{3-3}=0\qquad & L(3)=P(3)\\  L(4)=3-4=-1& P(4)=\sqrt{4-3}=1& L(4)\neq P(4)\end{array}@b Rovnice má jeden kořen @i\ x=3@i.


Neřešené příklady

  1. Řešte rovnici  @i\ 3 = x+ \sqrt{x-1}@i s neznámou @i x\in \mathbb{R}@i.
  2. Řešte rovnici @i\  \sqrt{x-2} = \dfrac{1-3x}{\sqrt{x-2}}@i s neznámou @i x\in \mathbb{R}@i.
  3. Řešte rovnici @i\  x+\sqrt{2x+9} = 2(x+1)@i s neznámou @i x\in \mathbb{R}@i.
  4. Řešte rovnici @i\  \sqrt{x-3} = 1+\sqrt{1-x} @i s neznámou @i x\in \mathbb{R}@i.
  5. Řešte rovnici @i\ -x+1 = \sqrt{x^2+1} @i s neznámou @i x\in \mathbb{R}@i.
  6. Řešte rovnici @i\ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{x+1}{x+2} @i s neznámou @i x\in \mathbb{R}@i.
Last modified: Thursday, 18 April 2019, 8:34 AM