Mocniny a odmocniny

Teoretické minimum

Mocnina je zkrácený zápis pro opakované násobení stejného čísla. Například @i 2\cdot 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 @i je pátá mocnina dvojky @i\ 2^5@i. Číslo @i 2@i se nazývá základ mocniny, číslo @i 5@i exponent (mocnitel). Obecně @i n @i-tou mocninou @i\ a^n @i reálného čísla @i a @i rozumíme reálné číslo, které je výsledkem opakovaného násobení,

@b a^n\;=\;\underbrace{\,a\cdot a \cdot \ldots \cdot a\,}_{n-\mbox{krát}}.@b

Reálné číslo @i a  @i je základ mocniny, přirozené číslo @i n  @i je exponent

Pro nenulové reálné číslo @i a @i zavedeme @b a^{-n}=\dfrac 1{a^n}. @b

Užitečná poznámka: Pro @i \ n=0 \  @i a @i \ a\neq 0\  @i definujeme @i\  a^0=1.@i

Pozor, častá chyba: @i 0^0\ @i se nerovná @i\ 1.@i Je to neurčitý výraz. Bližší informace naleznete viz L'Hospitalovo pravidlo.


1. Násobení mocnin se stejným základem

@b 3^5\cdot 3^7=\underbrace{\,3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\,}_{5-\mbox{krát}}\cdot\underbrace{\,3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\,}_{7-\mbox{krát}}=3^{5+7}=3^{12}@b

Mocniny se stejným základem @i 3 @i násobíme tak, že základ umocníme součtem exponentů @i \  5+7 @i.

Pozor, častá chyba:  @i 4x^3\cdot 8x^{-2}\ @i se nerovná @i \ 32x^{-6}.@i  Platí  @i\ 4x^3\cdot 8x^{-2}=32x.@i


2. Dělení mocnin se stejným základem různým od nuly

@b \dfrac{2^7}{2^4}=\dfrac{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot}=2^{7-4}=2^{3}\qquad \textrm{nebo}\qquad   \dfrac{2^3}{2^8}=2^{3-8}=2^{-5}=\dfrac 1{2^5}@b

Mocniny se stejným základem @i 2 @i dělíme tak, že základ umocníme rozdílem exponentů @i \ 7-4 \ @i nebo  @i \ 3-8 @i.


Pozor, častá chyba: @i 2^{-1}\ @i se nerovná @i\ -2.@i  Platí  @i \ 2^{-1}=\dfrac 12. @i


3. Umocňování mocniny

@b\left (3^5\right)^7=\underbrace{\,(3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3)\cdot \  \ldots\  \cdot (3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3)\,}_{7-\mbox{krát}}=3^{5\cdot 7}=3^{35}@b

Mocninu umocníme tak, že její základ @i 3 @i umocníme součinem exponentů @i\ 5\cdot 7@i.


4. Umocňování součinu

@b\left (3\cdot 5\right)^7=\underbrace{\,(3\cdot 5)\cdot (3\cdot 5) \cdot\  \ldots\  \cdot (3\cdot 5)\,}_{7-\mbox{krát}}=3^{7}\cdot 5^{7}@b

Součin @i\ 3\cdot 5@i umocníme tak, že umocníme každého činitele .


5. Umocňování podílu

@b\left (\dfrac 35\right)^7=\underbrace{\,\dfrac 35\cdot \dfrac 35 \cdot\ \ldots\ \cdot \dfrac 35\,}_{7-\mbox{krát}}=\dfrac {3^{7}}{ 5^{7}}@b

Podíl  @i\ \dfrac 35 @i umocníme tak, že umocníme čitatele a také jmenovatele.

Pozor, častá chyba: Mocnina součtu či rozdílu se nerovná součtu, resp. rozdílu mocnin. @i (1+2)^3\ @i se nerovná @i \ 1^3+2^3.@i  Platí   @i \ (1+2)^3  =27@i . Zrovna tak @b (2+3)^2\neq 2^2+3^2=4+9=13.@b Platí @b(2+3)^2=2^2+2\cdot 2\cdot 3+3^2=4+12+9=25.@b


Pro nezáporné číslo @i\ a\ @i a přirozené číslo @i\ n\ @i definujeme @i n @i-tou odmocninu @i\ \sqrt[n]a\  @i čísla  @i\ a\ @i takto

@b \sqrt[n]a=b\qquad\Longleftrightarrow\qquad b^n=a.@b

Číslo @i\ b@i, tedy @i n @i-tá odmocnina nezáporného čísla  @i\ a\ @i je číslo nezáporné. Číslo @i a  @i je základ odmocniny, přirozené číslo @i n  @i je odmocnitel

Pro @i \ n \ @i liché definujeme @i n @i-tou odmocninu i ze záporného čísla @i\ a\ @i jako @b \sqrt[n]a=-\, \sqrt[n]{-a}.@b Například @i\ \sqrt[3]{-8}=-\,\sqrt[3]8=-2@i, také @i\ (-2)^3=-8@i.

Zavedení souvisí s pojmem inverzní funkce.


1. Násobení odmocnin se stejným odmocnitelem

@b \sqrt[n]a\cdot \sqrt[n]b=\sqrt[n]{a\cdot b}@b

Odmocniny z nezáporného čísla se stejným přirozeným odmocnitelem @i n @i násobíme tak, že součin základů @i\ a\cdot b\ @i odmocníme společným odmocnitelem @i \ n @i. 2. Dělení odmocnin se stejným odmocnitelem

@b \dfrac{ \sqrt[n]a}{\sqrt[n]b}=\sqrt[n]{\dfrac ab}@b

Odmocniny se stejným odmocnitelem @i n @i dělíme tak, že podíl základů @i\ \frac a b\ @i odmocníme společným odmocnitelem @i n @i. Nulou nelze dělit.

3. Umocňování odmocniny

@b\left (\sqrt[n] a\right)^m=\sqrt[n]{a^m}@b

Odmocninu @i\ \sqrt[n] a\ @i z nezáporného čísla @i\ a\ @i umocníme tak, že umocníme její základ @i\ a \ @i a získanou mocninu @i\ a^m \ @i odmocníme. 

4. Odmocňování odmocniny

@b\sqrt[m]{\sqrt[n] a}=\sqrt[m\cdot n] a@b

Odmocninu @i\ \sqrt[n] a\ @i z nezáporného čísla @i\ a\ @i odmocníme tak, že její základ  @i\ a\ @i odmocníme součinem odmocnitelů @i\ m\cdot n@i.

5. Odmocňování součinem

@b \sqrt[n] a=\sqrt[n\cdot k]{a^k}@b

Odmocninu @i\ \sqrt[n] a\ @i odmocníme součinem @i\ n\cdot k\ @i odmocnitele a libovolného přirozeného čísla, jestliže současně tímto přirozeným číslem @i\ k\ @i umocníme její základ.

Pozor, častá chyba: Odmocnina součtu či rozdílu se nerovná součtu, resp. rozdílu mocnin. @i \sqrt[n]{a\pm b}\ @i se nerovná @i \ \sqrt[n] a\pm \sqrt[n] b.@i  Například@b\sqrt{9+16}\neq \sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\qquad \textrm{neboť}\qquad 7^2\neq 9+16@b


Užitečná poznámka: Pro kladné @i\  a \  @i, pro celé @i\ m\ @i a pro přirozené @i \  n\  @i definujeme racionální @i\ \frac mn\ @i mocninu takto @ba^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}@b

Pozor, častá chyba:@i \sqrt[3] x\ @i se nerovná @i\ x^{-3}.@i Platí  @i \sqrt[3] x=x^{\frac 13}. @i

Související

Odmocnina, inverzní funkce.

Řešené příklady

  1. Vypočtěte @i\quad \left( 2^2\cdot \dfrac 13\right)^2 :  \left( \dfrac 12\cdot 3^2\right)^3@i.
  2. Nejprve umocníme součiny v závorkách, pak vydělíme zlomkem @i \dfrac{3^6}{2^3} @i a  to tak, že násobíme převrácenou hodnotou. Pak zlomky vynásobíme a součiny mocnin o stejném základě odstraníme tak, že základ umocníme na součet exponentů.

    @b\left( 2^2\cdot \dfrac 13\right)^2 :  \left( \dfrac 12\cdot 3^2\right)^3=\left( 2^4\cdot \dfrac 1{3^2}\right) :  \left( \dfrac 1{2^3}\cdot 3^6\right)= \dfrac {2^4}{3^2}\cdot \dfrac {2^3}{3^6}= \dfrac {2^4\cdot 2^3}{3^2\cdot 3^6}= \dfrac {2^{4+3}}{3^{2+6}} =\dfrac {2^7}{3^8} .@b

  3. Vypočtěte @i\quad \sqrt{0.09}@i.
  4. Desetinné číslo převedeme na zlomek, zlomek odmocníme tak, že odmocníme zvlášť čitatele a zvlášť jmenovatele.

    @b\sqrt{0.09} = \sqrt{\dfrac{9}{100}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{100}} = \dfrac{3}{10} = 0.3. @b

  5. Pro @i x\neq 0@i zjednodušte výraz @i (x\cdot y)^2:(2\cdot x )^3 @i.
  6. Umocníme součiny v závorkách, dělení převedeme na zlomek, částečně zkrátíme ve zlomku

    @b(x\cdot y)^2:(2\cdot x )^3 = \dfrac{x^2\cdot y^2}{2^3\cdot x^3} =\dfrac{x^2\cdot y^2}{8\cdot x^{2+1}} =  \dfrac{y^2}{8x}.@b

  7. Pro libovolné reálné číslo @i a\neq 0@i zjednodušte výraz @i a^{-1}\cdot\left(1+\dfrac 1{a^2}\right)^{-\frac 12}\cdot \left(1+a^2 \right)^{\frac12} @i.
  8. Provedeme sčítání v závorce převedením na společného jmenovatele, záporný exponent odstraníme pomocí převrácené hodnoty, umocníme zvlášť čitatel a jmenovatel,  mocniny s racionálním exponentem přepíšeme pomocí odmocnin. Na závěr pokrátíme, co pokrátit můžeme.

    @b a^{-1}\cdot\left(1+\dfrac 1{a^2}\right)^{-\frac 12}\cdot \left(1+a^2 \right)^{\frac12} =a^{-1}\cdot\left(\dfrac {a^2+1}{a^2} \right)^{-\frac 12}\cdot \left(1+a^2 \right)^{\frac12}\quad\quad\quad\quad\quad @b @b =\dfrac{1}{a}\cdot\left(\dfrac {a^2} {a^2+1}\right)^{\frac 12}\cdot \left(1+a^2 \right)^{\frac12} =  \dfrac{\sqrt{a^2}\sqrt{a^2+1} }{a\cdot \sqrt{a^2+1} }  = \dfrac{|a|}{a} = \begin{cases}1,&\text{ pro } a>0\\-1&\text{ pro }a<0\end{cases} .@b

    Pozor, častá chyba:  Zapomíná se na absolutní hodnotu! @i\ \sqrt{a^2}= |a| @i, např. @b \sqrt{(-3)^2}  = \sqrt{9} = 3=|-3|.@b


Neřešené příklady

  1. Spočtěte hodnotu @i \bigl((0.1)^{-2} \cdot 1000^{-1} \bigr)^2@i
  2. Spočtěte hodnotu @i\dfrac{4}{\sqrt{8}\cdot \sqrt[3]{2}}@i
  3. Spočtěte hodnotu @i \sqrt[3]{\dfrac{27}{8}} @i
  4. Zjednodušte výraz @i x\cdot\sqrt{ 9 x^5 \cdot x^3 } @i.
  5. Pro libovolná kladná @ia,b@i zjednodušte výraz @i \sqrt[6]{a}\cdot\Biggl( \dfrac{a\cdot b^{\frac32}}{\sqrt{a\cdot b}} + \sqrt{4a} \Biggr) @i.
Last modified: Thursday, 18 April 2019, 8:39 AM