Logo OPVVV

Teoretické minimum

Lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s konstantními koeficienty rozumíme rovnici @b a_1 y'' + a_2 y' + a_3 y = f(x),\label{r}\tag{R} @b kde @i a_1,a_2,a_3\in\mathbb R @i  jsou konstanty, @i a_1\neq 0 @i, a @i f @i je reálná funkce. Obecné řešení @i \{y_{C_1,C_2};\,C_1,C_2\in\mathbb R\} @i rovnice \eqref{r} na nějakém intervalu @i I @i má stejnou strukturu jako obecné řešení Lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu, tj. @b y_{C_1,C_2}(x)=y_P(x) + y_{H,C_1,C_2}(x),\ x\in I, @b kde

  • @i y_P @i je partikulární (nějaké) řešení nehomogenní rovnice \eqref{r}
  • @i y_{H,C_1,C_2} @i je řešení homogenní rovnice @i  a_1 y'' + a_2 y' + a_3 y =0 @i
Řešení homogenní rovnice

Nejprve sestavíme charakteristickou rovnici @b a_1\lambda^2 + a_2\lambda + a_3=0\label{chr}\tag{CHR} @b a najdeme její kořeny:

  1. dva různé reálné kořeny @i \lambda_1\neq \lambda_2 \in\mathbb R @i, pak obecné řešení má tvar @b y_{H,C_1,C_2}(x)=C_1{\rm e}^{\lambda_1 x} + C_2{\rm e}^{\lambda_2 x},\ x\in\mathbb R;C_1,C_2\in\mathbb R @b
  2.  jeden dvojnásobný reálný kořen @i \lambda\in\mathbb R @i, pak obecné řešení má tvar @b y_{H,C_1,C_2}(x)=C_1{\rm e}^{\lambda x} + C_2x{\rm e}^{\lambda x},\ x\in\mathbb R;C_1,C_2\in\mathbb R @b
  3. dva komplexně sdružené kořeny @i \lambda,\bar\lambda\in\mathbb C @i, označme @i \lambda=\alpha + i\, \beta @i, pak obecné řešení má tvar @b y_{H,C_1,C_2}(x)=C_1{\rm e}^{\alpha x}\cos \beta x + C_2{\rm e}^{\alpha x}\sin \beta x,\ x\in\mathbb R;C_1,C_2\in\mathbb R @b

Užitečná poznámka:

  1. Tvar řešení je závislý na tom, jaké řešení má charakteristická rovnice, která je v tomto případě kvadratická.
  2. Dosazením do homogenní rovnice si snadno ověříte, že výše uvedené funkce jsou skutečně řešením.
Partikulární řešení nehomogenní rovnice  — metoda odhadu

Uvažujme pravou stranu @i f @i ve tvaru tzv. speciální pravé strany: @b f(x)={\rm e}^{ax}\left(P(x)\cos bx + Q(x)\sin bx\right),  @b kde @i a,b\in\mathbb R @i jsou reálná čísla a @i P,Q @i jsou polynomy.

Pak partikulární řešení @i y_P @i rovnice \eqref{r} je tvaru @b y_P(x)=x^k {\rm e}^{ax}\left(R(x)\cos bx + S(x)\sin bx\right),\ x\in\mathbb R, @b kde

  • @i k @i je násobnost čísla @i a + i\,b @i jako kořene charakteristické rovnice \eqref{chr}
  • @i R,S @i jsou neznámé polynomy, jejichž stupeň je nejvýše roven stupni „většího“ (co do stupně) z polynomů @i P,Q @i

Jelikož víme, že @i y_P @i má být řešením \eqref{r}, dosadíme @i y_P @i do rovnice \eqref{r}, odkud určíme koeficienty neznámých polynomů @i R,S @i.


Užitečná poznámka:
  1. Polynomy @i R,S @i jsou určeny jednoznačně!
  2. Jelikož je speciální pravá strana spojitá v celém @i \mathbb R @i, jsou definičním oborem řešení rovnice \eqref{r} vždy všechna reálná čísla!


Související

Kvadratické rovnice, soustavy lineárních algebraických rovnic, pojem řešení diferenciálních rovnic.


Řešené příklady

1. Najděme obecné řešení rovnice @i y'' -y=4{\rm e}^x @i.

Charakteristická rovnice homogenní rovnice @i y'' - y = 0 @i je @b \lambda^2 - 1 = 0. @b Jejím řešením jsou čísla @b \lambda_1=1,\ \lambda_2=-1. @b Protože jsou to dvě různá reálná řešení, obecné řešení homogenní rovnice obsahuje funkce tvaru @b y_H(x)=C_1 {\rm e}^x + C_2{\rm e}^{-x},\ x\in\mathbb R;C_1,C_2\in\mathbb R. @b Pravá strana @i 4{\rm e}^x @i je speciální, neboť @b 4{\rm e}^x = {\rm e}^{1 x}\left(4\cos 0 x + 0\sin 0 x\right), @b takže @b a=1,b=0,P(x)\equiv 4,Q(x)\equiv 0. @b Větší (co do stupně) je konstantní polynom @i P @i, takže polynomy @i R,S @i mohou být nejvýše konstantními polynomy, tj. @b R(x) \equiv A,\ S(x)\equiv B. @b Číslo @b a + i\,b=1 + i\,0=1 @b je jednoduchým kořenem charakteristické rovnice, a tak @i k=1 @i. Proto partikulární řešení @i y_P @i nehomogenní rovnice je tvaru: @b y_P(x)=x^1{\rm e}^x\left(A\cos 0x + B\sin 0x\right)=Ax{\rm e}^x,\ x\in\mathbb R. @b Neznámou @i A @i určíme tak, aby @i y_P @i bylo řešením nehomogenní rovnice:

  1. spočteme první a druhou derivaci @i y_P @i  @b \begin{align*} y'_P(x)&=A{\rm e}^x(1+x)\\ y''_P(x)& = A{\rm e}^x(2+x)\end{align*} @b
  2. dosadíme do nehomogenní rovnice @b A{\rm e}^x(2+x) - Ax{\rm e}^x=4{\rm e}^x,\ \forall x\in\mathbb R, @b a upravíme @b \begin{align*}2A{\rm e}^x&=4{\rm e}^x\\ A&=2 \end{align*} @b
    Poznamenejme, že funkcí @i {\rm e}^x @i bylo možné vydělit, neboť je nenulová.

Zjistili jsme, že partikulárním řešením nehomogenní rovnice je funkce @b y_P(x) = 2x{\rm e}^x,\ x\in\mathbb R. @b Celkem tedy máme, že obecné řešení nemohomogenní rovnice obsahuje funkce tvaru @b y(x)=y_P(x) + y_H(x) = 2x{\rm e}^x + C_1 {\rm e}^x + C_2{\rm e}^{-x},\ x\in\mathbb R;C_1,C_2\in\mathbb R. @b


2. Najděme řešení rovnice @i y'' + 2y'+2 y = 3 \cos x + \sin x @i splňující počáteční podmínky @i y(0) = 0, y'(0) = 1 @i.

Charakteristická rovnice homogenní rovnice @i y'' +2y'+ 2y = 0 @i je @b \lambda^2 + 2\lambda + 2 = 0. @b Jejím řešením jsou komplexně sdružená čísla @b \lambda=-1+i,\ \bar\lambda=-1-i, @b  a tak obecné řešení homogenní rovnice obsahuje funkce tvaru @b y_H(x)=C_1 {\rm e}^{-x}\cos x + C_2{\rm e}^{-x}\sin x,\ x\in\mathbb R;C_1,C_2\in\mathbb R. @b Pravá strana @i 3\cos x + \sin x @i je speciální, neboť @b 3\cos x + \sin x = {\rm e}^{0 x}\left(3\cos 1 x + 1\sin 1 x\right), @b takže @b a=0,b=1,P(x)\equiv 3,Q(x)\equiv 1. @b Polynomy @i P,Q @i jsou konstantní, takže polynomy @i R,S @i mohou být nejvýše konstantními polynomy, tj. @b R(x) \equiv A,\ S(x)\equiv B. @b Číslo @b a + i\,b=0+ i\,1=i @b není kořenem charakteristické rovnice, a tak @i k=0 @i. Proto partikulární řešení @i y_P @i nehomogenní rovnice je tvaru: @b y_P(x)=x^0{\rm e}^{0x}\left(A\cos 1x + B\sin 1x\right)=A\cos x + B\sin x,\ x\in\mathbb R. @b Neznámé @i A,B @i určíme tak, aby @i y_P @i bylo řešením nehomogenní rovnice:

  1. spočteme první a druhou derivaci @i y_P @i @b \begin{align*} y'_P(x)&=-A\sin x + B\cos x\\ y''_P(x)&=-A\cos x-B\sin x\end{align*} @b
  2. dosadíme do nehomogenní rovnice @b-A\cos x-B\sin x+2\left(-A\sin x + B\cos x\right)+2\left(A\cos x + B\sin x\right)=3\cos x + \sin x,\ \forall x\in\mathbb R, @b a upravíme (seskupíme členy obsahující @i \cos x @i a @i \sin x @i) @b \begin{align*}(-A+2B+2A)\cos x + (-B-2A+2B)\sin x &=3\cos x + \sin x\\ (2B+A)\cos x + (B-2A)\sin x &=3\cos x + \sin x,\ \forall x\in\mathbb R.\end{align*} @b Poslední rovnost musí být splněna pro všechna reálná @i x @i, a proto se musí rovnat koeficienty u @i \sin x @i i u @i \cos x @i: @b \begin{align*}{\rm u}\ \sin x:\quad B-2A&=1\\ {\rm u}\ \cos x:\quad 2B+A&=3\end{align*} @b Řešení této soustavy je @i A=\frac{1}{5}, B=\frac{7}{5} @i,  a tak partikulárním řešením nehomogenní rovnice je funkce @b y_P(x) =\frac{1}{5}\cos x + \frac{7}{5}\sin x,\ x\in\mathbb R. @b

Obecné řešení nemohomogenní rovnice má tvar @b y(x)=y_P(x) + y_H(x) = \frac{1}{5}\cos x + \frac{7}{5}\sin x +C_1 {\rm e}^{-x}\cos x + C_2{\rm e}^{-x}\sin x,\ x\in\mathbb R;C_1,C_2\in\mathbb R. @b My však hledáme takové řešení, které bude splňovat počáteční podmínky @i y(0)=0 @i a @i y'(0)=1 @i. Nejprve spočtěme @b y'(x)= -\frac{1}{5}\sin x + \frac{7}{5}\cos x +C_1 {\rm e}^{-x}(-\cos x-\sin x) + C_2{\rm e}^{-x}(-\sin x+\cos x). @b Pak @b \begin{align*}0=y(0)&=\frac{1}{5}+C_1\\ 1=y'(0)&=\frac{7}{5}-C_1+C_2\end{align*} @b což je soustava lineárních algebraických rovnic pro konstanty @i C_1,C_2 @i. Vidíme, že @i C_1=-\frac{1}{5} @i a @i C_2=-\frac{3}{5} @i, a tak řešením naší úlohy je funkce @b y(x)=\frac{1}{5}\cos x + \frac{7}{5}\sin x -\frac{1}{5} {\rm e}^{-x}\cos x -\frac{3}{5}{\rm e}^{-x}\sin x=\frac{1}{5}(1-{\rm e}^{-x})\cos x+\frac{1}{5}(7-3{\rm e}^{-x})\sin x,\ x\in\mathbb R. @b


3. Najděme obecné řešení rovnice @b y'' - 4 y' + 4 y = 2 {\rm e}^{2x} + 8 x^2. @b Partikulární řešení hledejme modifikovanou metodou odhadu.

Nejprve si všimněme, že pravá strana není speciální, avšak je součtem speciálních pravých stran @i f_1(x)=2 {\rm e}^{2x} @i a @i f_2(x)=8 x^2 @i. Lze nahlédnout, že partikulární řešení naší nehomogenní rovnice je součtem partikulárních řešení rovnic se speciálními pravými stranami @i f_1 @i a @i f_2 @i. Tento způsob hledání partikulárního řešení se nazývá modifikovaná metoda odhadu.

Charakteristická rovnice homogenní rovnice @i y'' - 4y' + 4y = 0 @i je @b \lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0. @b Jejím řešením je číslo @i \lambda=2 @i, jehož násobnost je dva. Proto je obecné řešení homogenní rovnice tvaru @b y_H(x)=C_1 {\rm e}^{2x} + C_2x{\rm e}^{2x},\ x\in\mathbb R;C_1,C_2\in\mathbb R. @b

Funkce @i f_1, f_2 @i jsou speciálními pravými stranami, neboť @b \begin{align*} f_1(x)&=2 {\rm e}^{2x} = {\rm e}^{2 x}\left(2\cos 0 x + 0\sin 0 x\right)\\ f_2(x)&=8 x^2={\rm e}^{0 x}\left(8x^2\cos 0 x + 0\sin 0 x\right)\end{align*} @b takže @b \begin{align*}&a_1=2,b_1=0,P_1(x)\equiv 2,Q_1(x)\equiv 0\\&a_2=0,b_2=0,P_2(x)=8x^2,Q_2(x)\equiv 0\end{align*} @b Polynomy @i P_1,Q_1 @i jsou konstantní, takže polynomy @i R_1,S_1 @i mohou být též nejvýše konstantními polynomy, tj. @b R_1(x) \equiv A,\ S_1(x)\equiv B. @b Polynom @i P_2 @i je kvadratický, zatímco @i Q_2 @i je nulový. Proto polynomy @i R_2,S_2 @i mohou být nejvýše kvadratickými polynomy, tj. @b R_2(x) = Cx^2+Dx+E,\ S_2(x)=Fx^2+Gx+H. @b Číslo @b a_1 + i\,b_1=2 + i\,0=2 @b je dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice, a tak @i k_1=2 @i. Dále číslo @b a_2 + i\,b_2=0 + i\,0=0 @b není kořenem charakteristické rovnice, a tak @i k_2=0 @i. A tak partikulární řešení @i y_P @i nehomogenní rovnice je tvaru: @b \begin{align*}y_P(x)&=y_{P,1} + y_{P,2}\\&= x^2{\rm e}^{2x}\left(A\cos 0x + B\sin 0x\right)+x^0{\rm e}^{0x}\left((Cx^2+Dx+E)\cos 0x + (Fx^2+Gx+H)\sin 0x\right)\\&=Ax^2{\rm e}^{2x}+Cx^2+Dx+E,\ x\in\mathbb R.\end{align*} @b Neznámé koeficienty @i A,C,D,E @i určíme tak, aby @i y_P @i bylo řešením nehomogenní rovnice:

  1. spočteme první a druhou derivaci @i y_P @i  @b \begin{align*} y'_P(x)&=2A{\rm e}^{2x}(x^2+x)+2Cx+D\\ y''_P(x)&=2A{\rm e}^{2x}(2x^2 + 4x + 1)+2C\end{align*} @b
  2. dosadíme do nehomogenní rovnice @b 2A{\rm e}^{2x}(2x^2 + 4x + 1)+2C - 4\left(2A{\rm e}^{2x}(x^2+x)+2Cx+D\right) + 4\left(Ax^2{\rm e}^{2x}+Cx^2+Dx+E\right)=2 {\rm e}^{2x} + 8 x^2,\ \forall x\in\mathbb R, @b a upravíme (seskupíme členy obsahující @i x^2{\rm e}^{2x} @i, @i x{\rm e}^{2x} @i, @i {\rm e}^{2x} @i a mocniny @i x^2,x,x^0\equiv 1 @i) @b \begin{align*}(4A-8A+4A)x^2{\rm e}^{2x}+(8A-8A)x{\rm e}^{2x}+2A{\rm e}^{2x}+4Cx^2+(-8C+4D)x+(2C-4D+4E)&=2 {\rm e}^{2x} + 8 x^2\\2A{\rm e}^{2x}+4Cx^2+(-8C+4D)x+(2C-4D+4E)&=2 {\rm e}^{2x} + 8 x^2 ,\ \forall x\in\mathbb R.\end{align*} @b Poslední rovnost musí být splněna pro všechna reálná @i x @i, a proto se musí rovnat koeficienty u @i {\rm e}^{2x} @i a mocnin @i x^2,x,x^0\equiv 1 @i: @b \begin{align*}{\rm u}\ {\rm e}^{2x}&:\quad 2A=2\\ {\rm u}\ x^2&:\quad 4C=8\\ {\rm u}\ x&:\quad -8C+4D=0\\{\rm u}\ x^0\equiv 1&:\quad 2C-4D+4E=0\end{align*} @b Postupným řešením této soustavy čtyř rovnic o čtyřech neznámých dostaneme @b A=1, C=2, D=4, E=3. @b

A tak partikulárním řešením nehomogenní rovnice je funkce @b y_P(x) = x^2{\rm e}^{2x}+2x^2+4x+3,\ x\in\mathbb R. @b Celkem tedy máme, že obecné řešení nemohomogenní rovnice obsahuje funkce tvaru @b y(x)=y_P(x) + y_H(x) = x^2{\rm e}^{2x}+2x^2+4x+3 + C_1 {\rm e}^{2x} + C_2x{\rm e}^{2x},\ x\in\mathbb R;C_1,C_2\in\mathbb R. @b

Užitečná poznámka: o speciální pravé straně @i f(x)={\rm e}^{ax}\left(P(x)\cos bx + Q(x)\sin bx\right) @i

  1. Pro volbu @i a = 0 @i @i ({\rm e}^{0x}\equiv 1) @i má funkce @i f @i tvar @b f(x)= P(x)\cos bx + Q(x)\sin bx, @b např. @i x\cos 2x +(x^2-1)\sin 2x @i, či @i (x+1)\cos x @i, anebo @i (x+1)\sin 3x @i atd.
  2. Pro volbu @i b=0 @i @i (\cos 0x=1,\ \sin 0x=0) @i má funkce @i f @i tvar @b {\rm e}^{ax}P(x), @b např. @i x^2-1 @i, či @i x{\rm e}^{-x} @i atd.

Pozor, častá chyba: Funkce @i \cos x + \cos 2x @i, či @i {\rm e}^{x} + {\rm e}^{-x} @i, anebo @i {\rm e}^x +\sin x,\ldots @i nejsou speciálními pravými stranami! Lze na ně ovšem nahlížet jako na součet dvou speciálních pravých stran a k hledání partikulárního řešení příslušné nehomogenní rovnice použít modifikovanou metodu odhadu.


Neřešené příklady

  1. Rozhodněte, pro které pravé strany @i f @i by bylo možné najít partikulární řešení rovnice \eqref{r}

    1.  metodou odhadu
    2. modifikovanou metodou odhadu
    3.  ani jednou z výše uvedených metod

    je-li @i f @i @b \begin{align*}{\rm (i)}&\quad x^{-1}{\rm e}^x\\ {\rm (ii)}&\quad {\rm e}^{4x}(\cos x -\sin 2x)\\ {\rm (iii)}&\quad x{\rm e}^x\sin x + x-1\\{\rm (iv)}&\quad x^2+x-1\\ {\rm (v)} &\quad {\rm e}^{-2x}\sqrt x\\{\rm (vi)}&\quad x\sin \frac{x}{2} -{\rm e}^x\cos x\end{align*} @b
  2. Najděte obecná řešení rovnic @b \begin{align*}{\rm (a)}&\quad y''-2y=9\,x\sin x\\ {\rm (b)}&\quad y''-4y'+5y=10\,{\rm e}^{-x}\\ {\rm (c)}&\quad 3y''+2y'-y=3-x\\{\rm (d)}&\quad y''+6y'+9y=6(x-1)\,{\rm e}^{-3x}\\ {\rm (e)} &\quad y''+4y=4x+\sin 2x\end{align*} @b
  3. Najděte řešení následujících rovnic s počátečními podmínkami @b \begin{align*}{\rm (a)}&\quad y''+ 2y'-8y=8x^2-4x,\ y(0)=0,y'(0)=-1\\ {\rm (b)}&\quad 9y''- y=2\sin\frac{x}{3},\ y(0)=-2,y'(0)=1\\ {\rm (c)}&\quad y''-2y=8(x+1)\,{\rm e}^{2x},\ y(0)=1,y'(0)=-2\\{\rm (d)}&\quad y''+9y=10\,{\rm e}^{-x} + 36 \cos 3x,\ y(0)=-1,y'(0)=2\\ {\rm (e)} &\quad y''-2y'+y=x^3+x-1,\ y(1)=1,y'(1)=-2\end{align*} @b

Licence CC BY SA

Last modified: Tuesday, 14 June 2022, 9:38 PM