Numerická integrace
Numerická integrace
Teoretické minimum
Podívejme se na jednoduchou metodu přibližného výpočtu určitého integrálu, tzv. lichoběžníkovou metodu. Chtěli bychom přibližně určit hodnotu @i\displaystyle \int_a^b f(x)\,{\rm d}x @i pro integrand spojitý na intervalu @i [a,b] @i. Zvolme si dělení intervalu @i [a,b] @i @b a=x_0<x_1<x_2\ldots <x_{n-1}<x_n=b. @b Je-li ekvidistantní, pak @i x_1=x_0+h @i, @i \ x_2=x_1+h=x_0+2h @i atd., kde @i h=\dfrac{b-a}{n} @i je krok dělení.
Pro jednoduchost předpokládejme, že @i f @i je nezáporná na intervalu @i [a,b] @i! Pak víme, že určitý integrál má význam plošného obsahu obrazce ohraničeného grafem funkce @i f @i, osou @i x @i a přímkami danými rovnicemi @i x=a @i a @i x=b @i. Tuto plochu můžeme aproximovat sjednocením na sebe navazujících pravoúhlých lichoběžníků, které mají základny délek @i f(x_i) @i a @i f(x_{i+1}) @i, @i i=0,\ldots, n-1 @i, a výšku @i h @i:
Obsah každého z lichoběžníků je @i \dfrac{1}{2}\big(f(x_i)+f(x_{i+1})\big)h @i. Posčítáním všech těchto obsahů a drobnou úpravou získáme přibližnou hodnotu integrálu @b \int_a^b f(x)\,{\rm d}x \approx \frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\big(f(x_1)+\ldots +f(x_{n-1})\big)+f(x_n)\Big). @b
Užitečná poznámka: Je dobré poznamenat, že čím jemnější je dělení, tj. čím menší je krok @i h @i, tím je vypočtená přibližná hodnota integrálu přesnější.
Související
Určitý integrál, aplikace určitého integrálu.
Řešené příklady
1. Spočtěme přibližně délku grafu funkce @i f(x)= x^2,\ x\in [0,1], @i lichoběžníkovou metodou s krokem @i 1/2 @i.
Jelikož @i f'(x)=2x,\ x\in[0,1], @i dosazením do vzorečku D. pro délku @i l @i grafu funkce z kapitoly Aplikace integrálního počtu dostaneme @b l= \int_a^b \sqrt{1+\big(f'\big)^2(x)}\,{\rm
d}x=\int_0^1 \sqrt{1+4x^2}\,{\rm d}x. @b Výpočet tohoto integrálu je nad rámec kurzu Matematiky A, a tak ho spočteme přibližně:
@b l= \int_0^1 \sqrt{1+4x^2}\,{\rm d}x\approx \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(\sqrt{1+4\cdot 0^2} + 2 \sqrt{1+4\cdot \Big(\frac{1}{2}\Big)^2} +\sqrt{1+4\cdot 1^2}\right)= \frac{1}{4}(1+2\sqrt 2 + \sqrt 5) \doteq 1,516. @b
Pozor, častá chyba: Uvědomte si, že do vzorce pro lichoběžníkovou metodu dosazujeme za @i f @i funkci @i \sqrt{1+4x^2} @i, nikoli funkci @i x^2 @i. Řešili bychom totiž zcela jinou úlohu!
2. Určeme přibližně plošný obsah obrazce omezeného grafem funkce @i f(x)=x^2,\ x\in [0,1], @i a osou @i x @i, lichoběžníkovou metodou s krokem @i 1/2 @i a @i 1/4 @i.
Plošný obsah @i P @i daného obrazce je přesně @b P=\int_0^1 x^2\,{\rm d}x= \frac{1}{3}\big[x^3\big]_0^1=\frac{1}{3}. @b Nás ale zajímá numerické řešení. Pro krok @i h=1/2 @i dostaneme
@b P=\int_0^1 x^2\,{\rm d}x\approx \frac{1}{4}\left(0^2 + 2\Big(\frac{1}{2}\Big)^2 + 1^2\right)=\frac{3}{8}, @b což je číslo o @i 1/24 @i větší než přesný obsah obrazce (funkce @i x^2 @i je konvexní, a tak lichoběžníková metoda přesnou hodnotu trochu nadhodnotí).
Pro krok @i h=1/4 @i máme
@b P=\int_0^1 x^2\,{\rm d}x\approx \frac{1}{8}\left(0^2 + 2\left(\Big(\frac{1}{4}\Big)^2 + \Big(\frac{1}{2}\Big)^2 + \Big(\frac{3}{4}\Big)^2\right) + 1^2\right)=\frac{11}{32}, @b což je číslo o @i 1/96 @i větší než přesný obsah obrazce. Též si můžeme
všimnout, že s menším krokem @i h @i je aproximace přesnější (@i 1/96<1/24 @i).
Neřešené příklady
- Spočtěte přibližně délku grafu funkce @i \dfrac{2}{x+1},\ x\in [0,1], @i lichoběžníkovou metodou s krokem @i 1/2 @i.
- Lichoběžníkovou metodou s krokem @i \pi/2 @i vypočtěte přibližně délku poloviny elipsy se středem v počátku, poloosami @i a=2 @i a @i b=1 @i, ležící v polorovině @i y\geq 0 @i.
- Vypočtěte délku jednoho oblouku sinusoidy lichoběžníkovou metodou s krokem @i \pi/2 @i.
- Spočtěte přibližně plošný obsah obrazce ohraničeného grafem funkce @i 16^{-x^2}, @i osou @i x @i a přímkami danými rovnicemi @i x=-1@i a @i x=1 @i, lichoběžníkovou metodou s krokem @i 1/2 @i. Obrazec načrtněte.
- Lichoběžníkovou metodou s krokem @i 1/2 @i vypočtěte přibližně délku grafu funkce @i \ln x,\ x\in [1,2]. @i
