Logo OPVVV

Teoretické minimum

Diferenciál funkce jedné proměnné je lineární funkcí změny nezávisle proměnné. V této části si zavedeme dva pojmy, diferenciál a diferenci funkce. Předpokládejme, že funkce @if@i má vlastní derivaci v bodě @ix_0\in\mathcal{D}(f).@i Označme @i x-x_0=\Delta x@i, tj. @i\, x=x_0+\Delta x@i.

Diferencí funkce @if@i v bodě @ix_0@i odpovídající změně nezávisle proměnné @ix@i o  @i\Delta x@i rozumíme rozdíl @i\Delta f(x_0,\Delta x)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).@i

Diferenciálem funkce v bodě @ix_0@i odpovídající změně nezávisle proměnné @ix@i o  @i\Delta x@i rozumíme výraz @i{\rm d}f(x_0,\Delta x)=f'(x_0)\cdot\Delta x.@i

Poznamenejme, že pro pevně zvolené @ix_0@i je diferenciál lineární funkcí argumentu @i\Delta x.@i

Užitečná poznámka: Máme-li dáno @ix@i a @ix_0@i a potřebujeme-li určit změnu nezávisle proměnné @i\Delta x @i, pak @i\Delta x=x-x_0@i. V rozdílu nelze pořadí @i x@i a @ix_0@i zaměnit.


Geometricky je diference a diferenciál znázorněn na následujícím obrázku. Diference je znázorněna modrou barvou a diferenciál zelenou. Přímka @it@i znázorněna zelenou barvou je tečna ke grafu funkce @if@i v bodě @i \big(x_0,f(x_0)\big)@i.


Z obrázku je patrné, že tečna @it@i ke grafu funkce @if@i a graf funkce @if@i téměř splývají pro @ix@i blízko bodu @ix_0@i. Proto pro @i\Delta x@i blízké nule je diferenciál funkce @if@i velmi blízký diferenci funkce @if@i. Můžeme tedy psát @b\Delta f(x_0,\Delta x)\approx {\rm d}f(x_0,\Delta x).@b Rozdíl funkčních hodnot (diferenci) nahrazujeme rozdílem hodnot vyčtených na tečně (diferenciálem).

Tento fakt má ovšem ještě hlubší dosah. Chceme-li například spočítat funkční hodnotu funkce @if@i v bodě @ix@i bez použití kalkulačky, můžeme tuto hodnotu aproximovat pomocí diferenciálu ve vhodně zvoleném bodě @ix_0@i. Platí-li totiž, že 

@b\Delta f(x_0,\Delta x)\approx {\rm d}f(x_0,\Delta x)@b

a @i\, x=x_0+\Delta x@i, pak

@b\Delta f(x_0,\Delta x)=f(x)-f(x_0)\approx {\rm d}f(x_0,\Delta x),@b

a tudíž

@bf(x)\approx f(x_0)+{\rm d}f(x_0,\Delta x).@b

Pomocí diferenciálu tedy můžeme aproximovat (na rozumném okolí bodu @ix_0@i) funkční hodnoty. Jedná se o lineární aproximaci funkce, nebo-li o aproximaci Taylorový polynomem prvního stupně. Geometricky to znamená, že jsme graf funkce @if @i nahradili v okolí bodu @i\big(x_0,f(x_0)\big)@i tečnou ke grafu funkce @if @i procházející tímto bodem.

Chybou aproximace diference pomocí diferenciálu (značit ji budeme @iR_1(x_0+\Delta x)@i) rozumíme rozdíl

@bR_1(x_0+\Delta x)=\Delta f(x_0,\Delta x)-{\rm d}f(x_0,\Delta x).@b

Užitečná poznámka: Značení chyby aproximace pochází ze značení chyby u Taylorova polynomu. Povšimněme si nekonzistentnosti značení chyby aproximace s ostatními zde zadefinovanými pojmy (diferencí a diferenciálem).


Související

Derivace funkce, Taylorův polynom.


Řešené příklady

1. Spočtěte diferenci a diferenciál funkce @if(x)=x\cdot \ln x +1@i v bodě @ix_0=1@i pro @i\Delta x=0{,}1.@i Určete chybu aproximace @iR_1(1,\!1).@i

Ke spočtení diference funkce budeme potřebovat @if(1)=1\cdot\ln1+1=0+1=1@i. Dále je @ix_0+\Delta x=1{,}1@i. Diference funkce je potom

@b\Delta f(1;0,\!1)=f(1{,}1)-f(1)=1,\!1\cdot\ln1,\!1+1-1=1,\!1\cdot\ln1,\!1.@b

Abychom určili diferenciál funkce, je nutné spočítat derivaci funkce a vyčíslit ji v bodě @ix_0=1:@i

@bf'(x)=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}\quad  \Longrightarrow\quad f'(1)=0+1=1.@b

Diferenciál funkce je tedy

@b{\rm d}f(1;0,\!1)=1\cdot0,\!1=0,\!1.@b

Chyba aproximace diference diferenciálem je potom @iR_1(1,\!1)=\Delta f(1;0,\!1)-{\rm d}f(1;0,\!1)=1,\!1\cdot\ln1,\!1-0,\!1.@i Použijeme-li kalkulačku, můžeme spočítat, že @iR_1(1,\!1)\doteq0,\!0048.@i

Užitečná poznámka: Povšimněme si, že jsme ve skutečnosti spočetli, že @i\,1{,}1\cdot\ln1{,}1\approx 0{,}1@i. Z toho, že chyba aproximace je kladná, můžeme usoudit, že diferenciál podhodnocuje hodnotu diference, tj. @i\,1{,}1\cdot\ln1{,}1> 0{,}1@i. 


2. Spočtěte diferenci a diferenciál funkce @if(x)=\cos\big(x+\frac{\pi}{2}\big)@i v bodě @ix_0=0@i pro  @i\Delta x=0,\!1@i a @i\Delta x=0,\!01.@i 

Pojďme si nejprve spočítat diferenci pro obě volby @i\Delta x:@i

@i\Delta f(0;0,\!1)=\cos\big(0,\!1+\frac{\pi}{2}\big)-\cos\frac{\pi}{2}=\cos\big(0,\!1+\frac{\pi}{2}\big),@i

@i\Delta f(0;0,\!01)=\cos\big(0,\!01+\frac{\pi}{2}\big)-\cos\frac{\pi}{2}=\cos\big(0,\!01+\frac{\pi}{2}\big).@i

Ke spočtení diferenciálu je třeba znát derivaci @if'(0)@i: @b\ f'(x)=-\sin\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big)@b a @if'(0)=-1.@i

Potom pro @i\Delta x=0,\!1@i je

@b{\rm d}f(0;0,\!1)=-1\cdot0,\!1=-0,\!1@b

a pro   @i\Delta x=0,\!01@i

@b{\rm d}f(0;0,\!01)=-1\cdot0,\!01=-0,\!01.@b

Užitečná poznámka: Povšimněte si, že spočtení diference je vždy tak trochu nová úloha, bez kalkulačky ji neumíme vyčíslit. Zatímco diferenciál pro různá @i\Delta x\,@i  @b\,{\rm d}f(0;\Delta x)=-1\cdot\Delta x@b závisí pouze na tom, jak moc se vzdálíme s bodem @ix@i od bodu @ix_0@i. V pevně zvoleném bodě @ix_0@i je lineární funkcí @i\Delta x@i. Právě v tom spočívá výhoda aproximace diference diferenciálem.


3. Spočtěte obecný diferenciál funkce @if(x)=3\sin(2x+\pi)+2@i v bodě @ix_0=-\frac{\pi}{8}.@i

Spočteme derivaci zadané funkce @if@i:

@bf'(x)=6\cos(2x+\pi).@b

Vyčíslíme ji v bodě @ix_0=-\frac \pi 8@i, tj. @if'(-\frac{\pi}{8})=-3\sqrt2@i. Diferenciál dané funkce v bodě @ix_0=-\frac{\pi}{8}@i je tedy

@b{\rm d} f\Big(-\frac{\pi}{8};\Delta x\Big)=-3\sqrt2\cdot\Delta x.@b


4. Pomocí diferenciálu funkce @if(x)=\sin(3x)\cdot\cos(3x)@i v bodě @ix_0=0@i aproximujte funkční hodnoty @if(0,\!05)@i, @if(0,\!16)@i a @if(-0,\!025).@i

Z předchozího textu již víme, že pomocí diferenciálu v bodě @ix_0@i se dají aproximovat funkční hodnoty v bodech "rozumně blízko" bodu @ix_0@i. Vzhledem k tomu, že  hodnoty @i0,\!05,@i @i0,\!16@i a @i-0,\!025@i jsou celkem blízké nule, zdá se, že aproximace funkčních hodnot diferenciálem v bodě @ix_0=0@i je rozumná (i když oprávněnost této volby samozřejmě souvisí s požadovanou přesností na odhadovanou hodnotu). Pojďme tedy spočítat diferenciál v bodě @i0@i. Předpis funkce lze zjednodušit na tvar @if(x)=\frac{1}{2}\,\sin(6x)@i. Využili jsme vzorec @i\sin(2a)=2\cdot\sin a\cdot\cos a@i. Derivace potom je

@bf'(x)=3\cos(6x)\quad \Longrightarrow\quad f'(0)=3.@b 

A tedy diferenciál funkce @if@i v bodě @ix_0=0@i je

@b{\rm d} f\left(0;\Delta x\right)=3\Delta x.@b

Funkční hodnota @if@i v bodě @ix_0@i je @if(0)=0@i, tedy pro @ix@i blízká nule platí @bf(x)\approx 0+3\Delta x.@b.

  • Aproximace hodnoty @if(0,05):@i

    Pro @ix=0,\!05@i je @i\Delta x=0,\!05-0=0,\!05@i. Aproximace funkční hodnoty diferenciálem v bodě @i0@i je potom @bf(0,05)\approx0+3\cdot0,\!05=0,\!15.@b Kalkulačka spočítá funkční hodnotu v daném bodě jako @if(0,\!05)=\frac{1}{2}\,\sin(6\cdot0,\!05)\doteq0,\!147760@i, od námi spočtené přibližné hodnoty @i0,\!15@i se liší o méně než tři tisíciny. Tedy chyba aproximace funkční hodnoty je zhruba @i-0,\!0022.@i

  • Aproximace hodnoty @if(0,\!16):@i

    Pro @ix=0,\!16@i je@i\Delta x=0,\!16-0=0,\!16.@i Aproximace dané funkční hodnoty pomocí diferenciálu je @bf(0,\!16)\approx0+3\cdot0,16=0,48.@b Při použití kalkulačky dostáváme hodnotu @if(0,\!16)=\frac{1}{2}\,\sin(6\cdot0,\!16)\doteq0,\!409596.@i Vidíme tedy, že chyba aproximace funkční hodnoty je více než sedm setin. Zvětšující se chyba se dá předpokládat, vzdálíme-li se více od bodu @ix_0.@i 

  • Aproximace hodnoty @if(-0,\!025):@i

    Pro @ix=-0,\!025@i je @i\Delta x=-0,\!025-0=-0,\!025,@i a tudíž odhad dané funkční hodnoty je @bf(-0,\!025)\approx0-3\cdot0,\!025=-0,\!075.@b Na kalkulačce vypočtená hodnota @if(-0,\!025)=-\,\frac{1}{2}\,\sin(6\cdot0,\!025)\doteq-0,\!07472@i se od našeho odhadu liší o méně než tři desetitisíciny.

Pozor, častá chyba! Pokud si chcete porovnat hodnoty získané použitím diferenciálu s hodnotami vypočtenými kalkulačkou, nezapomeňte si pro goniometrické funkce přepnout z DEG (degrees = stupně) na RAD (radiány). Vzhledem k tomu, že pracujeme v  tomto kurzu s reálnými čísly, pracujeme vždy v  módu RAD!


5. Pomocí diferenciálu vhodně zvolené funkce ve vhodně zvoleném bodě aproximujte hodnotu @i\sqrt[3]{0,\!025}.@i

Dostaneme-li tento typ úlohy, je potřeba najít v zadaném číselném výrazu nějaký funkční předpis. Zde se přímo nabízí volba třetí odmocniny, tj.  @if(x)=\sqrt[3]{x}@i. Pomocí diferenciálu této funkce budeme aproximovat hodnotu @if(0,\!025).@i Nyní je potřeba vhodně zvolit bod @ix_0.@i V tomto bodě totiž musíme být schopni vyčíslit danou funkci @if@i i její derivaci. Zároveň by mělo zůstat "rozumně" blízko číslu @ix=0,\!025.@i

Užitečná poznámka: Nemělo by smysl například odhadovat hodnotu @i\sin6,\!1@i pomocí diferenciálu funkce @if(x)=\sin x@i v bodě @ix_0=6@i, neboť bychom k tomu potřebovali znát @if(x_0)=f(6)=\sin6@i, což je pro nás úloha srovnatelná s původní úlohou aproximace hodnoty @i\sin6,\!1@i. V takovém případě se nabízí volba @ix_0=2\pi\doteq6,\!28@i, která je rozumně blízko hodnotě @i6,\!1@i a zároveň jsme zde schopni vyčíslit jak funkci @if(x)=\sin x@i, tak i její derivaci. 

Vhodné by pro nás tedy bylo číslo blízké @i0,\!025,@i které je zároveň třetí mocninou nějakého známého základu. Nabízí se číslo @ix_0=0,\!027@i, neboť platí, že @i0,\!027=0,\!3^3@i, a tudíž @if(0,\!027)=0,\!3@i. Nyní už můžeme určit diferenciál v bodě @ix_0=0,\!027:@i

@b{\rm d}f(0,\!027;\Delta x)=f'(0,\!027)\cdot\Delta x=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{0,\!027^2}}\cdot\Delta x=\frac{100}{27}\cdot\Delta x@b

Spočtěme @i\Delta x=0,\!025-0,\!027=-0,\!002@i. Aproximace dané hodnoty je

@b\sqrt[3]{0,\!025}\approx\sqrt[3]{0,\!027}+\frac{100}{27}\cdot(-0,\!002)\doteq0,\!292593.@b

Užitečná poznámka: Poznamenejme ještě, že zdánlivě jednodušší volba @i x_0=0@i k cíli nevede, protože funkce @if(x)=\sqrt[3]{x}@i v tomto bodě nemá vlastní derivaci.

Neřešené příklady


  1. Spočtěte diferenci a diferenciál funkce @if(x)=2-\sqrt{2x-1}@i v bodě @ix_0=1@i pro @i\Delta x=0,\!1@i a @i\Delta x=-0,\!4.@i Pro druhou volbu @i\Delta x@i načrtněte chybu aproximace diference diferenciálem.

  2. Uvažujme funkci @if(x)={\rm arctg}\,x^2+\frac{\pi}{2}x@i. Pomocí diferenciálu této funkce v bodě @ix_0=0@i odhadněte diferenci @i\Delta f(x_0,\Delta x)@i pro @i\Delta x=-0,\!4@i a pro @i\Delta x=0,\!2.@i

  3. Uvažujme funkci @if(x)={\rm e}^{3-x}@i. Pomocí diferenciálu této funkce v bodě @ix_0=3@i odhadněte rozdíl @if(2)-f(3).@i

  4. Pomocí diferenciálu vhodně zvolené funkce ve vhodně zvoleném bodě odhadněte hodnotu @i\dfrac{1}{1,\!89}@i.

  5. Pomocí diferenciálu vhodně zvolené funkce ve vhodně zvoleném bodě odhadněte hodnotu @i{\rm tg}\,0,\!11.@i

Licence CC BY SA

Last modified: Tuesday, 14 June 2022, 9:38 PM