Asymptoty ke grafu funkce
Asymptoty ke grafu funkce
Teoretické minimum
Asymptoty ke grafu funkce jsou přímky, k nimž se graf funkce přibližuje v nějakém (vlastním či nevlastním) bodě. Zhruba řečeno, má-li graf funkce nějakou asymptotu v daném bodě, dá se chování dané funkce na okolí tohoto bodu přibližně popsat chováním asymptoty. V praxi rozlišujeme dva druhy asymptot - rovnoosé a nerovnoosé. Nerovnoosé popisují chování v nevlastních bodech @i\pm\infty@i. Rovnoosé jsou buď horizontální (vodorovné), ty opět popisují chování grafu v nevlastních bodech, nebo vertikální (svislé), ty popisují chování grafu na okolí vlastního bodu. Na závěr tohoto úvodu ještě dodejme, že graf funkce nemusí mít žádné asymptoty.
Rovnoosé asymptoty
Rovnoosé asymptoty jsou asymptoty rovnoběžné s osami souřadnic @ix@i a @iy@i. Rozdělujeme je na asymptoty horizontální (vodorovné), tj. asymptoty rovnoběžné s osou @ix,@i a vertikální (svislé), které jsou rovnoběžné s osou @iy.@i
1. Horizontální asymptoty
Pokud definiční obor funkce není zdola omezen (tj. pokud má smysl určovat limitu funkce @if@i v mínus nekonečnu) a pokud platí, že @b\lim_{x\to-\infty}f(x)=a\in\mathbb{R},@b tedy, že limita v mínus nekonečnu je konečná, pak přímka daná rovnicí @iy=a@i je horizontální asymptotou grafu funkce @if@i v @i-\infty@i.
Obdobně, pokud nebude definiční obor funkce @if@i shora omezený a limita @b\lim_{x\to\infty}f(x)=b\in\mathbb{R},@b potom přímka daná rovnicí @iy=b@i je horizontální asymptotou grafu funkce @if@i v @i+\infty@i.
Z toho je vidět, že graf funkce může mít nejvýše dvě horizontální asymptoty.
2. Vertikální asymptoty
Svislé asymptoty určujeme v ostatních krajních bodech definičního oboru. Pokud je v takovém bodě @ia\in\mathbb{R}@i alespoň jedna jednostranná limita nekonečná (samozřejmě limitu určujeme, pouze pokud to dává smysl), pak má funkce vertikální asymptotu s rovnicí @ix=a@i.
Uvažujme například funkci, jejíž definiční obor je @i\mathcal{D}(f)=(-\infty,-3)\cup(-3,5)@i a která je na svém definičním oboru spojitá, s cílem určit rovnoosé asymptoty bychom počítali limity @i\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) , \: \lim\limits_{x\to-3 - }f(x) , \: \lim\limits_{x\to-3 + } f(x) , \: \lim\limits_{x\to 5 - } f(x).@i
Poznámka: Rovnoosé asymptoty tedy vyčteme přímo z limit. Vlastní limita v nevlastním bodě znamená vodorovnou asymptotu, naopak nevlastní limita ve vlastním bodě asymptotu svislou.
Nerovnoosé asymptoty
Pokud se chování funkce v plus nebo mínus nekonečnu podobá průběhu přímky, která není rovnoběžná s osou @ix@i, říkáme, že @if@i má v plus (respektive mínus) nekonečnu nerovnoosou asymptotu (obecnou asymptotu se směrnicí). Je-li taková přímka určena rovnicí @iy=kx+q,@i požadujeme, aby @i \lim\limits_{x\to\pm\infty} ]\bigl( f(x) - (kx+q) \bigr)=0@i
Koeficienty @ik@i a @iq@i lze spočítat jako následující limity:
@b\begin{array}{lll}k&=&\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x};\\ q&=&\lim\limits_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-kx\bigr),\end{array}@b
pokud jsou obě tyto limity konečné!
Užitečná poznámka: Má-li funkce @if@i v (např.) nekonečnu horizontální asymptotu, již nemá smysl zkoumat, zda neexistuje nějaká nerovnoosá asymptota. Její směrnice bude totiž nulová a bude tedy odpovídat zjištěné horizontální asymptotě. Není možné mít v jednom bodě více než jednu asymptotu!
Na obrázku můžeme vidět graf funkce, který má vertikální asymptoty s rovnicemi @ix=-1@i a @ix=1@i, dále horizontální asymptotu @iy=0,5@i v nekonečnu a nerovnoosou asymptotu @iy=-0,25x@i v mínus nekonečnu.
Související
Řešené příklady
1. Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce @if(x)={\rm arctg}\frac{x^2}{x+1}+1.@i
Definiční obor funkce @if@i je @i\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.@i Vzhledem k tomu, že definiční obor není ani shora ani zdola omezený, můžeme hledat horizontální asymptotu v @i-\infty@i a v @i\infty.@i Vertikální asymptotu budeme hledat v bodě @ix=-1,@i @if@i je na svém definičním oboru spojitá, a proto jinde vertikální asymptotu mít nemůže.
- Začneme s vertikální asymptotou. Vypočteme jednostranné derivace v bodě @ix=-1.@i Pokud alespoň jedna z nich bude nevlastní, má funkce v tomto bodě vertikální asymptotu. Jednostranné limity jsou následující:
@b\lim_{x\to-1^-}{\rm arctg}\frac{x^2}{x+1}+1="{\rm arctg}\frac{1}{0^-}+1"=-\frac{\pi}{2}+1,@b
@b\lim_{x\to-1^+}{\rm arctg}\frac{x^2}{x+1}+1="{\rm arctg}\frac{1}{0^+}+1"=\frac{\pi}{2}+1.@b
Vzhledem k tomu, že obě limity jsou konečné a všude jinde je funkce @if@i spojitá, je zřejmé, že funkce vertikální asymptoty nemá.
- Co se týče asymptot v nevlastních bodech, začněme nerovnoosými asymptotami. Pokud totiž budou existovat, nemá smysl diskutovat horizontální asymptoty. Musíme tedy spočítat limity
@b\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{{\rm arctg}\frac{x^2}{x+1}+1}{x}@b
a
@b\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{{\rm arctg}\frac{x^2}{x+1}+1}{x}.@b
Vzhledem k tomu, že oba čitatele jsou omezené a jmenovatel konverguje k @i\pm\infty@i, jsou obě limity rovny nule, tedy směrnice nerovnoosé asymptoty je nulová a případné nerovnoosé asymptoty přechází v asymptoty horizontální. Nyní je už jen třeba vyzkoumat @b\lim_{x\to-\infty}f(x)\quad\mbox{a}\quad\lim_{x\to\infty}f(x).@b
@b\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}{\rm arctg}\frac{x^2}{x+1}+1=-\frac{\pi}{2}+1\qquad\qquad\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}{\rm arctg}\frac{x^2}{x+1}+1=+\frac{\pi}{2}+1@b
Celkově: Funkce má v @i-\infty@i horizontální asymptotu @iy=-\frac{\pi}{2}+1@i, a v @i+\infty@i horizontální asymptotu @iy=\frac{\pi}{2}+1.@i
2. Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce @if(x)=\frac{\sqrt{x}-9}{3-\sqrt{x}}@i
Definiční obor funkce @if@i je @i\mathcal{D}(f)=[0,9)\cup(9,\infty).@i To znamená, že budeme hledat vertikální asymptotu v bodě @i9@i. Pozor, v bodě @ix=0@i nemá smysl zkoumat asymptotu, neboť @if@i je v tomto bodě dobře definovaná a zprava spojitá! Horizontální, popř. nerovnoosou asymptotu budeme hledat v @i\infty@i.
- Začněme tedy opět s vertikální asymptotou:
@b\lim_{x\to 9^-}\frac{\sqrt{x}-9}{3-\sqrt{x}}="\frac{-6}{0^+}"=-\infty.@b
To samo už dostačuje, abychom mohli přímku @ix=9@i označit za vertikální asymptotu ke grafu funkce @if@i. Není tedy třeba zkoumat limitu zprava v bodě @i9.@i
- Pojďme se podívat, zda nemá funkce @if@i horizontální asymptotu v nekonečnu. Pokud bude tuto asymptotu mít, není již třeba zkoumat nerovnoosou asymptotu v nekonečnu
@b\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}-9}{3-\sqrt{x}}=-1.@b
Tuto limitu můžeme spočítat například pomocí L'Hospitalova pravidla (jedná se o podíl typu @i\frac{\infty}{\infty}@i). Jak vidíme, limita je konečná a tudíž má graf funkce v @i + \infty@i horizontální asymptotu s rovnicí @iy=-1.@i
3. Rozhodněte, zda má funkce @if(x)=2x\cdot{\rm arctg}x+1@i nerovnoosou asymptotu v @i\infty@i.
Na to, aby mohly vůbec nějaké nerovnoosé asymptoty existovat, je třeba, aby byl definiční obor funkce @if@i neomezený shora. Pojďme si ho určit: @i\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}@i. Nerovnoosou asymptotu tedy má smysl zkoumat v @i\infty@i. Potřebujeme spočítat limitu
@bk=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x\cdot{\rm arctg}x+1}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x\cdot{\rm arctg}x}{x}+\frac{1}{x}=2\cdot\frac{\pi}{2}+0=\pi@b Limita tedy existuje a je konečná. K zjištění koeficientu @iq@i je třeba, aby limita @i\lim_{x\to\infty}f(x)- k\cdot x@i existovala a byla také konečná:
@bq=\lim_{x\to\infty}f(x)-k\cdot x=\lim_{x\to\infty}2x\cdot{\rm arctg}x+1-\pi\cdot x=\lim_{x\to\infty}x\cdot(2\cdot{\rm arctg}x-\pi)+1@b
Zaměřme se na limitu @i\lim_{x\to\infty}x\cdot(2\cdot{\rm arctg}x-\pi).@i Tato limita je pro @ix@i jdoucí do nekonečna typu "@i\infty\cdot0@i." Z kapitoly o L'Hospitalově pravidle už víme, že taková limita lze převést na typ "@i\frac{0}{0}@i" nebo @i\frac{\infty}{\infty}@i" a pak často pomůže použít L'Hospitalovo pravidlo:
@b\lim_{x\to\infty}x\cdot(2\cdot{\rm arctg}x-\pi)=\lim_{x\to\infty}\frac{2\cdot{\rm arctg}x-\pi}{\frac{1}{x}}="\frac{0}{0}"\stackrel{L'H}{=}\lim_{x\to\infty}\frac{2\cdot\frac{1}{1+x^2}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{-2x^2}{1+x^2}.@b
Tuto limitu umíme řešit pomocí L'Hospitalova pravidla, ale také úvahově. Jedná se o limitu podílu dvou polynomů v nevlastním bodě. Stupeň polynomu v čitateli i jmenovateli je stejný, výsledek tedy bude podíl koeficientů u nejvyšších mocnin. Celkem dostáváme
@b\lim_{x\to\infty}x\cdot(2\cdot{\rm arctg}x-\pi)=\dots=\frac{-2}{1}=-2@b
a konstanta @iq@i je tedy rovna
@bq=-2+1=-1.@b
Tato limita je konečná a proto nerovnoosá asymptota @i + \infty@i existuje a její předpis je
@by=\pi\cdot x-1.@b
4. Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce @if(x)= \sqrt{x}\cdot \ln x @i
Definiční obor funkce @if@i je @i\mathcal{D}(f)= (0,\infty) @i. Funkce je spojitá na svém definičním oboru, má smysl hledat svislou asymptotu v bodě @i x=0 @i a nerovnoosou či vodorovnou asymptotu v @i + \infty.@i S použitím L'Hospitalova pravidla máme @b\lim_{x\to 0+} \sqrt{x} \ln x = \lim_{x\to 0+} \dfrac{ \ln x }{ \frac{1}{\sqrt{x}}}= \lim_{x\to 0+} \dfrac{ \frac{1}{x} }{ -\frac{1}{2}x^{- 3/2}} =\lim_{x\to 0+} -2 x^{1/2} = 0 @b
Svislou asymptotu tedy graf funkce nemá, zbývá vyšetřit existenci asymptoty v @i + \infty@i. @b k =\lim_{x\to\infty} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x\to \infty}\frac{ \sqrt{x} \ln x }{x} = \lim_{x\to \infty}\frac{ \ln x }{ \sqrt{x} } = \lim_{x\to \infty}\frac{ \frac{1} {x} }{\frac{1} {2 \sqrt{x}} } = \lim_{x\to \infty}\frac{ 2 }{ \sqrt{x} } = 0 @b
kde jsme opět využili L'Hospitalovo pravidlo. Jsme tedy v naději na vodorovnou asymptotu, ovšem @b \lim_{x\to\infty} f (x)-kx = \lim_{x\to \infty}{ \sqrt{x} \ln x } = "\infty\cdot\infty"= \infty @b
Graf funkce nemá žádnou asymptotu.
Neřešené příklady
- Určete všechny asymptoty ke grafu funkce @if(x)=\frac{x-4}{1-x}@i
- Určete všechny asymptoty ke grafu funkce @if(x)=\frac{x-3}{{\rm e}^x}@i
- Určete všechny asymptoty ke grafu funkce @if(x)=\frac{{\rm e}^x}{x-7}+3@i
- Určete všechny asymptoty ke grafu funkce @if(x)=\frac{9+x^3}{9-x^2}@i
- Určete všechny asymptoty ke grafu funkce @if(x)=x^2\cdot{\rm e}^x@i
