Neekvivalentní úpravy

Teoretické minimum

Postup řešení rovnic s neznámou pod odmocninou (tzv. iracionálních rovnic) je založen na odstranění odmocnin z rovnice pomocí umocnění obou stran rovnice. Rozlišujeme dva typy úloh:

  • Jestliže rovnice obsahuje jedinou odmocninu s neznámou, pak ji osamostatníme na jednu stranu rovnice a poté rovnici umocníme.
  • Jestliže rovnice obsahuje dvě a více odmocnin s neznámou, pak jednu (případně dvě odmocniny) ponecháme na jedné straně rovnice, všechny ostatní členy převedeme na druhou stranu rovnice a rovnici tak dlouho umocňujeme, až všechny odmocniny odstraníme.
Při řešení iracionálních rovnic nikdy nesmíme zapomenout provést zkoušku, jestliže používáme neekvivalentní úpravy!

Související

Mnohočlenynerovnice v součinově-podílovém tvaru.


Řešené příklady

  • Řešme v reálném oboru rovnici @i4+2\sqrt {x-5}=x-1@i.
  • @i 4+2\sqrt {x-5} @i@i = @i@i x-1\,\, /-4 @i
    @i 2\sqrt{x-5} @i@i = @i@i x-5 \,\, /^2 @i
    @i 4(x-5) @i@i = @i@i (x-5)^2\,\, /-4(x-5)@i
    @i 0 @i@i = @i@i (x-5)(x-5-4)@i
    @i 0 @i@i = @i@i (x-5)(x-9) \, \Rightarrow \, x_1=5, x_2=9 @i

    Zkouška: @i\begin{array}[t]{lll} L(5)=4+2\sqrt{5-5}=4 & \qquad & L(9)=4+2\sqrt{9-5}=8 \\ P(5)=5-1=4  & \qquad & P(9)=9-1=8\\ L(5)=P(5) & \qquad & L(9)=P(9) \end{array}@i

    Daná rovnice má dva reálné kořeny, @iK=\{5, 9\}@i.


    Velmi častá chyba, se kterou se potýká řada studentů, je chybné umocnění případného součtu/rozdílu na druhé straně rovnice. Nesmíme zapomínat používat vztahy pro @i(a\pm b)^2@i!

  • Řešme v reálném oboru rovnici @i\sqrt {1+x\sqrt x}=x-1@i.

  • @i \sqrt {1+x\sqrt x}@i@i=@i@ix-1\,\, /^2@i
    @i 1+x\sqrt x@i@i=@i@ix^2-2x+1\,\, /-1@i
    @i x\sqrt x@i@i=@i@ix(x-2) @i
    V tuto chvíli rovnici vydělíme @ix@i, ovšem musíme si uvědomit, že @ix_1=0@i je jedním z kořenů dané rovnice. Na to nesmíme zapomenout! Dále už můžeme počítat za předpokladu @ix\neq 0@i:
    @i x\sqrt x @i@i=@i@ix(x-2)\,\, /:x@i
    @i \sqrt x@i@i=@i@ix-2\,\, /^2@i
    @i x @i@i = @i@i x^2-4x+4\,\,/-x@i
    @i 0 @i@i = @i@i x^2-5x+4. @i
    Kořeny této kvadratické rovnice jsou čísla @ix_2=1@i a @ix_3=4@i (ověřte podrobně sami!).

    Zk.: @i\begin{array}[t]{lllll} L(0)=\sqrt{1+0}=1 & \qquad & L(1)=\sqrt{1+1}=\sqrt 2 & \qquad & L(4)=\sqrt{1+4\sqrt 4}=3\\ P(0)=0-1=-1 & \qquad & P(1)=1-1=0 & \qquad & P(4)=4-1=3\\ L(0)\neq P(0) & \qquad & L(1) \neq P(1) & \qquad & L(4)=P(4) \end{array}@i

    Daná rovnice má jediné reálné řešení, @iK=\{4\}@i.


  • Řešme v reálném oboru rovnici @i\sqrt {x+2}=2\sqrt{x+7}-4@i.

  • @i \sqrt {x+2}@i@i=@i@i2\sqrt{x+7}-4\,\, /^2@i
    @i x+2 @i@i = @i@i 4(x+7)-16\sqrt{x+7}+16\,\, /+16\sqrt{x+7}-x-2@i
    @i 16\sqrt{x+7} @i@i = @i@i 3x+42\,\, /^2@i
    @i 256(x+7) @i@i = @i@i 9x^2+252x+1764\,\, /-256x-1792@i
    @i 0 @i@i = @i@i 9x^2-4x-28@i
    @i x_{1,2} @i@i = @i@i \frac {4\pm \sqrt{16+4\cdot 9\cdot 28}}{18}=\frac {4\pm 32}{18} @i
    @i x_1 @i@i = @i@i 2 @i
    @i x_2 @i@i = @i@i -\frac {14}9 @i

    Zk.: @i\begin{array}[t]{lll} L(2)=\sqrt{2+2}=2 & \qquad & L(-\frac {14}9)=\sqrt{-\frac {14}9+2}=\frac 23 \\ P(2)=2\sqrt{2+7}-4=2 & \qquad & P(-\frac {14}9)=2\sqrt{-\frac {14}9+7}-4=\frac 23 \\ L(2)= P(2) & \qquad & L(-\frac {14}9) = P(-\frac {14}9) \end{array}@i

    Daná rovnice má dva reálné kořeny, @iK=\left\{2,-\frac {14}9\right\}@i.


  • Řešme v reálném oboru rovnici @i\sqrt[3] {x^3+3}=x+1@i.

  • Pro odstranění třetí odmocniny je nutné rovnici umocnit na třetí. Při této příležitosti si musíme připomenout, že platí

    @i (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3. @i

    Nyní již postupujeme analogicky jako v předchozích úlohách:
    @i \sqrt[3] {x^3+3}@i@i=@i@ix+1\,\, /^3@i
    @i x^3+3@i@i=@i@i(x+1)^3@i
    @i x^3+3@i@i=@i@ix^3+3x^2+3x+1\,\, /-x^3-3@i
    @i 0@i@i=@i@i3x^2+3x-2. @i

    Kvadratickou rovnici vyřešíme pomocí dikriminantu:

    @i x_{1,2} = \frac {-3\pm \sqrt{9+4\cdot 3\cdot 2}}{6}= \begin{array}{ll} \nearrow & x_1=\frac {-3+\sqrt{33}}{6} \\ \searrow & x_2=\frac {-3-\sqrt{33}}{6} \end{array} @i

    Při provedení zkoušky zjistíme, že kořen @ix_2@i původní rovnici vyhovuje, a tedy

    @iK=\left\{\frac {-3+\sqrt{33}}{6}\right\}.@i


    Neřešené příklady

    1. Řešte v reálném oboru rovnici @i\sqrt {x^2-20}+x-10=0@i.
    2. Řešte v reálném oboru rovnici @i x-\sqrt x=\sqrt{x\sqrt x -x}@i.
    3. Řešte v reálném oboru rovnici @i\sqrt{x+3}+\sqrt{3-x}=\sqrt{10}@i.
    4. Řešte v reálném oboru rovnici @i1+\sqrt[3]{x^3+8}=3+x@i.
    Last modified: Saturday, 21 March 2020, 11:16 AM