Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice

Teoretické minimum

Exponenciální funkce je každá funkce daná předpisem @b f(x)=a^{x},\quad  a>0\  \wedge  \ a\neq1.@b Číslo @i\,a\,@i se nazývá základ exponenciální funkce. Je  pevně dané a je buď větší než @i 1@i nebo @i\,a\in(0,1)@i. Výraz @i\,a^x\,@i má vždy smysl. Definičním oborem exponenciální funkce jsou všechna reálná čísla, tj. @b\mathcal D(f)=\mathbb R.@b 

Užitečná poznámka: Zdůrazněme rozdíl mezi exponenciální funkcí @i\,f(x)=a^x\,@i (např. @i\,f(x)=2^x\,@i), kdy proměnnou je exponent @i\,x\,@i a základ @i\,a\,@i se nemění, a naopak obecnou mocninou  @i\,f(x)=x^a\,@i (např. @i\,f(x)=x^2\,@i), kdy je proměnný základ @i\,x\,@i   a nemění se exponent @i\,a@i

Připomeňte si dvě základní pravidla pro počítání s exponenciálními funkcemi: @b\quad a^{x+y}=a^x\cdot a^y@b @b\left(a^x\right)^y=a^{x\cdot y}@b

Grafem exponenciální funkce je exponenciální křivka, viz následující obrázek:

kde @i\, a>1@i. Pokud @i\,a>1@i, pak  @i\,0<\dfrac 1a<1\,@i a platí @b\left(\dfrac 1a\right)^x=\left(a^{-1}\right)^x=a^{-x}.@b  Což ukazuje (viz graf funkce), že grafy exponenciálních funkcí @i\,a^x\,@i a @i\,\left(\dfrac 1a\right)^x\,@i jsou vzájemně symetrické podle osy @i\,y@i, viz následující dva obrázky:

Z obrázků vidíme, že exponenciální křivky leží nad osou @i\,x@i, tedy obor hodnot exponenciální funkce jsou kladná čísla, tj. @b\mathcal H(f)=(0,\infty).@b 

Obor hodnot exponenciální funkce říká, že pro všechna reálná @i\,x\,@i je @b a^x>0.@b

Užitečná poznámka: Exponenciální funkce @i\,f(x)=a^x@i, kde  @i\,a>1\,@i je rostoucí ( graf směřuje " z levého dolního rohu do pravého horního rohu"). Je-li @i\,a\in(0,1)@i, je exponenciální funkce @i\,f(x)=a^x\,@i klesající ( graf směřuje " z pravého horního rohu do levého dolního rohu").

Exponenciální funkce @i\,f(x)=\mathrm{e}^x\,@i má za základ konstantu @i\,\mathrm{e}@i, tj. Eulerovo číslo. Eulerovo číslo je iracionální číslo. Jeho přibližná hodnota je @i 2,718@i.

Při řešení exponenciálních rovnic využijeme důležitou vlastnost exponenciální funkce. Pro @i\, a>0\  \wedge  \ a\neq1\,@i platí @ba^x=a^y\quad \Longrightarrow\quad x=y.@b Vlastnosti říkáme, že exponenciální funkce je prostá.

Při řešení exponenciálních nerovnic využijeme jinou vlastnost exponenciální funkce. Pro @i\, a>1\,@i platí @ba^x>a^y\quad \Longrightarrow\quad x>y.@b Vlastnosti říkáme, že exponenciální funkce o základu větším než @i\,1\,@i je rostoucí. Pro @i\, a\in(0,1)\,@i platí @ba^x>a^y\quad \Longrightarrow\quad x<y.@b Vlastnosti říkáme, že exponenciální funkce o kladném základu menším než @i\,1\,@i je klesající.

Užitečná poznámka: Exponenciálu o základu menším než jedna můžeme vždy převést na exponenciálu o základu větším než jedna. Pro @i\,a\in(0,1)\,@i provedeme následující ekvivalentní úpravy. Nechť @b \begin{array}{r c l} a^x &>& a^y\\[2mm]a^{-(-x)}&>&a^{-(-y)}\\[2mm]\left(\dfrac 1a\right)^{-x}&>& \left(\dfrac 1a\right)^{-y}\end{array}@b Je-li @i\,a\in(0,1)@i, pak @i\,a^{-1}=\frac 1a>1@i. Základ exponciály je větší než jedna, proto @b\begin{array}{rcl} -x&>& -y /\cdot(-1)\\[2mm] x &<& y.\end{array}@b

Související

Mocniny a odmocniny, rovnice v součinově-podílovém tvaru, nerovnice v součinově-podílovém tvaru,definiční obor funkce.


Řešené příklady

  1. Řešte rovnici @i\ 5^{x+1}-5^{x-1} = 120\,@i v množině reálných čísel.
  2. Rovnici upravíme pomocí  ekvivalentních úprav a vytýkání tak, abychom osamostatnili exponenciálu. @b \begin{array}{r c l} 5^{x+1}-5^{x-1} & = & 120 \\[2mm] 5^x\cdot 5^1-5^x\cdot 5^{-1} & = & 120 \\[2mm] 5^x(5-5^{-1}) & = & 120 \\[2mm] 5^x\left(5-\dfrac 15\right)&=&120\\[2mm] 5^{x}\dfrac{25-1}5 & = & 120 \\[2mm] 5^{x} & = & 120\cdot\dfrac {5}{24} \\[2mm] 5^{x} & = & 5^2 \end{array}@b Funkce @i\, f(x)=5^{x}@i je prostá, proto @b x = 2. @b Rovnice má jediné řešení @i\, K=\{2\}@i.

  3. Řešte rovnici @i\ 4^x+3 \cdot 2^{x-1}=1\, @i v mnižině reálných čísel.
  4. Rovnici upravíme pomocí ekvivalentních uprav na kvadratickou rovnici s neznámou @i\,2^x@i.
    @b \begin{array}{r c l} 4^x+3 \cdot 2^{x-1}& = & 1 \\[2mm] \left(2^{2}\right)^x+3 \cdot 2^x\cdot 2^{-1} & = & 1\\[2mm]\ 2^{2x}+\dfrac{3\cdot 2^x}2&=&1 /\cdot 2\\[2mm]\ 2\cdot (2^x)^2+3 \cdot 2^{x}& = & 2\\[2mm] 2\cdot (2^x)^2+3 \cdot 2^{x}-2& = & 0 \end{array}@bV rovnici použijeme substituci @i\, 2^x=z @i. Pro novou proměnnou @i\, z\,@i dostáváme kvadratickou rovnici @i\ 2 z^2+3 z -2 =  0\ @i s kořeny @i\, z_{1} = -2\, @i a @i\, z_2 =\dfrac{1}{2}\,@i (ověřte). Po vrácení se k původní proměnné @i\,x\,@i máme dvě rovnice @b 2^x = -2\quad \vee\quad 2^x = \dfrac{1}{2}.@b První rovnice nemá řešení, protože exponenciála je vždy kladná. Z druhé dostáváme @b \begin{array}{r c l} 2^x & = & \dfrac12 \\[2mm] 2^x & = & 2^{-1} \\[2mm] x & = & {-1} . \end{array}@b Rovnice má jediné řešení @i\,K=\{-1\}@i.

  5. Řešte rovnici @i\ 10^{x} + 100 =   10\, @i v množině reálných čísel.
  6. Snadnou úpravou  dostáváme @b \begin{array}{r c l} 10^{x} + 100 & = & 10 \\[2mm] 10^{x} & = & -90 , \end{array}@b ale exponenciála je vždy kladná, daná rovnice tedy nemá řešení, tj. @i\,K=\{\emptyset\}@i.
    Pozor, častá chyba:
      Součet exponenciál se nerovná exponenciále součtu! @b 10^x + 10^2 \neq 10^{x+2}.@b

  7. Řešte nerovnici @i\ \dfrac{1}{16} > 0.25^{x-1}\, @i v množině reálných čísel.
  8. Nerovnici upravíme pomocí  ekvivalentních úprav  tak, abychom osamostatnili exponenciálu
    . @b \begin{array}{r c l} \dfrac{1}{16}&> & 0.25^{x-1} \\[2mm] \dfrac{1}{4^2}&> & \Bigl( \dfrac14 \Bigr)^{x-1} \\[2mm] \Bigl( \dfrac14 \Bigr)^{2}&> & \Bigl( \dfrac14 \Bigr)^{x-1}\end{array}@b Funkce @i\,f(x)= \Bigl( \dfrac14 \Bigr)^{x} @i je klesající (základ je menší než jedna), proto při odstraňování exponenciály musíme otočit znaménko nerovnosti @b\begin{array}{rcl}  2&<&x-1\\[2mm] 3&<&x. \end{array}@b Tedy @b K = (3,\infty). @b

    Užitečná poznámka: Funkci @i\,f(x)= \Bigl( \dfrac14 \Bigr)^{x} @i lze zapsat jako exponciálu o základu větším než jedna, tj. @i\,f(x)=4^{-x}@i. V řešení nerovnice bychom mohli postupovat takto:  @b \begin{array}{r c l} \Bigl( \dfrac14 \Bigr)^{2}&> & \Bigl( \dfrac14 \Bigr)^{x-1}\\[2mm] 4^{-2}&>&4^{-(x-1)}\\[2mm]-2&>&-x+1\\[2mm]x&>&3.\end{array}@b Při odstraňování exponenciály neměníme známenko, neboť exponenciála o základu větším než jedna roste.

  9. Řešte nerovnici @i\ \mathrm{e}^x+\mathrm{e} <9\, @i v množině reálných čísel.
  10. Osamostatníme přirozenou exponenciálu. @b \begin{array}{r c l} \mathrm{e}^x+\mathrm{e}&< &9 \\[2mm] \mathrm{e}^x & < & 9- \mathrm{e} \end{array}@b Neboť je @i\, 9 - \mathrm{e}>0@i, můžeme na obě strany nerovnice použít funkci přirozený logaritmus. Platí @i\,\ln\mathrm{e}^x=x @i. Tedy @b\begin{array}{rcl}  x & < & \ln( 9 - \mathrm{e})  \end{array}@b Všechna řešení nerovnice leží v intervalu @b K= \bigl(-\infty,  \ln(9-\mathrm{e}) \bigr). @b

    Užitečná poznámka: Zapamatuj si, že @b\log_aa^x=x@b pro všechna reálná čísla @i\, x@i. Tento vztah využíváme k osamostatnění neznámé @i\,x\,@i u rovnic, resp. nerovnic typu @b a^x=b,\qquad {\textit resp.}\qquad a^x>b, \qquad {\textit kde }\quad b>0.@b Pokud je v rovnici @i\,a^x=b\,@i konstanta @i\,b\leq0@i, nemá rovnice řešení. Pokud je v nerovnici @i\,a^x>b\, @i konstanta @i\,b\leq0@i, řešením je každé reálné číslo @i\,x@i.

  11. Určete přirozený definiční obor funkce @i\ f(x) = \sqrt{ x(5\mathrm{e}^x-1)}.@i
  12. Funkce je definována pro @i\,x\in\mathbb{R}\,@i splňující podmínku @i\, x(5\mathrm{e}^x-1)\geq0 .@i Nerovnice je v součinovém tvaru. Nejprve najdeme nulové body. Jeden je @i\,x=0@i, druhý je kořenem rovnice @b \begin{array}{r c l} 5\mathrm{e}^x-1 &= & 0 \\[2mm] 5\mathrm{e}^x &= & 1 \\[2mm] \mathrm{e}^x &= & \frac15 \\[2mm] x &= & \ln (\frac15) = -\ln 5 \end{array}@b Nulové body jsou  @i\, x_1=0\,@i a @i\, x_2 = -\ln5<0\,@i rozdělí reálnou osu na tři intervaly, pro které platí @b \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \mathbb{R}&& (-\infty,-\ln5 )&-\ln5& (-\ln5,0)& 0 &\Bigl(0,\infty\Bigr)\\ \hline x && - & - & - & 0 & + \\ \hline 5 \mathrm{e}^x -1 && -& 0 &+ & + & +\\ \hline x(5\mathrm{e}^x-1) && \boldsymbol{+}& \bf{0}&{\bf -} &{\bf 0} & {\bf +}\\ \hline \end{array} @b Z tabulky vyčteme, že nerovnici splňují všechny @i\,x\in(-\infty, -\ln5\rangle\cup \langle 0,+\infty)@i, tj. @b\mathcal D(f) = (-\infty, -\ln5\rangle\cup \langle 0,+\infty). @b

  13. Graficky řešte nerovnici @i\, 2x+3\leq 4-\mathrm{e}^x@i.
  14. Nerovnici můžeme upravit tak, abychom na levé straně měli přirozenou exponenciálu a na pravé straně lineární funkci. @b\begin{array}{rcl} 2x+3&\leq&4-\mathrm{e}^x\\[2mm] \mathrm{e}^x&\leq&1-2x\end{array}@b Označme funkci na levé straně rovnice písmenkem @i\,f@i, tj. @i\, f(x)= \mathrm{e}^x\,@i  a funkci na pravé straně písmenkem @i\,g@i, tj.  @i\,g(x)=1-2x @i. Do jednoho obrázku zakreslíme graf funkce @i\,f\,@i a graf funkce @i\,g@i. Grafem funkce @i\,f\,@i je exponenciální křivka procházející bodem @i\,(0,1)@i. Grafem funkce @i\,g\,@i je přímka procházející body @i\,(\frac 12,0), \ (0,1)@i, viz obr.:

    Z obrázku je patrné, že @i\,f(x)\leq g(x)\,@i pro všechna @i\,x\in(-\infty,0\rangle@i. Tedy řešením nerovnice je interval @i\,K=(-\infty,0\rangle@i.

Neřešené příklady

  1. Určete definiční obor funkce @i f(x) = \sqrt{ 3 - 9^x }.@i 
  2. Řešte rovnici @i \dfrac{2}{\mathrm{e}^x}=4 .@i
  3. Řešte rovnici @i 3(2^{x+1}-2^x) = 2 \cdot 3^x + 2^x. @i
  4. Řešte nerovnici @i 100\cdot(0,1)^{x} > 3 \sqrt{10}. @i
  5. Řešte nerovnici @i x(1-2^x)(3^x-2)\leq 0. @i
  6. Řešte nerovnici @i \dfrac{\bigl(\frac12\bigr)^{x+1}}{x} \leq \dfrac1x. @i
Last modified: Wednesday, 27 February 2019, 5:40 PM