Algebraický tvar komplexního čísla

Teoretické minimum

Komplexní čísla zavádíme jako uspořádané dvojice @i\,(a,b)\,@i reálných čísel @i\,a, b@i. Množinu komplexních čísel značíme @b\mathbb{C}= \{z=(a,b); \, a,b \in \mathbb{R}\}.@b
Číslo @i\,a\,@i se nazývá reálná část komplexního čísla @i\,z@i (zapisujeme @i\,a={\rm Re}(z)@i).
Číslo @i\,b\,@i se nazývá imaginární část komplexního čísla @i\,z@i (zapisujeme @ib={\rm Im}(z)@i).

Podobně jako reálná čísla můžeme komplexní čísla sčítat, odčítat, násobit a dělit. Pro zavedení těchto operací je výhodné psát komplexní číslo @iz=(a,b)@i v algebraickém tvaru jako @b z= a + b\, {i\mkern1mu}\, ,@b

kde @i\,{i\mkern1mu}\,@i je zvláštní symbol, tzv. imaginární jednotka. Fakticky na tento zápis můžeme pohlížet tak, že symbol @i\,{i\mkern1mu}\,@i označuje, co je druhá souřadnice (imaginární část) komplexního čísla @i\,z@i, a část bez @i{i\mkern1mu}@i je první souřadnice (reálná část).

Pro libovolné komplexní číslo  @i\,z=a+b\,{i\mkern1mu}\,@i definujeme: 
opačné komplexní číslo k číslu @i\,z@i: @i-z=-a-b\,{i\mkern1mu}@i, 
komplexně sdružené číslo k číslu @i\,z@i: @i\bar{z}=a-b\,{i\mkern1mu}@i,

absolutní hodnotu komplexního čísla @i\,z@i: @i|z|=\sqrt{a^2+b^2}.@i

Užitečná poznámka: Je důležité si zapamatovat jak vypadají mocniny imaginární jednotky @i{i\mkern1mu}@i.

@b\begin{array}{rcl} {i\mkern1mu}^0 & = & 1\\ {i\mkern1mu}^1 & = & {i\mkern1mu}\\ {i\mkern1mu}^2 & = & -1 \\ {i\mkern1mu}^3 & = & {i\mkern1mu}^2\cdot {i\mkern1mu}\;=(-1)\cdot{i\mkern1mu}\;=\;-{i\mkern1mu}\\ {i\mkern1mu}^4 & = & {i\mkern1mu}^2\cdot {i\mkern1mu}^2\;=\;(-1)\cdot(-1)\;=\;1\\ {i\mkern1mu}^5 & = & {i\mkern1mu}^4\cdot {i\mkern1mu}\;=\; 1\cdot {i\mkern1mu}\;=\; {i\mkern1mu}\\ \vdots & & \end{array}@b


Pro komplexní čísla @i\,z_1=a+b\,{i\mkern1mu},\ z_2=c+d\, {i\mkern1mu}\,@i definujeme

@b\begin{array}{lclcl} z_1+ z_2&=&(a+b\,{i\mkern1mu})+(c+d\,{i\mkern1mu})&=&(a+c)+ (b+d)\,{i\mkern1mu}\,,\\[2mm] z_1- z_2&=&(a+b\,{i\mkern1mu})-(c+d\,{i\mkern1mu})&=&(a-c)+ (b-d)\,{i\mkern1mu}\,,\\[2mm] z_1\cdot z_2&=&(a+b\,{i\mkern1mu})\cdot(c+d\,{i\mkern1mu})&=&(a\,c-b\,d)+ (a\,d+b\,c)\,{i\mkern1mu}\,,\\[2mm] \dfrac{z_1}{z_2}&=&\dfrac{a+b\,{i\mkern1mu}}{c+d\,{i\mkern1mu}}&=&\left(\dfrac{a\,c+b\,d}{c^2+d^2}\right)+\left(\dfrac{b\,c-a\,d}{c^2+d^2}\right){i\mkern1mu}\, . \end{array}@b


Vidíme, že součet a rozdíl dvou komplexních čísel definujeme po souřadnicích. Součin a podíl dvou komplexních čísel je definován komplikovaněji.

Užitečná poznámka: Na součin můžeme pohlížet jako na násobení dvojčlenu dvojčlenem s tím, že využijeme vztahu @i\,{i\mkern1mu}^2=-1\,@i a jeho definici si nemusíme pamatovat. @b(a+b\,{i\mkern1mu})\cdot(c+d\,{i\mkern1mu})=ac+ad\,{i\mkern1mu}+bc\,{i\mkern1mu}+bd\,{i\mkern1mu}^2=(ac-bd)+(ad+bc)\,{i\mkern1mu}.@b 

Užitečná poznámka: Podíl dvou komplexních čísel vždy zapíšeme ve tvaru zlomku. Zlomek rozšíříme komplexně sdruženým číslem k jmenovateli (násobíme jak čitatel tak jmenovatel). Ve jmenovateli je poté pouze reálné číslo, kterým vydělíme reálnou a imaginární část komplexního čísla v čitateli.@b\dfrac{a+b\,{i\mkern1mu}}{c+d\,{i\mkern1mu}}=\dfrac{a+b\,{i\mkern1mu}}{c+d\,{i\mkern1mu}}\cdot\dfrac{c-d\,{i\mkern1mu}}{c-d\,{i\mkern1mu}}=\dfrac{ac-ad\,{i\mkern1mu}+bc\,{i\mkern1mu}-bd\,{i\mkern1mu}^2}{c^2-d^2\,{i\mkern1mu}^2}=\dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)\,{i\mkern1mu}}{c^2+d^2}=\left(\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}\right)+\left(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)\,{i\mkern1mu}@b

Související

Zlomky


Řešené příklady

  1. Pro @iz_1=2+4\,{i\mkern1mu}@i a @iz_2=3-{i\mkern1mu}@i vypočtěme v algebraickém tvaru komplexní čísla @iz_1\cdot z_2@i a @i\dfrac{z_1}{z_2}@i.
  2. @i z_1\cdot z_2\;=\;(2+4\,{i\mkern1mu})\cdot(3-{i\mkern1mu})\;=\;6-2\,{i\mkern1mu}+12\,{i\mkern1mu}-4({i\mkern1mu})^2\;=\;6+10\,{i\mkern1mu}-4(-1)\;=\;10+10\,{i\mkern1mu}\,, @i

    @i \dfrac{z_1}{z_2}\;=\;\dfrac{2+4\,{i\mkern1mu}}{3-{i\mkern1mu}}\;=\;\dfrac{(2+4\,{i\mkern1mu})\cdot(3+{i\mkern1mu})}{(3-{i\mkern1mu})\cdot(3+{i\mkern1mu})}\;=\; \dfrac{6+2\,{i\mkern1mu}+12\,{i\mkern1mu}+4({i\mkern1mu})^2}{9-({i\mkern1mu})^2}\;=\;\dfrac{2+14\,{i\mkern1mu}}{10}\;=\;\dfrac 15+\dfrac 75\,{i\mkern1mu}.@i

  3. Pro @iz_1=1+2\,{i\mkern1mu}@i, @iz_2=3+\,{i\mkern1mu}@i a @iz_3=3+2\,{i\mkern1mu}@i vypočtěte v algebraickém tvaru komplexní číslo @iz=\dfrac{5\,z_1-3\,z_2}{z_3}@i.
  4. @iz\;=\;\dfrac{5(1+2\,{i\mkern1mu})-3(3+\,{i\mkern1mu})}{3+2\,{i\mkern1mu}}\;=\; \dfrac{5+10\,{i\mkern1mu}-9-3\,{i\mkern1mu}}{3+2\,{i\mkern1mu}}\;=\;\dfrac{-4+7\,{i\mkern1mu}}{3+2\,{i\mkern1mu}}\cdot\dfrac{3-2\,{i\mkern1mu}}{3-2\,{i\mkern1mu}}\;=\;@i

    @i\ \ \;=\;\dfrac{(-4+7\,{i\mkern1mu})(3-2\,{i\mkern1mu})}{9-4{i\mkern1mu}^2}\;=\; \dfrac{-12+8\,{i\mkern1mu}+21\,{i\mkern1mu}-14\,{i\mkern1mu}^2}{13}\;=\;\dfrac{2+29\,{i\mkern1mu}}{13}\;=\;\dfrac{2}{13}+\dfrac{29}{13}\,{i\mkern1mu}\,.@i
  5. Vypočtěme absolutní hodnotu komplexního čísla @i \dfrac{3+3\,{i\mkern1mu}}{1-\,{i\mkern1mu}}@i.
  6. Užitečná poznámka: Pro absolutní hodnotu komplexních čísel platí: @i|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|\;@i a @i\;\left| \dfrac{z_1}{z_2} \right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}@i

    @i\left|\dfrac{3+3\,{i\mkern1mu}}{1-{i\mkern1mu}}\right|\;=\;\dfrac{|3+3\,{i\mkern1mu}|}{|1-{i\mkern1mu}|}\;=\;\dfrac{\sqrt{9+9}}{\sqrt{1+1}}\;=\;\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\;=\; \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\;=\;3\,.@i

  7. Rozhodněte, zda čísla @i\,x_1=1+i, \ x_2=1-\sqrt 2\, i\,@i jsou řešení kvadratické rovnice a @i\, x^2-2x+3=0@i.
  8. Do levé strany rovnice dosadíme nejprve hodnotu @i\,x_1\,@i a spočteme její hodnotu.

    @iL_1=(1+i)^2-2(1+i)+3=1+2\,i+i^2-2-2\,i+3=1-1-2+3=1@i 

    Hodnota levé strany se nerovná hodnotě pravé strany (@i\,P=0@i), číslo @i\,x_1=1+i\,@i není kořenem dané kvadratické rovnice. Nyní dosadíme do levé strany rovnice hodnotu @i\,x_2@i.

    @iL_2=(1-\sqrt 2\,i)^2-2(1-\sqrt 2\,i)+3=1-2\,\sqrt 2\,i+2\,i^2-2+2\,\sqrt 2\,i+3=1-2-2+3=0@i

    Levá strana a pravá strana rovnice se po dosazení hodnoty @i\,x_2\,@i rovnají, číslo @i\,x_2=1-\sqrt 2\,i\,@i je kořenem dané kvadratické rovnice.

    Užitečná poznámka: Kvadratická rovnice @i\,x^2-2x+3=0\,@i má dva kořeny. Ukázali jsme, že jeden kořen je @i\,1-\sqrt 2\,i\,@i, druhý je s ním komplexně sdružený  @i\,1+\sqrt 2\,i@i.

Neřešené příklady

  1. Vypočítejte @i \ i+1-i^{-1} - \dfrac{2}{1+i} @i.
  2. Určete absolutní hodnotu čísla @i \ \dfrac{\sqrt{6}}{5} - \dfrac{\sqrt{19}}{5}i @i.
  3. Vypočítejte absolutní hodnotu čísla @i \ z= (1+i)(i-1) - (2i+1)^2 @i.
  4. Napište číslo komplexně sdružené k číslu @i \ z=\dfrac{2+3i}{1-2i} @i.
Last modified: Wednesday, 6 March 2019, 9:29 AM