Zlomky

Teoretické minimum

Zlomkem @i \dfrac ab @i rozumíme reálné číslo, které je výsledkem dělení reálného čísla @i a @i (čitatel) nenulovým reálným číslem @i b @i (jmenovatel). Zlomek je jinak zapsaná operace dělení. Hodnotu zlomku vypočteme tak, že vydělíme čitatel jmenovatelem. Existuje i složený zlomek, což není nic jiného, než zlomek, který má v čitateli či jmenovateli další zlomek.

1. Rozšíření zlomku nenulovým číslem

@b \dfrac 12=\dfrac {1\cdot 3}{2\cdot3}=\dfrac 36@b

Všechny tři zlomky mají stejnou hodnotu. Ve zlomku jedna polovina jsme vynásobili trojkou jak čitatel tak jmenovatel. Po vynásobení vyšel zlomek tři šestiny.

2. Krácení zlomku nenulovým číslem

@b \dfrac 8{12}=\dfrac {8 : 4}{12 : 4}=\dfrac 23@b

Opačnou operací k rozšiřování je krácení zlomků, kdy čitatel i jmenovatel dělíme beze zbytku stejným číslem. V našem případě jak čitatel tak jmenovatel dělíme beze zbytku čtyřkou.  Zlomek @i \dfrac 23 @i  již nelze krátit, říkáme, že je v základním tvaru.

3. Sčítání zlomků

@b \dfrac23 + \dfrac14 = \dfrac{2\cdot4}{3\cdot4} + \dfrac{1\cdot3}{4\cdot3} = \dfrac{8}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{11}{12}@b

Zlomky můžeme sečíst pouze v případě, že mají stejného  jmenovatele.  Pokud nemají stejného jmenovatele, musíme je nejprve pomocí vhodného rozšíření či krácení na stejného jmenovatele převést (nejmenší společný jmenovatel). První zlomek má ve jmenovateli trojku, druhý zlomek čtyřku. Nejmenší společný jmenovatel @i 3@i a @i 4@i je @i 12 @i. První zlomek rozšíříme čtyřkou a druhý zlomek rozšíříme trojkou. Nyní mají oba zlomky stejný jmenovatel @i 12@i a můžeme je sečíst. Sečteme čitatele prvního zlomku s čitatelem druhého zlomku a jmenovatel ponecháme stejný.

4. Násobení zlomků

@b \dfrac 35\cdot \dfrac 74=\dfrac{3\cdot 7}{5\cdot 4}=\dfrac{21}{20} @b

Dva zlomky vynásobíme tak, že vynásobíme čitatel prvního zlomku s čitatelem druhého zlomku a jmenovatel s jmenovatelem. 

@b \dfrac{\fbox{2}}3\cdot\dfrac 5{\fbox{4}} =\dfrac 13\cdot\dfrac 52= \dfrac{1\cdot 5}{3\cdot 2} = \dfrac{5}{6}\qquad \qquad \dfrac 23\cdot\dfrac 54=\dfrac {10}{12}=\dfrac 56@b

Násobení zlomků si můžeme zjednodušit krácením křížem. Čitatel prvního zlomku @i2@i zkrátíme se jmenovatelem druhého zlomku @i4@i a pak teprve zlomky vynásobíme. Pokud bychom nekrátili křížem, zkrátili bychom na základní tvar až po vynásobení zlomků. 

Užitečná poznámka: Umocňování je jinak zapsané násobení. 

@b \Bigl(\dfrac23\Bigr)^3=\dfrac 23\cdot \dfrac 23\cdot \dfrac 23= \dfrac{2^3}{3^3} = \dfrac{8}{27} @b

Pozor, častá chyba: Při sčítání nelze použít krácení křížem!

@b\dfrac 5{\fbox{6}}+\dfrac {\fbox{9}}4\neq\dfrac52+\dfrac34 @b

5. Dělení zlomků

@b \dfrac{ \dfrac 87}{ \dfrac 49}= \dfrac 87 : \dfrac 49= \dfrac {\fbox{8}}7 \cdot \dfrac {9}{\fbox{4}}=\dfrac 27 \cdot \dfrac 91=\dfrac{18}{7}@b

Pokud v  čitateli nebo jmenovateli zlomku je zlomek, mluvíme o zlomku složeném.  Dělit zlomkem je totéž jako násobit jeho převrácenou hodnotou.  Dělit čtyřmi devítinami @i\frac 49@i je to samé jako násobit devíti čtvrtinami @i\frac 94@i.  Před vynásobením zlomků jsme @i8@i a @i4@i zkrátili. 

Užitečná poznámka: Převrácenou hodnotou nenulového zlomku @i\frac{a}{b}@i rozumíme číslo @b\Bigl(\dfrac{a}{b}\Bigr)^{-1} = \dfrac{1}{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{b}{a}.@b


Související

Nejmenší společný násobek.


Řešené příklady

1. Vypočtěte @i\quad \dfrac 56+\dfrac 94@i. 

Společný jmenovatel @i6@i a @i4@i je @i12@i

@b\dfrac 56+\dfrac 94=\dfrac {5\cdot 2}{6\cdot 2}+\dfrac {9\cdot 3}{4\cdot 3}=\dfrac{31}{12}.@b


2. Určete hodnotu výrazu @i\quad 1+\dfrac{1}{2}\Biggl(\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{1-\dfrac17}\Biggr)@i .

Nejprve se zbavíme složeného zlomku v závorce

@b1+\dfrac12\Biggl( \dfrac14 - \dfrac{2}{ 1 -\dfrac{1}{7}}  \Biggr) =1+\dfrac12\Biggl( \dfrac14 - \dfrac{2}{ \dfrac77 -\dfrac{1}{7}}  \Biggr)  =1+\dfrac12\Biggl( \dfrac14 - \dfrac{2}{ \dfrac67}  \Biggr) =1+\dfrac12\biggl( \dfrac14 - \dfrac{2\cdot7}{ 6}  \biggr) =1+\dfrac12\biggl( \dfrac14 - \dfrac{14}{ 6}  \biggr).@b

Dále sečteme po převedení na společného jmenovatele zlomky v závorce, provedeme násobení a znovu sečteme zlomky

@b 1+\dfrac12\biggl( \dfrac14 - \dfrac{14}{ 6}  \biggr) =1+\dfrac12\biggl( \dfrac{3}{12} - \dfrac{28}{12}  \biggr)=1+\dfrac12\biggl(  - \dfrac{25}{12}  \biggr) = \frac{1}{1}-\dfrac{25}{24} = \frac{24}{24}-\dfrac{25}{24}= - \frac{1}{24}.@b

Užitečná poznámka: Uvědomte si, že libovolné číslo lze vždy zapsat ve tvaru zlomku s jmenovatelem rovným jedné. To může být užitečné při převádění desetinných čísel na zlomky, např.:  @b1,15 = \dfrac{1,15}{1}=\dfrac{1,15\cdot100}{100} = \dfrac{115}{100} = \dfrac{23}{20}.@b


3. Určete hodnotu výrazu @i\quad\dfrac{\dfrac{1}{10}}{\dfrac{2}{5}}:\bigl(3-0,25\bigr)@i.

Nejprve se zbavíme složeného zlomku, dále upravíme desetinné číslo na zlomek v základním tvaru a dopočteme.

@b\biggl(\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{5}{2}\biggr):\biggl( 3 - \dfrac{25}{100}\biggr) = \biggl(\dfrac{1}{5\cdot2}\cdot\dfrac{5}{2}\biggr):\biggl( 3 - \dfrac{1}{4}\biggr) = \dfrac{1}{4}:\biggl( \dfrac{12}{4} - \dfrac{1}{4}\biggr) = \dfrac{1}{4} : \dfrac{11}{4} = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{11} = \frac1{11}.@b


Neřešené příklady

  1. Spočtěte hodnotu @i\dfrac{12}{4}-\dfrac{5}{3}@i
  2. Spočtěte hodnotu @i\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{5}{2}@i
  3. Spočtěte hodnotu @i(1-0.2)\cdot \Bigl(\dfrac{1}{2}+ \dfrac18\Bigr)@i
  4. Spočtěte hodnotu @i2-\dfrac{\frac{3}{2}+\frac16}{\frac{12}{3}}@i
Last modified: Thursday, 6 February 2020, 9:32 PM