Rovnice v součinovém a podílovém tvaru

Teoretické minimum

O rovnici v součinovém tvaru mluvíme tehdy, pokud se podaří na jedné straně rovnice vytvořit součin dvou a více výrazů a na straně druhé je nula. Např. rovnici @i\ 3x^2-20x+12=6(2-3x)-x^2@i umíme převést do součinového tvaru. Závorku na pravé straně rovnice roznásobíme a všechny členy polynomu převedeme na levou stranu rovnice. Na pravé straně je nula. Nakonec polynom rozložíme na součin kořenových činitelů. @b\begin{array}{rcl} 3x^2-20x+12&=&6(2-3x)-x^2\ /-6(2-3x)+x^2\\[2mm]3x^2+x^2-20x+18x+12-12&=&0\\[2mm]4x^2-2x&=&0\\[2mm]2x(2x-1)&=&0.\end{array}@b

Pro řešení rovnice v součinovém tvaru využijeme pravidlo, že součin dvou a více činitelů je roven nule právě tehdy, když alespoň jeden z činitelů je nula. Každý činitel položíme roven nule.  Hledáme jejich nulové body. Jinak řečeno řešením rovnice v součinovém tvaru jsou všechna čísla, pro která se libovolný činitel rovná nule. V našem případě @b\begin{array}{rclrcl} 2x&=&0\qquad{\rm nebo} \qquad &2x-1&=&0\\[2mm]x&=&0& x&=&\dfrac 12.\end{array}@b

Množina všech řešení je @i\ K=\Bigl\{ 0,\frac 12\Bigr\}@i.

O rovnici v podílovém tvaru mluvíme v případech, kdy rozhodujeme o tom, kdy se zlomek rovná nule. Např. rovnice @b \dfrac{6x^2-8x}{9x-12}=0.@b

Nejprve musíme stanovit podmínky. Vždy pamatujte na to, že nulou nelze dělit. Proto @i\ 9x-12\neq 0@i, tedy  @i\ x\neq \dfrac 43@i. Zlomek se rovná nule v případě, že se čitatel rovná nule. Polynom v čitateli rozložíme na součin a položíme roven nule. @b\begin{array}{rcl} 6x^2-8x&=&0\\[2mm]2x(3x-4)&=&0.\end{array}@b

Nakonec jsme získali rovnici v součinové tvaru, jejíž řešení jsou @i\ x_1=0, x_2=\dfrac 43@i. Původní rovnice v podílovém tvaru má pouze jeden kořen @i\ K=\{0\}@i. Druhý nesplňuje podmínku. 

Pozor, častá chyba: Řešme rovnici @i\ \dfrac{2x^4-8x^2}{x^2+2x}=0\ @i s neznámou @i\ x\in\mathbb{R}@i. V čitateli vytkneme @i\ 2x^2@i, ve jmenovateli @i\ x@i. V čitateli rozložíme kvadratický dvojčlen @i\ x^2-4@i podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin @i\ A^2-B^2=(A+B)(A-B)@i. @b\begin{array}{rcl} \dfrac{2x^2(x^2-4)}{x(x+2)}&=&0\\[2mm]\dfrac{2x^2(x+2)(x-2)}{x(x+2)}&=&0\end{array}@b Nyní na levé straně rovnice zkrátíme @i\ x\ @i a @i\ x+2\ @i a dostaneme rovnici v součinovém tvaru @b 2x(x-2)=0.@b Je chyba prohlásit @i\ x=0\ @i za kořen původní rovnice v podílovém tvaru! Řešením je pouze @i\ x=2@i, tj. @b K=\{2\}.@b  Kde je chyba? Na začátku jsme nestanovili podmínky. Musí platit, že jmenovatel není nula. @b\begin{array}{rcl} x^2+2x&\neq&0\\[2mm] x(x+2)&\neq&0.\end{array}@b Tedy @i\ x\neq0@i a @i\ x\neq -2@i.

Související

Mnohočleny, nerovnice v součinovém a podílovém tvaru.

Řešené příklady

Řešte rovnici @i\  (x+3)x^2 = 2(x+3) \ @i s neznámou @ix\in\mathbb{R}.@i

Převedeme rovnici do anulovaného tvaru, vytkneme @i(x+3)@i a rozložíme kvadratický dvojčlen podle vzorce pro rozdíl čtverců @b\begin{array}{rcl} (x+3)x^2-2(x+3) &= &0\\ (x+3)(x^2-2)&=& 0\\(x+3)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})&=& 0.\end{array} @b Součin tří činitelů je roven nule, pokud je roven nule aspoň jeden z nich, tedy rovnice má tři řešení @ix_1=-3@i, @ix_2=\sqrt 2@i a @ix_3=-\sqrt 2,@i @b K = \Bigl\{-3, -\sqrt 2,\sqrt 2\Bigr\}.@b

Řešte rovnici @i\  (3x-5)x^2 = 2x(5-3x) \ @i s neznámou @ix\in\mathbb{R}.@i

Převedeme rovnici do anulovaného tvaru, vytkneme výraz @i(3x-5)@i a z kvadratického dvojčlenu vytkneme @i\ x @i @b\begin{array}{rcl} (3x-5)x^2-2x(5-3x) &= &0\\ (3x-5)(x^2+2x)&=& 0\\(3x-5)x(x+2)&=& 0.\end{array} @b Součin tří činitelů je roven nule, pokud je roven nule aspoň jeden z nich, tedy rovnice má tři řešení @i\ x_1=\frac 53@i, @i\ x_2=0@i a @i\ x_3= - 2@i, @b K = \Bigl\{-2,0,\frac53\Bigr\}.@b

Řešte rovnici @i\ \dfrac{3x+2}{7x-2}=\dfrac{x-4}{x+4}\ @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i

Nejprve určíme podmínky, kdy má rovnice smysl.  @b x\neq\dfrac 27,\ x\neq -4@b Rovnici anulujeme a zlomky sečteme. @b\begin{array}{rcl} \dfrac {3x+2}{7x-2}&=&\dfrac{x-4}{x+4}\\[2mm]\dfrac{3x+2}{7x-2}-\dfrac{x-4}{x+4}&=&0\\[2mm]\dfrac{(3x+2)(x+4)-(x-4)(7x-2)}{(7x-2)(x-4)}&=&0\\[2mm]\dfrac{3x^2+12x+2x+8-(7x^2-2x-28x+8)}{(7x-2)(x-4)}&=&0\\[2mm]\dfrac{-4x^2+44x}{(7x-2)(x-4)}&=&0.\end{array}@b Zlomek se rovná nule právě, když je čitatel roven nule. Rovnici převedeme do součinového tvaru. @b\begin{array}{rcl} -4x^2+44x&=&0\\[2mm] -4x(x-11)&=&0.\end{array}@b Rovnice má dvě řešení, @i\ x_1=0, x_2=11 @i, obě vyhovují podmínkám, tj. @b K = \bigl\{0,11\bigr\}.@b




Řešte rovnici @i\ \dfrac{x^3-2x^2-x+2}{x^3+2x^2-x-2}=0\ @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i

Čitatel i jmenovatel převedeme na součin. Členy v polynomech si uspořádáme tak, abychom mohli vytýkat. @b\begin{array}{rcl}\dfrac{x^3-x-2x^2+2}{x^3-x+2x^2-2}&=&0\\[2mm] \dfrac{x(x^2-1)-2(x^2-1)}{x(x^2-1)+2(x^2-1)}&=&0\\[2mm]\dfrac{(x^2-1)(x-2)}{(x^2-1)(x+2)}&=&0\end{array}@b Neprve určíme podmínky, tj. @b\begin{array}{rcl} (x^2-1)(x+2)&\neq&0\\[2mm] (x-1)(x+1)(x+2)&\neq&0.\end{array} @b Součin tří čísel je roven nule právě, když alespoň jeden z činitelů je roven nule. Negace tohoto tvrzení je, že žádný z činitelů nesmí být nula, abychom nedělili nulou, aby zlomek měl smysl. Tedy @b x\neq\pm 1,\ x\neq -2.@b Nyní výraz @i\ (x^2-1) @i na levé straně rovnice zkrátíme. Zlomek je roven nule, pokud čitatel je roven nule.  @b\begin{array}{rcl}\dfrac{(x^2-1)(x-2)}{(x^2-1)(x+2)}&=&0\\[2mm] \dfrac {x-2}{x+2}&=&0\\[2mm] x-2&=&0\\[2mm] x&=&2\end{array}@b Rovnice  má jediné řešení @b K = \bigl\{2\bigr\}.@b

Pozor, častá chyba: Čitatel  původní rovnice položíme roven nule @i\ (x^2-1)(x-2)=0@i a tvrdíme, že rovnice má tři kořeny @i\ x_1=-1,\ x_2=1,\ x_3=2@i. První dva kořeny nesplňují podmínky !

Neřešené příklady

Řešte rovnici @i16x^4 =4x^2@i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i


Výsledek


@b\begin{array}{rcl} 16x^4-4x^2&= &0\\ 4x^2(4x^2-1)&=& 0\\x^2(2x-1)(2x+1)&=& 0
\end{array} @b Rovnice má tři kořeny @iK=\bigl\{-\frac12,0,\frac12\bigr\}.@i

Řešte rovnici @i\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{3-x} = \dfrac{3}{x-3} @i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i


Výsledek

Rovnice má smysl pro @ix\neq 0,3@i @b\begin{array}{rcl} \dfrac{2(3-x) - x^2}{x(3-x)} -\dfrac{3}{x-3} &= & 0\\ \dfrac{6-2x - x^2}{x(3-x)} +\dfrac{3x}{x(3-x)} &= & 0\\ \dfrac{-x^2+x +6}{x(3-x)} &= & 0\\ \dfrac{-(x+2)(x-3)}{x(3-x)} &= & 0\end{array} @b Rovnice má jediné řešení @ix=-2,@i @bK=\{-2\}.@b

Řešte rovnici @i\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{4}{x-1}+\dfrac3x = \dfrac{5x+3}{x-x^3} @i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i


Výsledek

Rovnice má smysl pro @ix\neq 0,\pm 1@i @b\begin{array}{rcl} \dfrac{x^2-x-4(x^2+x) + 3(x^2-1) }{(x+1)(x-1)x}- \dfrac{5x+3}{x-x^3} &= & 0\\ \dfrac{x^2-x-4x^2-4x + 3x^2-3 }{(x+1)(x-1)x}+ \dfrac{5x+3}{x^3-x}&=& 0\\\dfrac{x^2-x-4x^2-4x + 3x^2-3 }{(x+1)(x-1)x}+ \dfrac{5x+3}{x^3-x}&=& 0 \\ \dfrac{-5x-3+5x+3}{(x+1)(x-1)x}&=& 0 \\ \dfrac{0}{(x+1)(x-1)x} &=& 0.\end{array} @b Rovnice má nekonečně mnoho řešení. @bK=\mathbb{R}\setminus \{-1,0,1\}.@b

Řešte rovnici @i\dfrac{x-3}{x^2+2}= \dfrac{1}{2x+1} @i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i

Výsledek

Rovnice má smysl pro @ix\neq -\frac12@i. (@ix^2+2>0@i pro všechna @ix\in\mathbf{R}@i) @b\begin{array}{rcl} \dfrac{x-3}{x^2+2}- \dfrac{1}{2x+1} &= & 0\\ \dfrac{(x-3)(2x+1) - (x^2+2)}{(x^2+2)(2x+1)} &=& 0\\ \dfrac{2x^2-5x-3 - x^2-2}{2x+1} &=& 0 \\ \dfrac{x^2-5x-5}{2x+1} &=& 0.\end{array} @b Kvadratickou rovnici @ix^2-5x-5 = 0 @i vyřešíme přes diskriminant (@iD = 45@i). Rovnice má dvě řešení. @bK=\Bigl\{ \dfrac{5+3\sqrt{5}}{2},\dfrac{5-3\sqrt{5}}{2}\Bigr\}.@b

Řešte rovnici @i\dfrac{x^3-6x-3}{3x}= 1-\dfrac{1}{x} @i s neznámou  @i x\in\mathbb{R}.@i

Výsledek

Rovnice má smysl pro @ix\neq 0 @i. @b\begin{array}{rcl} \dfrac{x^3-6x-3}{3x}- 1+\dfrac{1}{x} &= & 0\\ \dfrac{x^3-6x-3-3x+3}{3x}&=& 0\\ \dfrac{x^3-9x}{3x} &=& 0 \\ \dfrac{x(x^2-9)}{3x} &=& 0 \\ \dfrac{x(x-3)(x+3)}{3x} &=& 0.\end{array} @b Rovnice má dvě řešení. @bK=\{ -3,3\}.@b