Integrace racionálních funkcí

Teoretické minumum

Racionální funkcí nazveme podíl dvou polynomů. V této části se budeme zabývat integrací racionálních funkcí. Na rozdíl od předchozích metod integrace jde v tomto případě o následování algoritmu, který vždy vede k řešení.

1. Je-li stupeň polynomu v čitateli větší nebo roven stupni polynomu ve jmenovateli, vydělíme. Např. máme-li racionální funkci @i f(x)=\dfrac{x^2}{-x^2+3x-2} @i, pak stupeň čitatele i jmenovatele je @i 2 @i, a proto musíme dělit polynom @i x^2 @i polynomem @i -x^2+3x-2 @i.
2. V případě, že stupeň polynomu v čitateli je menší než stupeň polynomu ve jmenovateli (ryze lomená racionální funkce), provádíme tzv. rozklad na parciální zlomky. Označme polynom v čitateli @i P @i  a ve jmenovateli @i Q @i. Základní věta algebry říká, že každý polynom stupně alespoň @i 1 @i lze v reálných číslech rozložit na součin kořenových činitelů (příslušných reálným kořenům polynomu) a (v @i \mathbb R @i) nerozložitelných kvadratických trojčlenů (které jsou součinem kořenových činitelů komplexně sdružených kořenů polynomu), tj. pro polynom @i Q(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_1 x + a_0\ (a_n\neq 0) @i ve jmenovateli platí: @b Q(x)= a_n(x-x_1)^{k_1}\ldots (x-x_s)^{k_s}(x^2+p_1x+q_1)^{l_1}\ldots (x^2+p_t x +q_t)^{l_t}, @b kde @i x_1,\ldots,x_s @i jsou všechny různé reálné kořeny s násobnostmi @i k_1,\ldots,k_s @i a @i (x^2+p_1x+q_1),\ldots, (x^2+p_t x +q_t) @i jsou v reálných číslech nerozložitelné kvadratické trojčleny (mají tedy komplexní kořeny), které se v rozkladu vyskytují @i l_1,\ldots,l_t @i krát. Pak racionální funkci @i \dfrac{P(x)}{Q(x)} @i lze napsat ve tvaru: @b \begin{align*}\frac{P(x)}{Q(x)}&= \frac{A_{11}}{a_n(x-x_1)}+\frac{A_{12}}{(x-x_1)^2}+\ldots +\frac{A_{1k_1}}{(x-x_1)^{k_1}}+\ldots + \frac{A_{k_s 1}}{x-x_{k_s}}+\ldots +\frac{A_{k_s k_s}}{(x-x_{k_s})^{k_s}}\\&+\frac{B_{11}x + C_{11}}{x^2+p_1x+q_1}+\frac{B_{12}x + C_{12}}{(x^2+p_2x+q_2)^2}+\ldots + \frac{B_{1l_1}x + C_{1l_1}}{(x^2+p_{l_1}x+q_{l_1})^{l_1}}+\ldots+ \frac{B_{l_t1}x + C_{l_t1}}{x^2+p_{l_1}x+q_{l_1}}+\ldots + \frac{B_{l_tl_t}x + C_{l_tl_t}}{(x^2+p_{l_t}x+q_{l_t})^{l_t}}.\end{align*} @b
   Užitečná poznámka:
   
   • Vedoucí koeficient @i a_n @i lze umístit k libovolnému sčítanci, který obsahuje kořenový činitel @i (x-x_i) @i (v první mocnině). Pak je rozklad na parciální zlomky jednoznačný, tj. koeficienty @i A_{11},\ldots, A_{k_sk_s},B_{11}, C_{11},\ldots,B_{l_tl_t},C_{l_tl_t} @i určeny jednoznačně.
   • Již od základní školy se učíme sčítat zlomky převedením na společného jmenovatele. Rozklad na parciální zlomky je opačná procedura, snažíme se zlomek napsat jako součet několika jednodušších zlomků.
   
   Polynom @i -x^2+3x-2 @i, jehož kořeny jsou @i 1 @i a @i 2 @i a vedoucí koeficient je @i -1 @i, má rozklad na kořenové činitele @i -(x-1)(x-2) @i. Proto rozklad racionální funkce @i \dfrac{1}{-x^2+3x-2} @i na kořenové činitele je tvaru @b \frac{1}{-x^2+3x-2}=\frac{A}{-(x-1)} + \frac{B}{x-2}=\frac{A}{1-x} + \frac{B}{x-2}, @b anebo @b \frac{1}{-x^2+3x-2}=\frac{C}{x-1} + \frac{D}{-(x-2)}=\frac{C}{x-1} + \frac{D}{2-x}, @b dle toho, ke kterému sčítanci přidáme vedoucí koeficient @i -1 @i polynomu @i -x^2+3x-2 @i.
   Poznamenejme, že kořenový činitel příslušný kořenu @i x_i @i polynomu @i Q @i  je lineární funkce @i x-x_i @i.
   

Související

Mnohočleny, substituční metoda integrace, soustavy lineárních algebraických rovnic.

Řešené příklady

Převážně si ukážeme typy příkladů, kde racionální funkce má ve jmenovateli kvadratický trojčlen. Budeme postupovat podle typu kořenů jmenovatele. Jaká řešení může kvadratická rovnice mít?

1. Spočtěme neurčitý integrál racionální funkce @i \dfrac{x^2}{-x^2+3x-2} @i z úvodu této kapitoly.

Víme, že musíme vydělit čitatele jmenovatelem:   @b \begin{equation}\begin{array}{rrrrrr} x^2&&&&&:&(-x^2+3x-2)=-1+\dfrac{3x-2}{-x^2+3x-2} \\-(x^2&-&3x&+&2)&& \\  \hline &&(3x&-&2)&& \end{array}\end{equation} @b Racionální funkce @b R(x)= \frac{3x-2}{-x^2+3x-2} @b je zbytek po dělení,  která má v čitateli polynom menšího stupně než ve jmenovateli. Dále víme (vizte výše), že kvadratický trojčlen ve jmenovateli @i -x^2+3x-2 @i má rozklad na kořenové činitele @b -x^2+3x-2 = -(x-1)(x-2). @b A tak rozklad @i R @i na parciální zlomky má např. tvar (minus přidejme ke kořenovému činiteli @i x-1 @i) @b \frac{3x-2}{-x^2+3x-2} =\frac{3x-2}{-(x-1)(x-2)}= \frac{3x-2}{(1-x)(x-2)}= \frac{A}{1-x} + \frac{B}{x-2}. @b Nyní bychom rádi určili konstanty @i A,B @i. Vynásobme rovnici @b \frac{3x-2}{(1-x)(x-2)}= \frac{A}{1-x} + \frac{B}{x-2} @b výrazem @i (1-x)(x-2) @i. To si můžeme dovolit, uvědomíme-li si, že zbytek @i R @i je spojitá funkce v @i \mathbb R\setminus \{1,2\} @i. Dostaneme @b 3x-2 = A(x-2) + B(1-x),\ \forall x\neq 1,2, @b po úpravě („převytýkání“) pravé strany: @b 3x-2 = (A-B)x +(-2A+B),\ \forall x\neq 1,2. @b Jde o rovnost dvou polynomů (prvního stupně). Dva polynomy se rovnají, jestliže

• jsou stejného stupně @i n\ (n\in\mathbb N) @i,
  
• jejich koeficienty u odpovídajících mocnin @i x^i,\ i=0,\ldots, n, @i jsou stejné.

Porovnejme koeficienty našich polynomů: @b \begin{array}{lrcr}\hbox{u }x:&\ 3&=&A-B\\\hbox{u } 1:&\ -2&=& -2A+B\end{array} @b Tím nám vznikne soustava rovnic pro konstanty @i A,B @i.

Užitečná poznámka: Tímto způsobem dostaneme pokaždé soustavu lineárních algebraických rovnic pro neznámé z rozkladu na parciální zlomky, která má vždy jediné řešení.

Pozor, častá chyba: Pokud vaše soustava nebude mít jediné řešení, určitě jste někde udělali chybu!

Vyřešme tuto soustavu. Sečteme-li obě rovnice, dostaneme @i 1=-A @i, a tudíž @i A=-1 @i. Neznámou @i B @i získáme např. dosazením do první rovnice, tedy @i B= -4 @i. Hledaný rozklad na parciální zlomky je: @b \frac{3x-2}{-x^2+3x-2} = \frac{-1}{1-x} + \frac{-4}{x-2}. @b Až sem to byla zcela algebraická část příkladu, pro potřeby integrace se nám povedlo racionální funkci napsat ve tvaru @b \frac{x^2}{-x^2+3x-2} = -1 +\frac{-1}{1-x} + \frac{-4}{x-2}. @b Máme @b \begin{align*}\int\frac{x^2}{-x^2+3x-2}\,{\rm d}x &= \int -1\,{\rm d}x +\int\frac{-1}{1-x}\,{\rm d}x + \int\frac{-4}{x-2}\,{\rm d}x\\&=-x+\ln|1-x|-4\ln|x-2|+C=-x+\ln\frac{|x-1|}{(x-2)^4}+C,\ x\in (-\infty, 1) \hbox{ nebo } (1,2) \hbox{ nebo } (2,+\infty),C\in\mathbb R.\end{align*} @b Maximální intervaly, na kterých je neurčitý integrál definovaný, jsme určili z toho, že integrand @i \dfrac{x^2}{-x^2+3x-2} @i je spojitý v intervalech @i (-\infty, 1), (1,2), (2,+\infty) @i. Finální tvar výsledku jsme dostali početními pravidly pro logaritmy. I předposlední tvar výsledku je možné považovat za konečný, „nejpěknější“ výsledek je jen otázkou vkusu.

V dalších příkladech bude vždy stupeň polynomu v čitateli menší než toho ve jmenovateli. Aneb není účelem této kapitoly trénovat dělení polynomu polynomem.

2. Vypočtěme @i \displaystyle\int \dfrac{3}{4x^2+4x+1}\,{\rm d}x @i, aneb uvidíme, že si vystačíme pouze s lineární substitucí.

Na jmenovatele použijeme vzoreček: @b 4x^2+4x+1=(2x+1)^2, @b takže kvadratický trojčlen má jeden dvojnásobný kořen. Dosadíme do integrálu a vidíme, že stačí použít lineární substituci: @b \int \frac{3}{4x^2+4x+1}\,{\rm d}x = \int \frac{3}{(2x+1)^2}\,{\rm d}x =\left|\begin{align*}y&=2x+1\\{\rm d}y&=2\,{\rm d}x\end{align*} \right|= \frac{3}{2}\int \frac{1}{(\underbrace{2x+1}_y)^2}\underbrace{2\,{\rm d}x}_{{\rm d}y} =\frac{3}{2}\int \underbrace{\frac{1}{y^2}}_{y^{-2}}\,{\rm d}y @b @b = -\frac{3}{2}y^{-1} + C = -\frac{3}{2y}+ C = -\frac{3}{2(2x+1)} + C, \ x\in  \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \hbox{ nebo } \left(-\frac{1}{2},+\infty\right),C\in\mathbb R. @b Poznamenejme, že integrovaná funkce je spojitá v obou uvedených intervalech.

3. Najděme @i \displaystyle\int \frac{3x}{4x^2+4x+1}\,{\rm d}x @i, aneb úloha se zásadně změní, když je v čitateli lineární funkce.

Všimněme si, že jmenovatel je stejný jako v předchozím příkladu, integrand napišme ve tvaru @i \dfrac{3x}{(2x+1)^2} @i. Úlohu lze řešit v zásadě dvěma způsoby:

1. rozkladem na parciální zlomky @b \frac{3x}{(2x+1)^2} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{(2x+1)^2}. @b Odstraňme zlomky @b 3x = A(2x+1)+B,\ \forall x\neq\frac{1}{2}, @b a porovnejme koeficienty polynomů prvního stupně na levé a pravé straně rovnice: @b \begin{array}{lrcl}\hbox{u }x:&\ 3&=&2A \\ \hbox{u } 1:&\ 0&=&\ \,A+B\end{array} @b
   Užitečná poznámka: V tomto případě (dvojnásobný reálný kořen) je soustava rovnic vždy jednodušší než v případě dvou různých reálných kořenů (vizte Příklad 1).
   Jejím řešením získáme @i A=\frac{3}{2} @i a @i B=-\frac{3}{2} @i, po dosazení do původního rozkladu na parciální zlomky: @b \frac{3x}{(2x+1)^2} = \frac{\frac{3}{2}}{2x+1} + \frac{-\frac{3}{2}}{(2x+1)^2}. @b
   
2. anebo napsáním kořenového činitele @i 2x+1 @i do čitatele, opravením na rovnost (přičemž jediné, co smíme odečíst, je racionální funkce s konstantním polynomem v čitateli) a vydělením: @b  \frac{3x}{(2x+1)^2} =\frac{3}{2}\cdot\frac{2x+1}{(2x+1)^2} - \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{(2x+1)^2} = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2x+1} - \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{(2x+1)^2} @b
   

Oba způsoby dávají stejný výsledek, který nyní použijeme při integraci: @b \begin{align*}\int \frac{3x}{4x^2+4x+1}\,{\rm d}x &= \frac{3}{2}\int \frac{1}{2x+1}\,{\rm d}x - \frac{3}{2}\int \frac{1}{(2x+1)^2}\,{\rm d}x \\&=\frac{3}{4}\ln |2x+1| + \frac{3}{4(2x+1)} + C,\ x\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \hbox{ nebo } \left(-\frac{1}{2},+\infty\right),C\in\mathbb R,\end{align*} @b kde první integrál vede po lineární substituci na logaritmus a druhý jsme počítali v předchozím příkladě. Maximimální obory integrace jsou nutně stejné jako v předchozím příkladě.

4. Spočtěme @i \displaystyle\int \dfrac{1}{2x^2+2x+1}\,{\rm d}x @i, aneb když je v čitateli konstanta a ve jmenovateli v reálných číslech nerozložitelný kvadratický trojčlen.

Řešme kvadratickou rovnici @i 2x^2+2x+1=0 @i pomocí diskriminantu @i D=4-8=-4<0 @i. Jelikož je záporný, rovnice nemá reálné kořeny. A tak neurčitý integrál bude existovat v @i \mathbb R @i. V tomto typu integrandu bychom měli vidět „skoro derivaci“ arkustangenty @i \dfrac{1}{1+x^2} @i. Pokusme se upravit kvadratický trojčlen na tvar „konstanta krát (v závorce) jedna plus něco na druhou“ (hlavní úprava je doplnění na čtverec): @b 2x^2+2x+1= \left(2x^2+2x+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\big((4x^2+4x+1) + 1\big)= \frac{1}{2}\big((2 x+1)^2 + 1\big).  @b Nyní máme jmenovatel připravený na lineární substituci @i y=2x+1 @i v integrálu @b \int \frac{1}{2x^2+2x+1}\,{\rm d}x = \int\frac{1}{\frac{1}{2}\big((2 x+1)^2 + 1\big)}\,{\rm d}x = \left|\begin{align*}y&=2x+1\\{\rm d}y&=2\,{\rm d}x\end{align*} \right|= \int \frac{1}{(\underbrace{2 x+1}_y)^2 + 1}\underbrace{2\,{\rm d}x}_{{\rm d}y} = \int \frac{1}{y^2+1}\,{\rm d}y @b @b =\,{\rm arctg}\,y + C= \,{\rm arctg}\,(2x+1) + C,\ x\in\mathbb R,C\in\mathbb R. @b

5. Vypočtěme @i \displaystyle\int \dfrac{2x-1}{2x^2+2x+1}\,{\rm d}x @i  (lineární funkce v čitateli), aneb výsledek předchozího příkladu bude užitečný.

Jmenovatel integrandu je stejný jako v Příkladu 4. Víme, že má komplexně sdružené kořeny, a tak maximální integrační obor jsou všechna reálná čísla. Úloha se řeší velmi obdobně jako Příklad 3, druhý způsob, tj. do čitatele napíšeme derivaci jmenovatele a upravíme tak, aby rovnost byla zachována (přičemž jediné, co smíme odečíst, je racionální funkce s konstantním polynomem v čitateli): @b \int \frac{2x-1}{2x^2+2x+1}\,{\rm d}x =  \frac{1}{2} \int\frac{4x+2}{2x^2+2x+1}\,{\rm d}x  - \int \frac{2}{2x^2+2x+1}\,{\rm d}x. @b První integrál na pravé straně je připraven pro substituci @b \frac{1}{2} \int\frac{4x+2}{2x^2+2x+1}\,{\rm d}x = \left|\begin{align*}y&=2x^2 + 2x+1\\{\rm d}y&=(4x+2)\,{\rm d}x\end{align*} \right| =\frac{1}{2} \int\frac{4x+2}{\underbrace{2x^2+2x+1}_y}\,\underbrace{4\,{\rm d}x}_{{\rm d}y} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{y}\,{\rm d}y=\frac{1}{2}\ln|y| + C=\frac{1}{2}\ln(2x^2+2x+1) + C, @b kde absolutní hodnotu můžeme vypustit, neb kvadratický trojčlen je vždy kladný. Druhý integrál jsme spočetli v předchozím příkladě. Celkem máme @b \int \frac{2x-1}{2x^2+2x+1}\,{\rm d}x = \frac{1}{2}\ln(2x^2+2x+1) -2\,{\rm arctg}\,(2x+1) + C,\ x\in\mathbb R,C\in\mathbb R. @b

 6. Ukažme si integraci funkce @i \dfrac{x^2 - 4 x - 1}{(x + 1)^2(x^2 + 1)} @i, aneb když je ve jmenovateli polynom vyššího stupně než druhého.

Pro jednoduchost již máme jmenovatel v součinovém tvaru. Je nulový pouze pro @i x=-1 @i, proto intervaly, na kterých je integrál z naší funkce definovaný, jsou @i (-\infty,-1) @i a @i (-1,+\infty) @i. Rozklad racionální funkce na parciální zlomky bude tvaru: @b \frac{x^2 - 4 x - 1}{(x + 1)^2(x^2 + 1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+1}. @b Odstraněním zlomků dostaneme @b x^2-4x-1=A(x+1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x+1)^2,\ \forall x\neq -1. @b Upravme @b 0x^3 + x^2-4x-1= (A+C)x^3 + (A+B+2C+D)x^2 + (A+C+2D)x + (A+B+D),\ \forall x\neq -1, @b a porovnejme koeficienty u příslušných mocnin: @b \begin{array}{lrcrrrrrrr}\hbox{u }x^3:&\ 0&=&A&+&&&C&&\\\hbox{u } x^2:&\ 1&=& A&+&B&+&2C&+&D\\\hbox{u } x:&\ -4&=& A&&&+&C&+&2D\\\hbox{u } 1:&\ -1&=& A&+&B&+&&&D\end{array} @b Odečteme-li první rovnici od třetí, získáme @i D=-2@i. Po jeho dosazení @b \begin{array}{rrrrrrr}0&=&A&+&&&C&&\\ 3&=& A&+&B&+&2C&\\0&=& A&&&+&C\\1&=& A&+&B&&\end{array} @b Odečteme-li čtvrtou rovnici od druhé, dostaneme @i C=1 @i. Třetí rovnici můžeme vynechat (protože je totožná s první) a opět dosadíme za @i C @i: @b \begin{array}{rrrrr}-1&=&A&&\\ 1&=& A&+&B\\1&=& A&+&B\end{array} @b Vidíme, že @i A=-1 @i, a tudíž @i B=2 @i.

Užitečná poznámka: Zkuste si tuto soustavu rovnic vyřešit pomocí Gaussovy eliminační metody.

Získali jsme rozklad na parciální zlomky @b \frac{x^2 - 4 x - 1}{(x + 1)^2(x^2 + 1)} = \frac{-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^2} + \frac{x-2}{x^2+1}, @b který použijeme při integraci: @b \begin{align*}\int\frac{x^2 - 4 x - 1}{(x + 1)^2(x^2 + 1)}\,{\rm d}x &= \int\frac{-1}{x+1}\,{\rm d}x + \int \frac{2}{(x+1)^2}\,{\rm d}x + \int \frac{x-2}{x^2+1}\,{\rm d}x =-\ln|x+1|-\frac{2}{x+1} + \frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}\,{\rm d}x - 2\int\frac{1}{x^2+1}\,{\rm d}x \\&= -\ln|x+1|-\frac{2}{x+1} + \frac{1}{2} \ln(x^2+1)-2\,{\rm arctg}\,x + C,\ x\in (-\infty,-1) \hbox{ nebo } (-1,+\infty),C\in\mathbb R.\end{align*} @b