Tečna ke grafu funkce
Tečna ke grafu funkce
Teoretické minimum
Předpokládejme, že funkce @if@i má v bodě @ix_0@i vlastní derivaci @if'(x_0)@i. Potom tečna ke grafu funkce @if@i v bodě @i\big(x_0,f(x_0)\big)@i má rovnici
@by-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).@b
Související
Derivace funkce, rovnice přímky.
Řešené příklady
1. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce @if(x)=x\cdot\cos x\,@i v bodě @i\big(0,f(0)\big).@i
Funkční hodnota v bodě nula je @if(0)=0@i. K určení rovnice tečny potřebujeme ještě znát hodnotu @if'(0)@i. Spočtěme první derivaci funkce @if@i: @bf'(x)=\cos x-x\cdot\sin x,@b a tudíž @if'(0)=1.@i Rovnice tečny je tedy @by-0=1\cdot(x-0)@b neboli
@by=x.@b
Užitečná poznámka: Není třeba převádět směrnicový tvar rovnice tečny na obecnou rovnici @ix-y=0@i.
2. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce @if@i v bodě @i\big(2,f(2)\big)@i, kde
@b f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} \sqrt[3]{1-x}, &x\geq0,\\{\rm e}^{2x-1}, & x<0. \end{array} \right. @b
Hodnota funkce @if@i v bodě @ix_0=2@i je dána předpisem @i\sqrt[3]{1-x}@i, tj. @i\,f(2)=\sqrt[3]{-1}=-1@i. Pro všechna @ix>0@i je @bf'(x)=-\,\frac{1}{3\sqrt[3]{(1-x)^2}}\quad\Longrightarrow\quad f'(2)=-\,\frac 13.@b Rovnice tečny je
@b y+1=-\frac{1}{3}(x-2),@b
neboli
@by=-\,\frac x3-\frac 13.@b
3. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce @if(x)=\sqrt{x-1}@i, která je rovnoběžná s přímkou danou rovnicí @i\,y=\dfrac{x}{2}-7.@i
V tomto příkladě nemáme na rozdíl od předchozích úloh zadán bod dotyku @i\big(x_0,f(x_0)\big)@i, kdy @ix_0\in\mathcal{D}(f)=[1,\infty).@i Namísto toho víme, že hledaná tečna je rovnoběžná s přímkou danou rovnicí @i\,y=\frac x2-7@i. To znamená, že obě
přímky mají stejnou směrnici @ik=\frac 12@i. Uvědomme si, že směrnice tečny je rovna derivaci funkce @if@i v bodě @ix_0@i, tj. @bk=f'(x_0).@b Do rovnice pro @ix@i-ovou souřadnici bodu dotyku @ix_0@i dosadíme @ik=\frac 12@i a @i f'(x_0)=\frac{1}{2\sqrt{x_0-1}}@i.
Tedy
@b\frac{1}{2}=\frac{1}{2\sqrt{x_0-1}}.@b
Rovnice je ekvivalentní s rovnicí
@b\sqrt{x_0-1}=1.@b
Pro @ix_0>1@i můžeme obě strany rovnice umocnit a dostáváme
@bx_0-1=1,@b
neboli
@bx_0=2.@b
Nyní vypočteme @iy@i-ovou souřadnici bodu dotyku, tj. @if(x_0)=f(2)=1@i. Hledaná tečna prochází bodem @i(2,1)@i a její rovnice je
@by-1=\frac{1}{2}(x-2),@b
neboli
@by=\frac x2.@b
Neřešené příklady
- Najděte rovnici tečny ke grafu funkce @if(x)=x\cdot\ln x@i v jeho průsečíku s osou @ix.@i
- Určete rovnici tečny ke grafu funkce@b f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} \ln x, &x>0,\\x\cdot{\rm arctg}\,x, & x\leq0 \end{array} \right. @b v bodě @i\big(-1,f(-1)\big).@i
- Určete rovnici tečny ke grafu funkce @if(x)=-1-\dfrac{1}{1-3x}@i v bodě @i\left(\frac{2}{3},f(\frac 23)\right).@i Graf funkce @if@i a tečnu nakreslete do jednoho obrázku.
