Konvexní a konkávní funkce
Konvexní a konkávní funkce
Teoretické minimum
Spojitou funkci @if@i na intervalu @iI@i nazveme konvexní na @iI@i, jestliže pro libovolnou trojici bodů @ix_1<x_2<x_3\in I@i platí, že bod @iP_2=(x_2,f(x_2))@i leží nad nebo na přímce spojující body @iP_1=(x_1,f(x_1))@i a @iP_3=(x_3,f(x_3))@i. Obdobně definujeme funkci konkávní na @iI@i tak, že pro libovolnou trojici @ix_1<x_2<x_3@i platí, že bod @iP_2@i (definovaný stejně jako v předchozím) leží pod nebo na úsečce spojující body @iP_1@i a @iP_3@i. Jestliže bod @iP_2@i leží vždy pod (respektive vždy nad) úsečkou spojující @iP_1@i a @iP_3@i, nazýváme funkci ryze konvexní (respektive ryze konkávní) na intervalu @iI@i.
Obrázek nahoře: konvexní funkce, obrázek dole: konkávní funkce.
Platí: Nechť @if@i má na intervalu @iI@i všude druhou derivaci. Potom:
- jestliže @if''(x)\geq 0@i pro všechna @ix\in I@i, pak je funkce @if@i konvexní na @iI@i
- jestliže @if''(x)\leq 0@i pro všechna @ix\in I@i, pak je funkce @if@i konkávní na @iI.@i
Jak je vidět, body podezřelé ze změny konvexity a konkávity pro spojitou funkci jsou takové body @ix@i, kde:
- @if''(x)@i neexistuje
- @if''(x)=0@i
- body, které nejsou součástí definičního oboru.
Jestliže @ix_0\in\mathcal{D}(f)@i je bod, v němž má @if@i derivace a v němž se funkce mění z konvexní na konkávní nebo naopak, říkáme, že @if@i má v tomto bodě inflexi, neboli že bod @i(x_0,f(x_0))@i je inflexní bod.
Pomocí druhé derivace funkce můžeme také rozhodnout, zda má daná funkce v bodě @ix_0@i lokální extrém. Předpokládejme, že v @ix_0@i má funkce @if@i vlastní derivaci @if'(x_0)=0@i. Potom, jestliže
- @if''(x_0)>0,@i pak má funkce @if@i v bodě @ix_0@i lokální minimum
- @if''(x_0)<0,@i pak má funkce @if@i v bodě @ix_0@i lokální maximum
- @if''(x_0)=0,@i pak nelze rozhodnout o lokálním extrému.
Související
Vlastnosti funkcí, derivace funkce.
Řešené příklady
1. Určete maximální intervaly konvexity a konkávity a inflexní body funkce @if(x)=-\ln\frac{1}{x^2}.@i
Definiční obor funkce @if@i je @i\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.@i Pro určení intervalů konvexity a konkávity potřebujeme spočítat druhou derivaci funkce @if:@i
@if'(x)=\frac{2}{x},@i
@if''(x)=-\frac{2}{x^2}.@i
Druhá derivace je všude nenulová, jediný bod podezřelý ze změny konvexinty a konkávity je tedy pouze bod @ix=0,@i který je krajním bodem definičního oboru. Znaménko druhé derivace a intervaly konvexity (označeno @i\bigcup@i) a konkávity (označeno @i\bigcap@i) jsou shrnuty v následující tabulce:
@b\begin{array}{|c|c|c|}\hline x&(-\infty,0)&(0,\infty)\\ \hline f''(x)&-&-\\ \hline f(x) &\bigcap&\bigcap\\ \hline\end{array}@b
Z této tabulky vidíme, že funkce @if@i je konkávní na intervalu @i(-\infty, 0)@i i na intervalu @i(0,\infty).@i Funkce nemá žádné inflexní body, neboť se konvexita a konkávita nemění.
Důležitá poznámka: Stejně jako u intervalů monotonie, ani u hledání intervalů konvexity a konkávity zásadně nesjednocujeme intervaly se stejným chováním funkce. Jak ukazuje graf funkce z příkladu 1, obecně nemusí být funkce konkávní na sjednocení dvou intervalů, na nichž obou konkávní je. To samé samozřejmě platí i pro intervaly, kde je funkce konvexní.
2. Určete maximální intervaly konvexity a konkávity a inflexní body funkce @if(x)=\frac{x}{\ln x}.@i
Definiční obor funkce @if@i je @i\mathcal{D}(f)=(0,1)\cup(1,\infty).@i Pro určení intervalů konvexity a konkávity potřebujeme spočítat druhou derivaci funkce @if:@i
@if'(x)=\left(\frac{x}{\ln x}\right)'=\frac{1\cdot\ln x-x\frac{1}{x}}{\ln^2x}=\frac{\ln x-1}{\ln^2x},@i
@if''(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot\ln^2x-(\ln x-1)\cdot2\ln x\cdot\frac{1}{x}}{\ln^4x}=\frac{2-\ln x}{x\cdot\ln^3x}.@i
Body podezřelé ze změny konvexity a konkávity jsou body @ix=1,@i který není součástí definičního oboru, a @ix,@i kde je @if''(x)=0.@i Tímto bodem je bod @ix={\rm e}^2@i, neboť @i2-\ln x=0\ \Leftrightarrow\ x={\rm e}^2.@i Víc podezřelých bodů není. Znaménko druhé derivace a tomu odpovídající konvexita, resp. konkávita jsou shrnuty v tabulce:
@b\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x&(0,1)&(1,{\rm e}^2)&({\rm e}^2,\infty)\\ \hline f''(x)&-&+&-\\ \hline f(x) &\bigcap&\bigcup&\bigcap\\ \hline\end{array}@b
Znaménka v jednotlivých intervalech jsem získali dosazením jednoho bodu, který do daného intervalu náleží. Pokud se ve funkci objeví logaritmus, může být problém znaménko určit. V takovém případě doporučujeme volit mocniny základu logaritmu. Takové logaritmy se dobře vyčíslují a navíc víme, kde které body leží, neboť logaritmus je ryze monotónní funkce. Například v našem příkladu 2 můžeme v intervalu @i(0,1)@i volit bod @i{\rm e}^{-1}=\frac{1}{e}@i, potom @i\ln{\rm e}^{-1}=-1@i v intervalu @i(1,{\rm e}^2)@i bod @i{\rm e}@i a v intervalu @i({\rm e}^2,\infty)@i bod @i{\rm e}^3@i, protože @i\ln{\rm e}^3=3.@i Druhou možností jak vyšetřit znaménko druhé derivace, je určit zvlášť znaménko čitatele a jmenovatele načrtnutím příslušných grafů.
Z tabulky vyčteme, že funkce @if@i je konkávní na intervalech @i(0,1)@i a @i({\rm e}^2,\infty)@i a konvexní na intervalu @i(1,{\rm e}^2). @i Bod @i({\rm e}^2,\frac{{\rm e}^2}{2})@i je inflexní bod, neboť v @i{\rm e}^2@i se mění konvexita na konkávitu. V bodě @i1@i žádná inflexe není, i když se zde mění konkávita na konvexitu, a to z toho důvodu, že bod @i1@i není součástí definičního oboru.
3. Rozhodněte, zda má funkce @if(x)=x^2+x-{\rm e}^x@i v bodě @ix_0=0@i lokální extrém.
Definiční obor funkce @if@i je @i\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}@i, tedy bod @ix_0@i je součástí definičního oboru. a není jeho krajním bodem. Chceme-li zjistit, zda má funkce @if@i v bodě @ix_0@i lokální extrém, potřebujeme tedy spočítat @if'(x_0)@i, neboť nutnou podmínkou k tmou, aby v tomto bodě byl lokální extrém je, že derivace v něm neexistuje, nebo je nulová (není krajním bodem definičního oboru). První derivace je @bf'(x)=2x+1-{\rm e}^x.@b Zjevně je @if'(0)=0.@i Nyní bychom potřebovali zjistit znaménko první derivace na levém a pravém okolí bodu @i0.@i Obvykle řešíme tuto úlohu tak, že zjistíme všechny body, kde se mění znaménko první derivace. Ty nám, jak víme, určují intervaly, kde se znaménko @if'(x)@i nemění, a tudíž se na nich nemění ani monotonie funkce @if@i. Potom už stačí dosadit jeden bod z každého intervalu a typ monotonie je zřejmý.
Bohužel, v tomto příkladu nejsme schopni určit explicitně všechna řešení rovnice @b2x+1-{\rm e}^x=0@b a nemůžeme tedy zaručit, že dosadíme bod, který leží bezprostředně v pravém, resp. levém intervalu okolo bodu @i0@i. Můžeme ovšem využít druhé derivace, jak se píše v tvrzení bezprostředně před odstavcem řešených příkladů. Druhá derivace funkce @if@i je @if''(x)=2-{\rm e}^x@i. V bodě @ix_0=0@i je druhá derivace rovna @if''(0)=1,@i tedy je kladná, a tudíž má funkce @if@i v bodě @i0@i lokální minimum.
Neřešené příklady
- Určete maximální intervaly konvexity a konkávity a inflexní body funkce @if(x)=\sqrt[3]{x^3-1}.@i
- Určete maximální intervaly konvexity a konkávity a inflexní body funkce @if(x)={\ln x^2}+x^2.@i
- Určete maximální intervaly konvexity a konkávity a inflexní body funkce @if(x)=\frac{x}{\ln x}.@i
- Je funkce @if=\ln(|{\rm e}^x-1|)@i konvexní na intervalu @iI=(-\infty,0)@i?
- Rozhodněte, zda má funkce @if(x)={\rm e}^x(|2x-1|+1)@i v bodech @ix_0=0@i a @ix_0=1@i lokální extrém, popřípadě jaký.
