Logo OPVVV

Teoretické minimum

Pravidla pro výpočet derivace

Pro derivaci součtu, součinu, podílu a složené funkce platí následující pravidla:

  1. @i(c\cdot f(x))'=c\cdot f'(x),@i kde @ic\in\mathbb{R}@i je konstanta
  2. @i (f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)@i
  3. @if(x).g(x)'=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)@i
  4. @i\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}@i
  5. @i\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))\cdot g'(x)@i


Tabulka derivací elementárních funkcí

@b\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline f(x)&f'(x)&&f(x)&f'(x)\\ \hline\hline c&0&&\sin x&\cos x\\ \hline x^n&nx^{n-1}&&\cos x&-\sin x\\ \hline\frac{1}{x^n}&\frac{-n}{x^{n+1}}&&{\rm tg}\, x&\frac{1}{\strut\cos^2x}\\ \hline\sqrt{x}&\frac{1}{2\sqrt{x}}&&{\rm cotg}\, x&\frac{-1}{\sin^2 x}\\ \hline a^x&a^x\ln a&&\arcsin x&\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \hline e^x&e^x&&\arccos x&\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \hline\log_ax&\frac{1}{x\ln a}&&{\rm arctg}\, x&\frac{1}{1+x^2}\\ \hline\ln x&\frac{1}{x}&&{\rm arccotg}\, x&\frac{-1}{\strut 1+x^2}\\ \hline\end{array}@b

Platí: Nechť funkce @if@i je spojitá zleva v bodě @ix_0.@i Označme @if'(x)@i derivaci funkce na levém okolí bodu @ix_0@i. Potom platí:

@bf'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}f'(x)@b

pokud tato limita existuje. Analogické tvrzení platí pro spojitost a derivaci zprava.

Tohoto tvrzení budeme využívat zejména při určování derivací po částech zadaných funkcí v bodě, kde se mění předpis dané funkce.


Související

Operace s funkcemi, derivace funkce.


Řešené příklady

1. Spočtěte derivaci funkce @if(x)=3x^2-\log x@i. Určete definiční obory @if@i a @if'.@i

Kombinací 2. a 1. pravidla obdržíme derivaci této funkce:

@b(3x^2-\log x)'=(3x^2)'-(\log x)'=3(x^2)'-(\log x)'=3\cdot 2\cdot x^1-\frac{1}{x\ln10}=6x-\frac{1}{x\ln10}.@b

Definiční obor funkce @if@i je @i\mathcal{D}(f)=(0,\infty)@i a tudíž i definiční obor její derivace je @i\mathcal{D}(f')=(0,\infty).@i

Pozor, častá chyba: Derivace funkce je pevně spojena s původní funkcí @if.@i Vezmeme-li obecnou funkci @ig(x)= 6x-\frac{1}{x\ln10}@i, pak její maximální definiční obor je @i\mathcal{D}(g)=\mathbb{R}\setminus\{0\}@i. Ale jakožto derivace původní funkce @if@i nemůže být definována na množině @i(-\infty,0)@i neboť ani funkce @if@i na této množině není definována.


2. Spočtěte derivaci funkce @if(x)=-\cos x\cdot {\rm e}^x@i.

Kombinací 3. a 1. pravidla obdržíme derivaci této funkce:

@b(-\cos x \cdot {\rm e}^x)'=(-\cos x)'\cdot{\rm e}^x+(-\cos x)\cdot({\rm e}^x)'=-(-\sin x)\cdot{\rm e}^x-\cos x\cdot{\rm e}^x=\sin x\cdot{\rm e}^x-\cos x\cdot{\rm e}^x@b

Užitečná poznámka: Formálně bychom měli vždy, pracujeme-li s nějakou funkcí, u které není dán definiční obor, určit maximální definiční obor (Funkce i derivace z 2. příkladu jsou definovány na celém @i \mathbb{R}@i). U 1. příkladu jsme si ukázali úskalí, která mohou vzniknout v případě derivace, ale protože určování definičních oborů není předmětem této kapitoly, nebudeme ho v dalších příkladech určovat, jen si budeme do budoucna této skutečnosti vědomi.


3. Spočtěte derivaci funkce @if(x)=\frac{{\rm tg}\,x}{x-1}.@i

Pomocí 4. pravidla dostáváme derivaci funkce @if@i:

@b\left(\frac{{\rm tg}\,x}{x-1}\right)'=\frac{({\rm tg}\,x)'(x-1)-{\rm tg}\,x\cdot(x-1)'}{(x-1)^2}=\frac{\frac{1}{\cos^2x}\cdot(x-1)-{\rm tg}\,x\cdot1}{(x-1)^2}.@b

Užitečná poznámka: Většinou, zejména máme-li s derivací dále pracovat, se snažíme uvést ji do co nejjednoduššího tvaru. V tomto případě bychom mohli například upravit konečný výraz tak, aby neobsahoval složený zlomek. Vždy je ovšem třeba si uvědomit, zda to skutečně situaci zjednoduší (musíme zvážit riziko chyb u úpravy, nebo například při počítačových výpočtech riziko kumulování chyb zaokrouhlení). V tomto případě se v podstatě o zjednodušení nejedná, proto necháme výraz v tomto tvaru.


4. Spočtěte derivaci funkce @if(x)=\sqrt[4]{x^7}+x^{-\frac{9}{15}}.@i

Výraz @i\sqrt[4]{x^7}@i může být přepsán jako @ix^{\frac{7}{4}}.@i Funkce @if@i je součtem dvou funkcí, tedy použitím 2. pravidla o derivaci součtu a vzorce @i(x^n)'=n\cdot x^{n-1}@i dostáváme, že 

@bf'(x)=(x^{\frac{7}{4}}+x^{-\frac{9}{15}})'=\frac{7}{4}x^{\frac{3}{4}}-\frac{9}{15}x^{-\frac{24}{15}}=\frac{7}{4}x^{\frac{3}{4}}-\frac{3}{5}x^{-\frac{8}{5}}.@b

Derivace složené funkce - řešené příklady

Derivace složené funkce je nejobtížnější z mechanického derivování podle vzorců. Je nutné si uvědomit, že už například funkce @if(x)={\rm e}^{-x}@i je funkcí složenou z exponenciální funkce @i{\rm e}^x@i a lineární funkce @i-x@i. Obdobně, použijeme-li elementární funkci na "násobek" @ix@i (například @i\cos(2x)@i), jedná se také o funkci složenou. V případě derivací složené funkce je tedy třeba být obezřetný a věnovat dost času procvičení, aby se nám tato partie dostatečně zmechanizovala.


5. Spočtěte derivaci složené funkce @ih(x)={\rm e}^{-2x}@i.

K derivaci této funkce využijeme 5. pravidlo. Je třeba si uvědomit, co je vnější a co vnitřní funkce. Vnější funkce, označme ji @if@i, je funkce @if(x)={\rm e}^x@i a vnitřní funkce @ig@i je funkce @ig(x)=-2x.@i 

  • Podle 5. pravidla nejprve spočtěme @if'\bigl(g(x)\bigr)@i: Nejdříve najdeme derivaci vnější funkce @if'(x)={\rm e}^x@i. Poté dosadíme místo argumentu @ix@i argument @ig(x)=-2x@i. Celkem tedy máme

@bf'(g(x))={\rm e}^{-2x}.@b

  • Nyní je třeba spočítat derivaci vnitřní funkce @ig'(x)=-2@i.
  • Nakonec, podle 5. pravidla vzniká výsledná derivace složené funkce součinem těchto dvou derivací, celkem tedy dostáváme:

@bh'(x)=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)=-2{\rm e}^{-2x}.@b


6. Spočtěte derivaci funkce @ih(x)=2^{\sqrt{x}}.@i

Zopakujeme (trochu stručněji) postup z předchozího příkladu. Opět si nejdříve uvědomíme, která funkce je vnitřní a která vnější:

  • Vnitřní funkce @ig(x)=\sqrt{x}@i. Její derivace je @ig'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.@i
  • Vnější funkce je funkce @if(x)=2^x@i. Její derivace je @if'(x)=2^x\cdot\ln 2@i a tudíž

@bf'(g(x))=2^\sqrt{x}\cdot\ln 2.@b

Celkově je tedy, dle 5. pravidla derivace zadané funkce @ih@i 

@bh'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=2^\sqrt{x}\cdot\ln 2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}.@b

Funkce, již potřebujeme derivovat, nemusí být složeninou pouze dvou funkcí. Může se skládat z více funkcí. Postup je potom analogický. Jen funkce @ig(x)@i z 5. pravidla je opět funkce složená a aplikujeme na ní stejné pravidlo.  Schematicky lze pravidlo např. pro funkci složenou ze tří funkcí napsat následovně:

@b\left(f(g(h(x))\right)'=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x).@b


7. Spočtěte derivaci funkce @ih(x)=\sqrt[3]{\ln( \cos x)}.@i

Funkce @ih(x)@i je složená z funkcí @if(x)=\sqrt[3]{x}@i a @ig(x)=\ln(\cos x)@i. Proto na ni můžeme aplikovat 5. pravidlo.

  • Derivace vnější @if@i funkce je @if'(x)=\left(x^\frac{1}{3}\right)'=\frac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}}.@i
  • Vnitřní funkce @ig(x)=\ln(\cos x)@i je funkcí složenou a jako takovou ji budeme (již trochu stručněji) derivovat:

@bg'(x)=\frac{1}{\cos x}\cdot(\cos x)'=\frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x).@b

První činitel tohoto výrazu je derivace vnější funkce @i\ln x@i v bodě @i\cos x@i a druhý činitel odpovídá derivaci vnitřní funkce @i\cos x@i.

Celkově tedy lze při derivování složené funkce @ih@i postupovat takto:

@bh'(x)=\frac{1}{3}\cdot \bigl(\ln(\cos x)bigr)^{-\frac{2}{3}}\cdot\bigl(\ln(\cos x)\bigr)'=\frac{1}{3}\cdot \bigl(\ln(\cos x)\bigr)^{-\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{\cos x}\cdot(\cos x)'=-\frac{1}{3}\cdot \bigl(\ln(\cos x)\bigr)^{-\frac{2}{3}}\cdot\frac{1}{\cos x}\cdot\sin x.@b


Derivace funkce po částech zadané

8. Rozhodněte, zda existuje derivace funkce @if(x)=\sqrt{|x-1|}@i v bodě @ix=1.@i

Funkce @if@i má definiční obor @i\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}@i, neboť absolutní hodnota je nezáporná funkce definovaná pro všechna reálná čísla.  V bodě @i1@i se mění znaménko absolutní hodnoty, bude se zde tedy i měnit předpis funkce při odstranění této absolutní hodnoty. Funkci @if@i můžeme zapsat jako po částech zadanou funkci následujícím předpisem:

@b f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x-1},&\quad x\geq1,\\ \sqrt{1-x},&\quad\text{jinak.}\end{array} \right.@b

Dále je @if@i spojitá funkce, neboť je složena ze spojitých funkcí (míněno @i\sqrt{x}@i a @i|x-1|@i, nikoliv @i\sqrt{x-1}@i a @i\sqrt{1-x}@i!!). Pro výpočet jednostranných derivací v bodě @i1@i můžeme tedy využít limity jednostranných derivací funkcí @i\sqrt{x-1}@i a @i\sqrt{1-x}@i. Pro derivaci funkce @if@i platí:

@b f'(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2\sqrt{x-1}},&\quad x>1,\\ -\frac{1}{2\sqrt{1-x}},&\quad x<1\end{array} \right.@b

Tedy

@b\begin{array}{ll}f'_{+}(1)=\lim_{x\to1^+}\ \,\frac{1}{2\sqrt{x-1}}&="\frac{1}{2\cdot0^+}"&=\infty,\\ f'_{-}(1)=\lim_{x\to1^-}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}&="-\frac{1}{2\cdot0^+}"&=-\infty.\end{array}@b

Je vidět, že jednostranné derivace v bodě @i1@i se nerovnají a tedy derivace v bodě @i1@i neexistuje.


9. Spočtěte derivaci funkce 

@b f(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^3-8,&\quad x>2,\\ \frac{1}{\sqrt[3]{1-x}},&\quad 1<x\leq2\end{array} \right.@b

Pro intervaly @i(1,2)@i a @i(2,\infty)@i můžeme vypočítat derivaci pomocí vzorců:

@b f'(x)=\left\{ \begin{array}{l} 3x^2,&\quad x>2,\\ \frac{1}{3\sqrt[3]{(1-x)^4}},&\quad x<2\end{array} \right.@b

Zbývá nám tedy spočítat derivaci v bodě @ix=2@i (pokud existuje). Funkce @if@i je zleva spojitá v bodě @ix=2@i, proto můžeme spočítat derivaci zleva v bodě @i2@i pomocí limity:

@b f'_{-}(2)=\lim_{x\to2^-} \frac{1}{3\sqrt[3]{(1-x)^4}}=\frac{1}{3}.@b

Na druhou stranu funkce @if@i není zprava spojitá v bodě @i2@i (@i\lim_{x\to2^+}f(x)=0\neq f(2)@i), a proto musíme spočítat @if'_+(2)@i z definice:

@bf'_+(2)=\lim_{x\to2^+}\frac{x^3-8-(-1)}{x-2}=\lim_{x\to2^+}\frac{x^3-7}{x-2}="\frac{1}{0^+}"=\infty.@b

Protože @if'_+(2)\neq f'_-(2),@i funkce @if@i nemá v bodě @ix=2@i derivaci.

10. Spočtěte z definice derivaci funkce @if(x)=|x^2-1|@i v bodě @ix=1@i

Jako první si přepíšeme funkci @if@i bez absolutní hodnoty - k tomu potřebujeme znát nulové body, tj. vyřešit rovnici

@bx^2-1=0.@b

Tato rovnice má dva kořeny @ix=-1@i a @ix=1@i a snadno můžeme nahlédnout, že 

@b \begin{array}{l} x^2-1\geq0,&\quad\mbox{pokud } x\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty),\\  x^2-1<0,&\quad \mbox{pokud } x\in(-1,1)\end{array} @b

Odtud už z definice absolutní hodnoty (zopakuj si!) plyne, že

@b f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^2-1,&\quad\mbox{pokud } x\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty),\\  1-x^2,&\quad \mbox{pokud } x\in(-1,1)\end{array}\right. @b

Nyní můžeme spočítat příslušné jednostranné derivace v bodě @i1@i:

@bf_-'(1)=\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^-}\frac{1-x^2-0}{x-1}@b

neboť na levém okolí bodu @ix=1@i je @if(x)=1-x^2@i a @if(1)=0@i.

Celkem tedy máme

@bf_-'(1)=\lim_{x\to1^-}\frac{1-x^2-0}{x-1}=\lim_{x\to1^-}\frac{(1-x)(1+x)}{x-1}=\lim_{x\to1^-}-(1+x)=-2.@b

Analogicky pro derivaci zprava je:

@bf_+'(1)=\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^-}\frac{x^2-1-0}{x-1}=\lim_{x\to1^-}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1^-}(x+1)=2.@b

Vzhledem k tomu, že se jednostranné derivace nerovnají, derivace v bodě @ix=1@i neexistuje. Analogicky bychom se dobrali ke zjištění, že derivace dané funkce neexistuje ani v bodě @ix=-1@i. 

Poznamenejme ještě závěrem, že kdyby nebylo vyžadováno spočtení derivace z definice, mohli bychom, vzhledem ke spojitosti funkce @if,@i spočítat derivaci v bodech @i-1@i a @i1@i jako příslušné jednostranné limity  pro funkci

@b f'(x)=\left\{\begin{array}{l} 2x,&\quad\mbox{pokud } x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty),\\  -2x,&\quad \mbox{pokud } x\in(-1,1)\end{array}\right. @b

Neřešené příklady

Spočtěte derivace následujících funkcí. Neurčujte definiční obory.

  1. @if(x)=3\cos (2x-\frac{\pi}{4})-4^x\cdot\log_2(1-x)-2{\rm e}@i

  2. @if(x)=\frac{\sqrt{1-2x}}{x^2+1}+\frac{\pi}{6}@i

  3. @if(x)={\rm e}^{3x\sin x}-\sqrt{\pi}@i

  4. @if(x)=\sqrt[4]{\ln(2x^2)-2^{\sqrt x}}@i

  5. @i f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \log(x^2-6),&\quad x\geq4,\\ \sqrt[3]{5-x},&\quad x<4\end{array} \right.@i

  6. @if'_+(3)@i pro funkci @if(x)=\left\{ \begin{array}{l} (3-x)^{\frac{1}{5}},&\quad x>3,\\ \log_3(x+6)&\quad x\leq3\end{array} \right.@i

Licence CC BY SA

Naposledy změněno: úterý, 14. června 2022, 21.38