Metoda snížení řádu, okrajové úlohy, další příklady

Řešené příklady

1. Najděme obecné řešení rovnice @i y' + 2y =\sin x @i.

Jedná se o lineární diferenciální rovnici 1. řádu s konstantními koeficienty, navíc se speciální pravou stranou. Můžeme využít jak charakteristickou rovnici pro určení homogenního řešení, tak metodu odhadu pro stanovení řešení nehomogenní rovnice. @b\begin{align*} y' + 2y &=0\\  \lambda + 2 &=0 \\ \lambda &=-2\end{align*}@b @b y_{H}(x) = C \mathrm{e}^{-2x},\: C \in \mathbb R @b Pravá strana rovnice je ve speciálním tvaru @b\sin x = \mathrm{e}^0 (1 \sin x + 0 \cos x ) ,@b tedy @i a=0,\: b=1 ,\:P(x)=1,\:Q(x)=0@i. Číslo @i i @i není kořenem charakteristické rovnice, proto @i k=0 .@i @b\begin{align*} y_{P} &= A \cos x + B \sin x \\ y'_{P}& = -A \sin x + B \cos x, \end{align*}@b a po dosazení do původní rovnice @b\begin{align*} -A \sin x + B \cos x +2 ( A \cos x + B \sin x) &= \sin x\\ (2A+B) \cos x + (2B-A) \sin x &= \sin x.\end{align*}@b Porovnáním koeficientů @b \begin{align*} (2A+B)&=0 \quad \Rightarrow \quad B = -2A\\ (2B-A)&=1 \quad \Rightarrow \quad -5A = 1\end{align*}@b dostaneme @i A =-\frac{1}{5},\:B = \frac{2}{5}.@i Obecné řešení zadané nehomogenní rovnice je @b y(x) = C \mathrm{e}^{-2x} - \frac{1}{5} \cos x + \frac{2}{5} \sin x,\:x\in\mathbb R, \: C \in \mathbb R.  @b Poznámka: K výsledku lze dojít také metodou variace konstanty, ta však vyžaduje výpočet integrálu @i \displaystyle\int {\sin x}\,{\mathrm{e}^{2x}} \,{\rm d}x @i, který je početně náročnější.

2. Najděme řešení počáteční úlohy @i y''  =2\dfrac{y'+1}{x-2}, \:y(1)=0,\:y'(1)=0 @i.

Rovnice má smysl pro @ix\neq 2@i, vzhledem k počáteční podmínce uvažujeme řešení pouze na intervalu @i(-\infty,2)@i. Rovnice neobsahuje explicitně @iy@i, použijeme metodu snížení řádu, označme @i z = y'@i. Nová neznámá funkce @i z @i splňuje rovnici @b z' = 2\dfrac{z+1}{x-2}.@b Rovnice je lineární, ale také separovatelná, přímou separací dostáváme: @b\begin{align*}\int \dfrac{1}{z+1}\,{\rm d}z&= 2 \int \dfrac{1}{x-2} \,{\rm d}x \\[2mm] z+1 &= C_1(x-2)^2\\[2mm] z &= C_1(x-2)^2-1 ,\:C_1\in \mathbb R.\end{align*} @b Pro samotné @iy@i máme @b y = \int z \,{\rm d}x =  \int \big(C_1(x-2)^2-1\big) \,{\rm d}x =  C_1 \dfrac{(x-2)^3}{3} - x + C_2, \:\: C_1,\:C_2 \in \mathbb R. @b Zbývá z obecného řešení vybrat partikulární řešení splňující počáteční podmínky, tedy určit integrační konstanty @iC_1,\:C_2.@i Máme @b\begin{align*} y(1) &=  \dfrac{-C_1}{3}-1+C_2=0\\[2mm] y' ( 1 ) &= z(1) =C_1-1=0,\end{align*}@b odkud @i C_1=1@i a @iC_2= \dfrac{4}{3}@i. Řešením zadané počáteční úlohy je funkce @b y =\frac{(x-2)^3}{3}- x  +\frac{4}{3} ,\:\: x\in(-\infty,2).@b

3. Řešte okrajovou úlohu @i y''+4y = x,\:y(0)=0,\:y(\pi)=0@i.

Jedná se o nehomogenní lineární diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou. Charakteristická rovnice @i\lambda^2 +4 =0@i má dva komplexně sdružené kořeny @i \pm 2i@i. Obecné řešení příslušné homogenní rovnice je @i y_{H}(x) = C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x) ,\:\: C_1,\:C_2 \in \mathbb R.@i Partikulární řešení lze určit metodou odhadu (@i k=0 @i), @b y_{P} = \dfrac{x}{4}, @b odkud dostáváme obecné řešení nehomogenní rovnice ve tvaru @b y(x) = C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x) + \dfrac{x}{4},\:x\in\mathbb R, \: C _1,C_2\in \mathbb R. @b Z okrajových podmínek dostáváme @b\begin{align*} 0=y(0)& = C_1 +0=C_1\quad\Rightarrow \quad C_1=0 \\[2mm] 0=y(\pi)& = C_1 + \frac{\pi}{4}\quad\Rightarrow \quad C_1=-\frac{\pi}{4} . \end{align*}@b Daná okrajová úloha nemá řešení.

Neřešené příklady

1. Určete obecné řešení rovnice @i 2y' + y = x^2.@i
   
   

   Výsledek

   @i y(x) = C {\rm e}^{-\frac{x}{2}} + x^2 - 4 x + 8 ,\:x\in\mathbb R,\: C \in \mathbb R.@i
2. Určete řešení počáteční úlohy @i y'' + \dfrac{y'}{x} = \dfrac{3}{\sqrt{x}},\: y(1)=1,\: y'(1)=0. @i
   
   
   

   Výsledek

   Rovnice má smysl pro @i x>0.@i @b\begin{align*} z&=y' \\[2mm] z' + \dfrac{z}{x} &= \dfrac{3}{\sqrt{x}} \\[2mm] z(x) &= \dfrac{C_1}{x} + 2 \sqrt{x}\end{align*}@b @b y(x) = \int z(x) \,{\rm d}x = \int \Big(\dfrac{C_1}{x} + 2 \sqrt{x}\Big)\,{\rm d}x = C_1 \ln x + \dfrac{4}{3} x\sqrt{x}+ C_2@b @b\begin{align*} y(1) &= \dfrac{4}{3} + C_2 = 1 \quad \Rightarrow\quad C_2 = -\dfrac{1}{3} \\[2mm] y'(1) &= C_1 +2 = 0 \quad \Rightarrow\quad C_1 = -2\end{align*}@b @b y(x) = -2 \ln x + \dfrac{4}{3} x\sqrt x- \dfrac{1}{3}, \:x\in(0,\infty). @b
3. Řešte okrajovou úlohu @i y''= 3,\: y(0)=0, \:y(4)=0 .@i
   
   
   

   Výsledek

   @b y(x) = \dfrac{3}{2}x^2 - 6 x,\:x\in\mathbb{R}. @b