Lineární diferenciální rovnice 1. řádu

Teoretické minimum

• @i b(x)=0 @i pro každé @i x@i, nazýváme rovnici @b y' + a(x)y = 0 \label{homog} \tag{H} @b homogenní
• @i b(x)\neq 0 @i pro nějaké @i x@i , nazýváme rovnici @b y' + a(x)y = b(x) \label{nehomog}\tag{N} @b nehomogenní

Předpokládáme, že funkce @i a,b @i jsou spojité na intervalu @i I @i. Pak každým bodem obdélníka @i \mathcal O=I\times\mathbb R @i prochází právě jedno řešení, které „jde od hranice k hranici“ (je to věta obdobná větě v tématu  Rovnice se separovatelnými proměnnými — úvod). Jeho definičním oborem je vždy celý interval @i I @i! Obecné řešení lineární diferenciální rovnice \eqref{nehomog} je množina @i \{y_C;\, C\in\mathbb R\} @i, kde @b y_C(x) = y_P(x) + y_{H,C}(x),\ x\in I, @b a

• @i y_P @i je partikulární řešení nehomogenní rovnice \eqref{nehomog}
  
• @i y_{H,C} @i je obecné řešení homogenní rovnice \eqref{homog}
  

Tedy libovolné řešení rovnice \eqref{nehomog} získáme jako součet jednoho pevného partikulárního řešení rovnice \eqref{nehomog} a nějakého řešení rovnice \eqref{homog}. Jakmile projdeme všechna řešení rovnice \eqref{homog}, získáme všechna řešení rovnice \eqref{nehomog}.
Užitečná poznámka: Struktura obecného řešení rovnice \eqref{nehomog} je naprosto totožná se strukturou obecného řešení nehomogenní soustavy lineárních algebraických rovnic, což si připomenete v Matematice B, až tyto soustavy budete probírat.

Pro nalezení obecného řešení nehomogenní rovnice \eqref{nehomog} je třeba najít
(A) obecné řešení homogenní rovnice \eqref{homog}
(B) partikulární řešení rovnice \eqref{nehomog}

ad (A) obecné řešení homogenní rovnice @i y' + a(x)y = 0 @i

Povšimněme si, že rovnice je separovatelná, tj. lze ji převést na tvar @i y' = -a(x)y @i. Pro hledání řešení můžeme použít

• algoritmus z části  Rovnice se separovatelnými proměnnými — obecné řešení
• anebo vzoreček @b \varphi_C(x)=C{\rm e}^{-\int a(x)\,{\rm d}x},\ x\in I,C\in\mathbb R.\label{FS}\tag{1}  @b Množina @i \{\varphi_C:\,C\in\mathbb R\} @i je obecné řešení rovnice \eqref{homog} (o správnosti tohoto tvrzení se můžete přesvědčit sami provedením zkoušky).

ad (B) partikulární řešení nehomogenní rovnice @i y' + a(x)y = b(x) @i — variace konstanty

Buď @i  \big\{\varphi_C(x)=C\varphi(x),x\in I;\, C\in\mathbb R\big\} @i obecné řešení homogenní rovnice \eqref{homog}. Jak už pojmenování metody napovídá, budeme „variovat“ konstantu @i C @i — hledejme partikulární řešení rovnice \eqref{nehomog} ve tvaru @b y_P(x)= C(x)\varphi(x),\ x\in I, @b tj. uvažujme konstantu @i C @i jako funkci proměnné @i x @i. Naším úkolem je najít neznámou funkci @i C(x) @i tak, aby funkce @i y_P @i byla řešením rovnice \eqref{nehomog} (vizte kapitolu  Diferenciální rovnice — pojem řešení). Nejprve spočítejme derivaci @i y_P @i @b y_P'(x)= C'(x)\varphi(x)+C(x)\varphi'(x)=C'(x)\varphi(x)-C(x)a(x)\varphi(x), @b kde jsme ve druhé rovnosti využili faktu, že @i \varphi @i je řešením rovnice (H), tj. splňuje @i \varphi'(x)=-a(x)\varphi(x),\ x\in I @i. Dosaďme do rovnice \eqref{nehomog} @b C'(x)\varphi(x)-C(x)a(x)\varphi(x) + a(x)C(x)\varphi(x)=b(x), @b odkud dostáváme rovnici @b C'(x)\varphi(x)=b(x),  @b a protože je funkce @i \varphi @i nenulová, můžeme jí vydělit a získáme rovnici pro derivaci neznámé funkce @i C'(x) @i @b C'(x)=\frac{b(x)}{\varphi(x)},\ x\in I. \label{konst}\tag{2} @b Funkci @i C(x) @i lze obvykle (v příkladech, se kterými se setkáte) integrací najít, a tudíž získat partikulární řešení @i y_P @i.

Užitečná poznámka: Právě odvozený vztah \eqref{konst} pro @i C'(x) @i spolu se vztahem \eqref{FS} pro řešení homogenní rovnice \eqref{homog} je výhodné si zapamatovat a při počítání příkladů používat. Šetří to čas. Ale pozor! Vzorečky nikomu v hlavě moc dlouho nevydrží, pokud je stále nepoužívá, proto je velmi užitečné znát i obecný postup, jak se lineární diferenciální rovnice prvního řádu řeší.

Související

Rovnice se separovatelnými proměnnými, diferenciální rovnice — pojem řešení, derivace a integrace funkce

Řešené příklady

1. Najděte obecné řešení rovnice @b y' -\frac{2y}{x} = x^2. @b

Nejprve si uvědomme, že zadaná rovnice je skutečně lineární: @i a(x)=-\frac{2}{x} @i a @i b(x)=x^2 @i. Funkce @i a @i je spojitá na intervalech @i (-\infty, 0) @i a @i (0,+\infty) @i, funkce @i b @i v @i \mathbb R @i. Budeme mít tedy řešení definovaná jednak na kladné a druhak na záporné @i x @i—ové poloose.

(A) obecné řešení homogenní rovnice @i y' -\dfrac{2y}{x} =0 @i

• buď separace proměnných — převedeme rovnici na tvar @i y'=\dfrac{2y}{x} @i,  řešení budou žít na základních obdélnících
  
  • @i \mathcal O_1 = (-\infty,0)\times \mathbb R @i
  • @i \mathcal O_2=(0,+\infty)\times\mathbb R @i

  Konstatní řešení jsou u tohoto typu rovnic vždy konstantní nuly, tj.
  

  • @i y_{01}(x)=0,\ x\in (-\infty,0) @i
  • @i y_{02}(x)=0,\ x\in (0,+\infty) @i
    

  
  

  Grafy konstantních řešení rozdělí oba obdélníky „napůl“, získáme celkem čtyři obdélníky
  

  • @i \mathcal O_{11} = (-\infty,0)\times (-\infty,0) @i
  • @i \mathcal O_{12}=(-\infty,0)\times (0,+\infty) @i
  • @i \mathcal O_{21} = (0,+\infty)\times (-\infty,0) @i
  • @i \mathcal O_{22}=(0,+\infty)\times (0,+\infty) @i

  
  

  Na každém ze čtyř obdélníků uděláme separaci proměnných @b \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \frac{2y}{x}\ \Rightarrow\ \frac{{\rm d}y}{y}=\frac{2\,{\rm d}x}{x}. @b Zintegrujeme @b \ln \big|y(x)\big|= 2\ln |x| + C,\ C\in\mathbb R, @b a odstraníme logaritmus (zdůvodněte si, proč je tato úprava ekvivalentní) @b \big|y(x)\big| = {\rm e}^{2\ln |x| + C}={\rm e}^{\ln x^2 + C} = {\rm e}^C{\rm e}^{\ln x^2}={\rm e}^Cx^2=C_1 x^2, @b kde jsme označili @i C_1:={\rm e}^C @i. Podle toho, na kterém obdélníku hledáme obecné řešení, odstraníme absolutní hodnotu a dostaneme
  

  • na @i \mathcal O_{11} @i: @i y(x)=-C_1x^2,\ x\in (-\infty,0),C_1>0, @i
  • na @i \mathcal O_{12} @i: @i y(x)=C_1x^2,\ x\in (-\infty,0),C_1>0, @i
  • na @i \mathcal O_{21} @i: @i y(x)=-C_1x^2,\ x\in (0,+\infty),C_1>0, @i
  • na @i \mathcal O_{22} @i: @i y(x)=C_1x^2,\ x\in (0,+\infty),C_1>0. @i

  Definujeme-li @b K:=\left\{ \begin{array}{ccl} -C_1 & , & \textrm{na}\ \mathcal O_{11}\ \textrm{a}\ \mathcal O_{21},\\ C_1 & , & \textrm{na}\ \mathcal O_{12}\ \textrm{a}\ \mathcal O_{21},\\ 0 & , & \textrm{pokud jde o konstantní řešení}, \end{array}\right. @b můžeme napsat všechna řešení jednou formulí @b \varphi_K(x)=Kx^2,\ K\in\mathbb R, @b buď na intervalu @i (-\infty,0) @i, anebo na @i (0,+\infty) @i.
  

• anebo ze vzorečku @b \varphi_C(x)=C{\rm e}^{-\int a(x)\,{\rm d}x}=C{\rm e}^{\,\int \frac{2}{x}\,{\rm d}x}=C{\rm e}^{2\ln |x|}=C{\rm e}^{\ln x^2}=Cx^2,\ C\in\mathbb R,  @b kde @i x\in (-\infty,0) @i nebo @i x\in (0,+\infty) @i. Získali jsme obecné řešení @i  \{\varphi_C;\,C\in\mathbb R\} @i naší homogenní rovnice na intervalech @i x\in (-\infty,0) @i a @i x\in (0,+\infty) @i (srovnej s výsledkem získaným separací).
  

• buď přímým výpočtem — zderivujeme kandidáta @b  y_P(x)=C'(x)x^2 + 2C(x)x @b a dosadíme do nehomogenní rovnice @b C'(x)x^2 + 2C(x)x - \frac{2C(x)x^2}{x}=x^2\ \Rightarrow\  C'(x)x^2=x^2. @b Vydělíme @i x^2 @i (což můžeme udělat, neb @i x\neq 0 @i) @b C'(x) = 1 @b a integrací obdržíme @b C(x)=\int 1\,{\rm d}x = x.  @b Užitečná poznámka: V tomto případě není potřeba psát integrační konstantu @i L @i, neb člen @i Lx^2 @i bychom z partikulárního řešení přesunuli do obecného řešení homogenní rovnice.
  Partikulární řešení je @b y_P(x)= x\cdot x^2=x^3 @b pro @i x\in (-\infty,0) @i, či @i x\in (0,+\infty) @i.
  
• anebo dosazením a využitím vztahu (1) @b C'(x)=\frac{x^2}{x^2}. @b Tuto úlohu jsme ale právě vyřešili při přímém výpočtu.

Obecné řešení naší rovnice je tedy množina @i \{y_{1,C_1},y_{2,C_2};\, C_1,C_2\in\mathbb R\} @i, kde @b y_{1,C_1}(x)= x^3 + C_1x^2,\ x\in(0,+\infty),\quad {\rm a}\quad y_{2,C_2}(x)= x^3 + C_2x^2,\ x\in(-\infty,0).  @b

2. Najděte řešení počáteční úlohy @b \left\{ \begin{array}{ccc} y' -2xy & = &2(x-x^3),\\ y(1) & = & 2, \end{array} \right. @b

Rovnice je opět lineární, protože je požadovaného tvaru s  @i a(x)=-2x @i, @i b(x)=2(x-x^3) @i. Funkce @i a,b @i jsou definované pro všechna @i x\in\mathbb R @i, takže grafy řešení budou „žít“ v celém @i \mathbb R^2 @i. Pro hledání řešení zvolme dosazování do vzorců.

(A) obecné řešení @i \{\varphi_C;\,C\in\mathbb R\} @i homogenní rovnice @i y' -2xy  =0 @i je @b \varphi_C(x)=C {\rm e}^{\,\int 2x\,{\rm d}x}=C {\rm e}^{x^2},\ x\in\mathbb R, C\in\mathbb R. @b

(B) partikulární řešení nehomogenní rovnice @i y' -2xy  = 2(x - x^3) @i — variace konstanty
Kandidát na řešení je  tvaru @i y_P(x)=C(x){\rm e}^{x^2},\ x\in\mathbb R @i. Funkci @i C(x) @i spočteme ze vztahu \eqref{konst} @b C'(x)=\frac{2(x-x^3)} {{\rm e}^{x^2}}=2(x-x^3){\rm e}^{-x^2}. @b Integrací substitucí @i \left|\begin{align*} t&=  x^2\\ {\rm d}t&=  2x\,{\rm d}x \end{align*} \right| @i, a pak per partes @i \left|\begin{array}{lll} u= 1-t &\rightarrow & u'=-1\\ v '= {\rm e}^{-t}&\rightarrow & v=-{\rm e}^{-t}  \end{array}\right|, @i dostaneme @b \begin{align*}C(x)&=\int 2(x-x^3){\rm e}^{-x^2}{\rm d}x = \int (1-x^2){\rm e}^{-x^2}2x\,{\rm d}x =\int (1-t){\rm e}^{-t}{\rm d}t= (t-1){\rm e}^{-t}-\int {\rm e}^{-t}{\rm d}t=(t-1){\rm e}^{-t}+{\rm e}^{-t}\\&=t{\rm e}^{-t}=x^2{\rm e}^{-x^2},\ x\in\mathbb R.\end{align*} @b Partikulární řešení nehomogenní rovnice je tedy @b y_P(x) = x^2{\rm e}^{-x^2}{\rm e}^{x^2}=x^2,\ x\in\mathbb R. @b A proto obecné řešení naší rovnice je množina funkcí @b y_C(x)=x^2+C{\rm e}^{x^2},\ x\in\mathbb R, C\in\mathbb R. @b My však hledáme jedno konkrétní řešení splňující počáteční podmínku @i y(1) = 2 @i. Příslušné @i C @i určíme z rovnice pro @i y_C @i dosazením počáteční podmínky: @b 2=1+C{\rm e}^1\ \Rightarrow\ C=\frac{1}{{\rm e}}. @b A tak řešením naší úlohy je funkce @b y(x) = x^2 +{\rm e}^{x^2-1} ,\ x\in\mathbb R. @b Jeho integrální křivka je

Užitečná poznámka: Pokud se chcete přesvědčit, že jste našli správné řešení, je dobré udělat zkoušku. Jak se ověřuje, že daná funkce je řešením nějaké diferenciální rovnice, jsme si podrobně vysvětlili v části  Diferenciální rovnice — pojem řešení.

Neřešené příklady

1. Najděte obecné řešení rovnice @i y' + y\,{\rm tg}\, x  = 4\,{\rm tg}\,x @i na intervalu @i \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) @i, jako lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Je tato rovnice separovatelná? Pokud ano, úlohu vyřešte i separací proměnných. Proveďte zkoušku správnosti nalezeného řešení.



Výsledek

@i y(x) = 4+C\cos x, \ x\in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right), C\in\mathbb R @i. Je separovatelná.
2. Najděte řešení diferenciální rovnice @i y'=2x({\rm e}^{-x^2}-y) @i, jehož integrální křivka prochází bodem @i (0,3) @i.



Výsledek

@i y(x) = {\rm e}^{-x^2}(x^2+3),\ x\in \mathbb R. @i
3. Vyřešte Cauchyovu úlohu @b \left\{ \begin{array}{ccc} y' + \dfrac{y}{x} & = &\dfrac{{\rm arctg}\,x}{x}+\dfrac{1}{1+x^2},\\ y(-1) & = & \dfrac{\pi}{4}. \end{array} \right. @b Udělejte zkoušku.



Výsledek

@i y(x) = {\rm arctg}\,x -\frac{\pi}{2x},\ x\in (-\infty,0). @i
4. Vyřešte počáteční úlohu @b \left\{ \begin{array}{ccc} y' -\dfrac{2y}{x} & = &-\dfrac{3}{x^2},\\ y(-1) & = & 1. \end{array} \right. @b



Výsledek

@i y(x)=\frac{1}{x} + 2x^2,\ x\in (-\infty,0). @i
5. Najděte obecné řešení rovnice @i y' = \dfrac{2xy}{1+x^2} +1+x^2 @i.



Výsledek

@i y(x) = (x+C)(1+x^2),\ x\in\mathbb R,C\in\mathbb R. @i