Rovnice se separovatelnými proměnnými — úvod

Teoretické minimum

V této kapitole si řekneme o speciálním druhu diferenciálních rovnic prvního řádu, a to @b y' = g(x)h(y),\label{rce}\tag{S} @b kde

• @i g: (a,b)\rightarrow \mathbb R @i je spojitá funkce pouze nezávisle proměnné @i x @i definovaná na intervalu @i (a,b) @i

• @i h: (c,d)\rightarrow \mathbb R @i  je spojitá funkce pouze závisle proměnné @i y @i definovaná na intervalu @i (c,d) @i
  

Protože na pravé straně rovnice \eqref{rce} je součinem oddělená (separovaná) proměnná @i x @i od proměnné @i y @i, říká se těmto rovnicím rovnice v separovaném tvaru (proměnných). Všechny ostatní rovnice, které lze na tento tvar převést, se nazývají separovatelné.

Věta o existenci a jednoznačnosti řešení

• Buď @i g @i  spojitá funkce na intervalu @i (a,b) @i a @i h @i spojitá a nenulová na intervalu @i (c,d) @i. Pak každým bodem obdélníku @i \mathcal O = (a,b)\times (c,d) @i prochází právě jedna integrální křivka, která jde „od hranice k hranici“.

„Od hranice k hranici“ znamená, že každá integrální křivka začíná a končí na nějaké straně obdélníku @i \mathcal O @i, jak je ilustrováno na Obrázku A:

Obrázek A

•  @i k @i má definiční obor interval @i (a,b_1) @i
• @i l @i má definiční obor celý interval @i (a,b) @i
• @i m @i má definiční obor interval @i (\alpha,\beta) @i

Z toho je vidět, že při určování definičního oboru řešení musíme být velmi pozorní!

Co se za předpokladů věty nemůže stát?

1. Porušení jednoznačnosti — neexistuje bod z @i \mathcal O @i takový, že by se v něm dvě integrální křivky „křížily“ (vizte Obrázek B níže: v bodě
   • @i P @i se křivky @i k_1 @i a @i k_2 @i protínají
   • @i Q @i se křivka @i m @i větví)
     
2. Porušení vlastnosti „od hranice k hranici“ (na Obrázku B v bodě @i R @i končí křivka @i l @i uvnitř obdélníka @i \mathcal O @i)
   

Obrázek B

1. Buď @i c_0\in (c,d) @i takové, že  @i h(c_0) = 0 @i. Pak @i y_{c_0}(x)=c_0,\ x\in (a,b), @i je řešením rovnice \eqref{rce} (ověřte si sami!), nazýváme ho konstantním řešením. Integrální křivku tohoto řešení můžete vidět na Obrázku C:
   
   
   Obrázek C
   
   
2. Buď @i h(y) \neq 0 @i na celém intervalu @i (c,d) @i. Pak na obdélníku @i \mathcal O = (a,b)\times (c,d) @i platí věta o existenci a jednoznačnosti řešení a lze na něm aplikovat algoritmus „separace proměnných“, vizte  Rovnice se separovatelnými proměnnými — obecné řešení.