Diferenciální rovnice — pojem řešení

Teoretické minimum

Než budeme schopni říci, co je diferenciální rovnice, potřebujeme vědět, co je funkce více proměnných.

Buď  @in\in \mathbb N@i a @i M\subset \mathbb R^n@i.   Funkce @i n @i proměnných @i F:M \rightarrow \mathbb R @i je předpis, který každému @i x\in M @i přiřadí právě jedno reálné číslo, tj. @b M \ni x \mapsto F(x)\in\mathbb R. @b

Množina @i M @i se nazývá definiční obor funkce @i F @i a značí se @i \mathcal D(F) @i. Např. funkce

• @i F_1(x,y)=x^2 + y^2 @i s definičním oborem @i  \mathcal D(F_1)=\mathbb R^2 @i je funkce dvou proměnných
•  @i F_2(x,y,z)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + y^2+z^2}} @i s definičním oborem @i  \mathcal D(F_2)=\mathbb R^3\setminus\{(0,0,0)\} @i je funkce tří proměnných
  

Pro naše potřeby lze říci, že diferenciální rovnice @i k@i—tého řádu (@i k\in\mathbb N @i) je rovnice, ve které se vyskytuje reálná funkce jedné proměnné @i f @i, kterou hledáme, spolu s jejími @i k @i derivacemi, tj. @b \begin{equation} F\big(x,f(x),f'(x),\ldots,f^{(k)}(x)\big)=0, \end{equation} \label{rce}\tag{R} @b kde @i F @i je funkce @i k+2 @i proměnných a @i x\in\mathbb R @i. Např.

• @i x f'''(x) + f(x)f'(x) + 2 f(x)=\sin x@i je diferenciální rovnice třetího řádu
• @i f''(x) + x^2 f'(x) + f(x)=0 @i je diferenciální rovnice druhého řádu

Běžně se však takto podrobně diferenciální rovnice nezapisují, není to moc přehledné. Přeznačme neznámou funkci @i f @i symbolem @i y @i a v rovnici vynechme závislost funkce na nezávisle proměnné @i x @i. Pak výše uvedené příklady diferenciálních rovnic mají tvar:

• @i x y''' + y y' - 2 y=\sin x@i
• @i y'' + x^2 y' + y =0 @i
  

Řešením rovnice \eqref{rce} na intervalu @i I\subset \mathbb R @i rozumíme každou funkci definovanou na @i I @i, která splňuje rovnici \eqref{rce} pro všechna @i x\in I @i.

Množinu všech řešení rovnice \eqref{rce} definovaných na intervalu @i I @i nazýváme obecným řešením rovnice \eqref{rce} na intervalu @i I @i. Např. označíme-li @b y_C(x)=C{\rm e}^{\sqrt x},\ x\in (0,+\infty),@b kde @i C\in\mathbb R@i je libovolná konstanta, pak množina @b \big\{y_C(x);\,C\in\mathbb R\big\} @b je obecným řešením rovnice @b \begin{equation} y' = \frac{y}{2\sqrt x} \end{equation} \label{2}\tag{2}@b na intervalu @i (0,+\infty)@i (řešení nalezneme v části  Separovatelné rovnice).

Graf řešení diferenciální rovnice se nazývá integrální křivka. V našem příkladě, pro různé volby konstanty @i C @i dostáváme integrální křivky:

Často však v obecném řešení hledáme takové, které splňuje nějaké podmínky. Nejčastěji se jedná o tzv. počáteční podmínky (později — u diferenciálních rovnic druhého řádu — se stručně zmíníme i o okrajových podmínkách). Počáteční podmínky jsou velmi specifické požadavky na řešení. Zvolíme pevně jeden bod, např. @i x_0\in I@i, a v něm zadáme, jakou funkční hodnotu má mít naše řešení a jeho @i k-1 @i derivací, po řadě třeba @i y_0,y_1,\ldots,y_{k-1}\in\mathbb R@i, tj. počáteční podmínky diferenciální rovnice \eqref{rce} jsou @b f(x_0)=y_0,f'(x_0)=y_1,\ldots, f^{(k-1)}(x_0)=y_{k-1}. @b Všimněte si, že diferenciální rovnice @i k-@itého řádu má @i k @i počátečních podmínek. Řešení diferenciální rovnice splňující počáteční podmínky se nazývá partikulární řešení. V předchozím příkladě může mít rovnice prvního řádu \eqref{2} jednu počáteční podmínku, zvolme si např. @i y(1)=1@i. Ze všech řešení této podmínce vyhovuje funkce (pro hodnotu konstanty @i C={\rm e}^{-1}@i) @b y(x)={\rm e}^{-1} {\rm e}^{\sqrt x}={\rm e}^{\sqrt x -1},\ x\in (0,+\infty),@b (za @i x @i dosaďte do funkce @i y @i jedničku, vyjde vám opět jednička). Našli jsme tedy partikulární řešení, jehož graf prochází bodem @i (1,1) @i:

Zadání úlohy sestávající se z diferenciální rovnice a počátečních podmínek se nazývá počáteční úloha, neboli Cauchyova úloha . V našem příkladě bychom řekli, že funkce @i y(x)={\rm e}^{\sqrt x -1},\ x\in (0,+\infty),@i je řešením počáteční (Cauchyovy) úlohy @b \left\{ \begin{array}{ccc} y' & = & \frac{y}{2\sqrt x},\\ y(1) & = & 1, \end{array} \right. @b na intervalu @i (0,+\infty) @i.

Ověřit, že zadaná funkce je řešením dané diferenciální rovnice bývá podstatně snazší, než hledat řešení oné rovnice. Stačí:

1. Spočítat potřebný počet derivací vyskytujících se v rovnici (a zjistit, jsou-li na zadaném intervalu definované)
   
2. Dosadit funkci a její derivace do levé strany rovnice
3. Dosadit funkci a její derivace do pravé strany rovnice
   
4. Porovnat levou a pravou stranu rovnice, a to pro všechny hodnoty nezávisle proměnné z intervalu @i I @i
5. Ověřit splnění počátečních podmínek, pokud je zadáním počáteční (Cauchyova) úloha

V dalších kapitolách se naučíme řešit tyto typy diferenciálních rovnic:

1. rovnice prvního řádu se separovatelnými proměnnými  Rovnice se separovatelnými proměnnými
   
2. lineární rovnice prvního řádu  Lineární diferenciální rovnice 1. řádu
   
3. lineární rovnice druhého řádu  Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty — metoda odhadu
   

Související

Derivace funkce.

Řešené příklady

1. Je funkce @i y(x)=\dfrac{x}{x+1},\ x\in (-\infty,-1), @i řešením diferenciální rovnice @b x y' -\frac{y}{x+1}=0 @b na intervalu @i (-\infty,-1) @i ?