- @b \int \cos(2x-1)\,{\rm d}x @b
@i \dfrac{1}{2}\sin(2x-1)+C,\ x\in \mathbb R,\ C\in\mathbb R @i
- @b \int_0^{\pi} 2x\cos(2x-1)\,{\rm d}x @b
@i -\pi\sin 1 @i
Užitečná poznámka: Abyste získali výsledek v uvedeném tvaru, je třeba použít součtové vzorce pro goniometrické funkce: @b\begin{align*} \sin(x+y)&=\sin x\cos y + \cos x\sin y\\ \cos(x+y)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y\end{align*}@b
- @b \int x\cos(2x^2-1)\,{\rm d}x @b
@i \dfrac{1}{4}\sin(2x^2-1) + C,\ x\in \mathbb R,\ C\in\mathbb R @i
- @b \int {\rm arctg}\left(\frac{1}{2}x\right){\rm d}x @b
@i x\,{\rm arctg}\left(\dfrac{x}{2}\right)-\ln(x^2+4)+C,\ x\in \mathbb R,\ C\in\mathbb R @i
- @b \int_{-2}^0 \frac{2x^2-8}{x+2}\,{\rm d}x @b
@i -12 @i
Pozor, častá chyba: Uvědomte si, že se jedná o nevlastní integrál kvůli tomu, že integrand je spojitý pouze na polouzavřeném intervalu @i (-2,0] @i!
- @b \int_0^1\frac{\ln^2 x}{x}\,{\rm d}x @b Jaký je geometrický význam tohoto integrálu?
@i +\infty @i
Plošný obsah neomezeného obrazce ohraničeného grafem funkce @i \dfrac{\ln^2 x}{x}@i, osou @i x @i, osou @i y @i a přímkou danou rovnicí @i x=1 @i. Je nekonečný.
- @b \int \frac{x^2 +3}{3x-x^2}\,{\rm d}x @b
@i -x + \ln\dfrac{|x|}{(x-3)^4} + C,\ x\in (-\infty,0) \hbox{ nebo } (0,3) \hbox{ nebo } (3,+\infty),\ C\in\mathbb R @i
- @b \int_{\ln\frac{\pi}{2}}^{\ln\pi} {\rm e}^x\sin {\rm e}^x\,{\rm d}x @b
@i 1 @i
- @b \int \frac{x-5}{x^2-2x+2}\,{\rm d}x @b
@i -4{\,\rm arctg}(x-1) + \dfrac{1}{2}\ln(x^2-2x+2) + C,\ x\in \mathbb R,\ C\in\mathbb R @i
- @b \int (1-x^2)\,{\rm e}^{-x}\,{\rm d}x @b
@i {\rm e}^{-x}(x+1)^2 + C,\ x\in \mathbb R,\ C\in\mathbb R @i
- @b \int_0^1 {\rm arctg}\,\frac{1}{x}\,{\rm d}x @b
@i \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{2}\ln 2 @i
- @b \int_0^{\ln 4} \frac{1}{\sqrt{{\rm e}^x}}\,{\rm d}x @b
@i 1 @i
- @b \int 2x\ln x\,{\rm d}x @b
@i x^2\left(\ln x-\dfrac{1}{2}\right)+C,\ x\in (0,+\infty),\ C\in\mathbb R @i
- @b \int 2x\ln\frac{1-x}{x}\,{\rm d}x @b
@i x^2\ln\dfrac{1-x}{x}-x-\ln(1-x)+C,\ x\in (0,1),\ C\in\mathbb R @i
- @b \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{{\rm cotg}\,x}{\cos^2x-1}\,{\rm d}x @b
@i -\dfrac{1}{2} @i
- @b \int\frac{2x}{1-2x^2}\,{\rm d}x @b
@i -\dfrac{1}{2}\ln\big|1-2x^2\big|+C,\ x\in \left(-\infty,-\dfrac{\sqrt 2}{2}\right) \hbox{ nebo } \left(-\dfrac{\sqrt 2}{2},\dfrac{\sqrt 2}{2}\right) \hbox{ nebo } \left(\dfrac{\sqrt 2}{2},+\infty\right),\ C\in\mathbb R @i
- @b \int (x+1)\,{\rm e}^{1-x}\,{\rm d}x @b
@i -(2+x)\,{\rm e}^{1-x} + C,\ x\in \mathbb R,\ C\in\mathbb R @i
- @b \int_{-1}^1 {\rm e}^{|x|}\,{\rm d}x @b Graf integrandu nakreslete a vysvětlete geometrický význam spočteného integrálu.
@i 2({\rm e}-1) @i
plošný obsah obrazce ohraničeného grafem funkce @i {\rm e}^{|x|} @i, osou @i x @i a přímkami danými rovnicemi @i x=-1 @i a @i x=1 @i
- @b \int_{-\infty}^0 \frac{x-3}{3x-x^2-2}\,{\rm d}x @b
@i +\infty @i
- @b \int \frac{1}{\left(1+x^{\frac{1}{2}}\right)\sqrt x}\,{\rm d}x @b
@i 2\ln\big(1+\sqrt x\big) + C,\ x\in (0,+\infty),\ C\in\mathbb R @i
- @b \int \frac{2^{2x}}{2^x+1}\,{\rm d}x @b
@i \dfrac{1}{\ln 2}\big(2^x-\ln(2^x+1)\big)+C,\ x\in\mathbb R,\ C\in \mathbb R @i
- @b \int_0^{\pi} (1-2x)\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\,{\rm d}x @b
@i -6 @i
- @b \int (1-3x)^5\,{\rm d}x @b
@i -\dfrac{1}{18}(1-3x)^6+C,\ x\in \mathbb R,\ C\in\mathbb R @i
- @b \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{2-\frac{x^2}{2}}}\,{\rm d}x @b
@i \dfrac{\pi}{3\sqrt 2} @i
- @b \int\ln\big(3\,{\rm e}^{2x}\big)\,{\rm d}x @b
@i x\ln 3 + x^2+C,\ x\in\mathbb R,\ C\in\mathbb R @i
- @b \int_{-\infty}^0\frac{1}{3^{-x}+1}\,{\rm d}x @b
@i \dfrac{\ln 2}{\ln 3} @i
- @b \int \frac{x^2}{\sqrt{9+x^3}}\,{\rm d}x @b
@i \dfrac{2}{3}\sqrt{9+x^3} + C,\ x\in (-\sqrt[3]{9},+\infty),\ C\in\mathbb R @i
- @b \int_{-2}^2 \big(|x-1|+|1+x|\big)\,{\rm d}x @b Nakreslete graf integrandu.
@i 10 @i
- @b \int\frac{2x-1}{2x^2+x-1}\,{\rm d}x @b
@i \ln|x+1|+C,\ x\in (-\infty,-1) \hbox{ nebo } \left(-1,\dfrac{1}{2}\right) \hbox{ nebo } \left(\dfrac{1}{2},+\infty\right);\ C\in\mathbb R @i
- @b \int \frac{2x-1}{x^2+2x+5}\,{\rm d}x @b
@i -\dfrac{3}{2}\,{\rm arctg\,}\dfrac{x+1}{2}+\ln(x^2+2x+5) + C,\ x\in \mathbb R,\ C\in\mathbb R @i
