Posloupnost reálných čísel

Teoretické minimum

Posloupností reálných čísel rozumíme nekonečný sled reálných čísel, kdy každému číslu přiřadíme pořadí - první člen, druhý člen, @i\ldots,  n@i-tý člen posloupnosti, atd. Přesněji, jestliže každému přirozenému číslu @i\, n\,@i přiřadíme reálné číslo @i\,a_n@i, říkáme, že čísla @ba_1, a_2, a_3, a_4,\ldots @b tvoří posloupnost reálných čísel. Nekonečnou posloupnost krátce zapisujeme symbolem 

@b \Bigl\{a_n\Bigr\}^{\infty}_{n=1}\ ,@b případně  @b \Bigl(a_n\Bigr)^{\infty}_{n=1}\,.@b

Číslo @i\,a_n\,@i se nazývá @i\,n@i-tý člen posloupnosti, přirozené číslo @i\,n\,@i se jmenuje index členu   @i\,a_n@i. V posloupnosti zadané výčtem prvních pěti členů @b 1,\dfrac 12,\dfrac 13,\dfrac 14,\dfrac 15,\ldots @b je první člen posloupnosti číslo @i1@i, druhý člen posloupnosti @i\dfrac 12@i, třetí člen posloupnosti @i\dfrac 13@i, čtvrtý člen posloupnosti @i\dfrac 14@i a je zřejmé, že  @i\,n@i-tý člen posloupnosti je @i\dfrac 1n@i, tj.  @b a_n=\dfrac 1n \ .@b Vzorec, který udává, jak se od indexu @i\,n\,@i dospěje k členu @i\,a_n@i, se nazývá vzorec pro @i\,n@i-tý člen. Pomocí tohoto vzorce přímo určíme  @i\,k@i- tý člen posloupnosti dosazením indexu (pořadového čísla)  @i\,k\,@i za  @i\,n@i.  V posloupnosti zadané výčtem prvních pěti členů @b \dfrac 18,\dfrac 12, 2, 8, 32,\ldots @b je druhý člen posloupnosti čtyřnásobkem prvního členu  @i \,4\cdot \dfrac 18=\dfrac12@i, třetí člen posloupnosti je čtyřnásobkem druhého členu @i\,4\cdot\dfrac 12=2@i atd. Platí tedy, že následující člen je čtyřnásobkem předcházejícího členu, tj.  @b a_{n+1}=4\cdot a_n, \quad a_1=\dfrac 18 \ .@b Vztah, kdy je dán první člen nebo několik prvních členů posloupnosti a pro další členy je dán předpis, jak určit @i\,(n+1)@i-ní člen posloupnosti pomocí předcházejícího nebo předcházejících, se nazývá rekurentní vzorec.

Pro zmíněnou posloupnost @i \left\{\dfrac 1n\right\}^{\infty}_{n=1}\,@i zřejmě platí, že následující člen je menší než předcházející. Posloupnost se nazývá klesající a platí, že pro každé přirozené  @i\,n\,@i je @ba_n>a_{n+1}.@b Pro posloupnost @i\, a_{n+1}=4\cdot a_n, \ a_1=\dfrac 18 \,@i naopak platí, že následující člen je větší než předcházející. Posloupnost se nazývá rostoucí a  platí, že pro každé přirozené  @i\,n\,@i je @ba_n<a_{n+1}.@b

Související

Limita posloupnosti.

Řešené příklady

Napište první čtyři členy posloupnosti @i\, \left\{\left(-\,\dfrac 12\right)^n+1\right\}^{\infty}_{n=1} @i .

Posloupnost je zadaná vzorcem pro @i\,n@i-tý člen. Stačí za @i\,n\,@i dosadit @i\,1, 2, 3, 4@i. @b\begin{array}{rcl} a_1&=&\left(-\,\dfrac 12\right)^1+1=-\,\dfrac 12+1=\dfrac 12\\ a_2&=&\left(-\,\dfrac 12\right)^2+1=\dfrac 14+1=\dfrac 54\\ a_3&=&\left(-\,\dfrac 12\right)^3+1=-\,\dfrac 18+1=\dfrac 78\\ a_4&=&\left(-\,\dfrac 12\right)^4+1=\dfrac 1{16}+1=\dfrac {17}{16}\end{array} @b 

Napište pátý člen posloupnosti @i\  a_{n+1}=a_n+2\,a_{n-1},\ a_1=-5,\ a_2=3 @i .

Posloupnost je zadaná rekurentním vzorcem, kdy následující člen závisí na dvou předcházejících.  Abychom napsali pátý člen posloupnosti, musíme znát čtvrtý a třetí člen. Čtvrtý člen posloupnosti určíme pomocí třetího a druhého atd. V případě rekurentního vzorce tedy musíme vypsat všechny členy, které předcházejí pátému členu.  @b\begin{array}{rcl} a_1&=&-5\\ a_2&=&3\\ a_3&=&3+2\cdot (-5)=3-10=-7\\ a_4&=&-7+2\cdot 3=-7+6=-1\\ a_5&=&-1+2\cdot (-7)=-1-14=-15\end{array} @b  

Najděte pro posloupnost @i\, \bigl\{a_n\bigr\}^{\infty}_{n=1}=\{2,4,6,8,10,\ldots \}\, @i vzorec pro @i\,n@i-tý člen.

Posloupnost je zadaná výčtem pěti prvních členů. Vidíme, že se jedná o sudá přirozená čísla. Tedy @i\, a_n=2 n @i. 

Užitečná poznámka: Posloupnost lichých přirozených čísel @i\,\{1,3,5,7,9\ldots \}\,@i  má vzorec pro @i\, n@i-tý člen  @i a_n=2 n-1 @i.  

Najděte pro posloupnost @i\, \bigl\{a_n\bigr\}^{\infty}_{n=1}=\{1,3,5,7,9,\ldots \}\, @i rekurentní vzorec.

Jde o posloupnost lichých přirozených čísel. Následující obdržíme z předcházejícího tak, že k němu přičteme hodnotu @i\,2\,@i s tím, že první člen posloupnosti je @i\,1@i. Tedy @i\,a_{n+1}=a_n+2@i, kde @i\,a_1=1@i.

 Pozor, častá chyba: Nesmíme zapomenout uvést hodnotu prvního členu.


Rozhodněte, zda je posloupnost @i\, \left\{\sqrt{\dfrac{n+2}{n+1}}\right\}^{\infty}_{n=1} \, @i rostoucí, klesající, nebo ani rostoucí ani klesající.

Posloupnost je zadaná vzorcem pro @i\,n@i-tý člen. Potřebujeme znát vzorec pro následující @i\,(n+1)@i-ní člen. Vzorce upravíme, abychom lépe odhadli, který z nich je větší. 

@in@i-tý člen posloupnosti: @i\, a_n=\sqrt{\dfrac{n+2}{n+1}}=\sqrt{\dfrac{n+1+1}{n+1}}=\sqrt{1+\dfrac 1{n+1}} @i

@i(n+1)@i-ní člen posloupnosti: @i\, a_{n+1}=\sqrt{\dfrac{n+3}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n+2+1}{n+2}}=\sqrt{1+\dfrac 1{n+2}}@i


Je patrné, že následující člen bude menší. Tuto skutečnost je třeba dokázat. Předem poznamenejme, že mocnina na @i\,-1\,@i neboli převrácená hodnota ke kladným číslům je klesající funkce, mění znaménko nerovnosti. Odmocnina je rostoucí funkce, znaménko nerovnosti se nezmění. Pro všechna přirozená čísla @i\,n\,@i  platí:


@b \begin{array}{r c l} n+1&<&n+2\ / \, ^{-1}\\[2mm] \dfrac 1{n+1}&>&\dfrac 1{n+2}\ / +1\\[2mm] 1+\dfrac 1{n+1}&>&1+\dfrac 1{n+2}\ /\, \sqrt{\ \ }\\[2mm] \sqrt{1+\dfrac 1{n+1}}&>&\sqrt{1+\dfrac 1{n+2}}\\[2mm] a_n&>&a_{n+1}. \end{array}@b


Dokázali jsme, že každý následující člen je menší než předcházející, tedy posloupnost je klesající.

Užitečná poznámka: Při  rozhodování, zda je posloupnost rostoucí nebo klesající, se může porovnávat rozdíl dvou po sobě jdoucích členů   @i \,a_{n+1}-a_n\,@i  s nulou. V tomto případě to není výhodné.   

Rozhodněte, zda je posloupnost @i\, \Bigl\{2n^2-3\Bigr\}^{\infty}_{n=1} \, @i rostoucí, klesající, nebo ani rostoucí ani klesající.

Posloupnost je zadaná vzorcem pro @i\,n@i-tý člen. Potřebujeme znát vzorec pro následující @i\,(n+1)@i-ní člen. Porovnáme rozdíl dvou po sobě jdoucích členů s nulou. 

@in@i-tý člen posloupnosti: @i\, a_n=2n^2-3 @i

@i(n+1)@i-ní člen posloupnosti: @i\, a_{n+1}=2(n+1)^2-3=2(n^2+2n+1)-3=2n^2+4n-1@i


rozdíl dvou po sobě jdoucích členů: @i\,a_{n+1}-a_n=2n^2+4n-1-2n^2+3=4n+2@i

Pro všechna přirozená čísla @i\,n\,@i  platí:


@b \begin{array}{r c l} 4n+2&>&0 \\[2mm]  a_{n+1}-a_n&>& 0\\[2mm] a_{n+1}&>&a_n \end{array}@b


Dokázali jsme, že každý následující člen je větší než předcházející, tedy posloupnost je rostoucí.

Neřešené příklady

Rozhodněte, zda je posloupnost @i\, \bigl\{n^2-n!\bigr\}^{\infty}_{n=1} \, @i rostoucí, klesající, nebo ani rostoucí ani klesající.


Výsledek


Připomeňme, že faktoriál čísla @in@i je definován @b n! = 1\cdot2 \cdot \ldots \cdot n,@b tj. @i 1!=1@i, @i2!=2\cdot 1 =2 ,@i @i3! = 3\cdot2\cdot1=6,@i atd...

Spočtěme si několik prvních členů posloupnosti: @b\begin{array}{rcl} a_1&=& 1^2-1!=0 \\ a_2&=& 2^2-2!=4-2=2\\ a_3&=& 3^2-3!=9-6=3\\ a_4&=&4^2-4! = 16-24=-8 \end{array} @b Vidíme, že @ia_2< a_3 @i, ale @ia_3>a_4@i, posloupnost tedy není ani rostoucí ani klesající.

Rozhodněte, zda je posloupnost @i\, \Bigl\{\frac{n^2+1}{n}\Bigr\}^{\infty}_{n=1} \, @i rostoucí, klesající, nebo ani rostoucí ani klesající.


Výsledek


@ia_{n} = \dfrac{n^2+1}{n}=n+\frac{1}{n} @i. Spočtěme si několik prvních členů posloupnosti: @b\begin{array}{rcl} a_1&=& 2 \\ a_2&=& \frac{5}{2}\\ a_3&=& \frac{10}{3} \end{array} @b Zdá se, že posloupnost by mohla být rostoucí, ověřme tuto skutečnost výpočtem: @b a_{n+1}-a_n = \Bigl(n+1+\frac{1}{n+1}\Bigr) - \Bigl(n+\frac{1}{n}\Bigr) = n+1+\frac{1}{n+1}-n-\frac{1}{n} = 1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n} =1+\frac{n-(n+1)}{n^2+n} = 1-\frac{1}{n^2+n}>0. @b Tedy pro všechna @in \geq 1 @i platí @ia_{n+1}>a_n @i a posloupnost je rostoucí.

Rozhodněte, zda je posloupnost @i\, \bigl\{2^n-n\bigr\}^{\infty}_{n=1} \, @i rostoucí, klesající, nebo ani rostoucí ani klesající.


Výsledek


Spočtěme si několik prvních členů posloupnosti: @b\begin{array}{rcl} a_1&=& 2-1=1 \\ a_2&=& 4-2=2 \\ a_3&=& 8-3=5 \end{array} @b Zdá se, že posloupnost by mohla být rostoucí, ověřme tuto skutečnost výpočtem: @b a_{n+1}-a_n = 2^{n+1}-(n+1)-(2^n-n) = 2^{n+1}-n-1-2^n+n=2^{n+1}-2^n-1 = 2^n(2-1)-1 = 2^n-1>0,@b pro všechna @in \geq 1 @i platí @ia_{n+1}>a_n @i a posloupnost je rostoucí.

Mějme rekurentně zadanou posloupnost @i\  a_{n+1}=a_n+n+1,\ a_1=1.@i Napište vzorec pro @in@i-tý člen této posloupnosti.


Výsledek


@b\begin{array}{rcl} a_1&=& 1 \\ a_2&=& a_1+2 = 1+2 =3 \\ a_3&=& a_2+3 = 1+2+3 = 6 \\ a_4&=&a_3+4= 1+2+3+4 = 10 \\ && \\ a_n&=& 1+2+3+\ldots + n = \dfrac{n\cdot(n+1)}{2} \end{array} @b

Mějme rekurentně zadanou posloupnost @i\  a_{n+1}=n \cdot a_n,\ a_1=3.@i Napište vzorec pro @in@i-tý člen této posloupnosti.


Výsledek

@b\begin{array}{rcl} a_1&=& 3 \\ a_2&=&1\cdot a_1 = 3 \\ a_3&=& 2\cdot a_2 = 2\cdot 3 = 6 \\ a_4&=& 3\cdot a_3= 3\cdot 3\cdot 2 = 3\cdot 3! = 18 \\ a_5&=& 4\cdot a_4= 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2 =3\cdot 4! = 72 \\ && \\ a_n&=& (n-1)\cdot(n-2)\cdot \ldots \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 3 \cdot(n-1)!\end{array} @b