Nerovnice s absolutní hodnotou

Teoretické minimum

Každému reálnému číslu @i\,a\,@i je přiřazeno právě jedno číslo @i\,|a|\,@i takto: 

@b  \begin{array}{l c l} |a|=a &{\rm pro}& a\geq 0, \\[2mm] |a|=-a&{\rm pro}& a<0.\end{array}@b

Toto číslo @i\, |a|\,@i se nazývá absolutní hodnota reálného čísla @i\,a@i.

Užitečná poznámka: Geometrický význam absolutní hodnoty: Číslo @i\,|a|\,@i odpovídá vzdálenosti obrazu čísla @i\,a\,@i na číselné ose od počátku.

Některé vlastnosti absolutní hodnoty reálného čísla  

Pro každé reálné číslo @i\,a\,@i platí: @b\begin{aligned}|a|&\geq 0 \\|a\cdot b|&=|a|\cdot |b|\\\Bigl|\dfrac ab\Bigr|&=\dfrac{|a|}{|b|}\\|-a|&=|a|\end{aligned}@b

Je-li @i\, k\,@i kladné reálné číslo, pro každé @i\,x\in\mathbb{R}\,@i platí:

@i|x|<k\quad@i právě tehdy, když @i\quad x\in(-k,k). @i

Užitečná poznámka: Podívejme se na  geometrický význam předchozí nerovnice @i\ |x-0|<k@i, kde @i\,k>0@i. Je to úloha najít reálná čísla @i\,x@i, jejichž obraz je vzdálen na číselné ose od nuly o méně než @i\,k@i, viz obrázek. 


Podobně platí pro nerovnici @b\ |x-a|<k,@b že hledáme reálná čísla @i\,x@i, pro která platí, že vzdálenost jejich obrazů od obrazu čísla @i\,a\,@i na reálné ose je menší než @i\,k@i. Nejlépe situaci vystihuje následující obrázek.


Řešením nerovnice @i\, |x-a|<k@i je tedy otevřený interval @i\, K=(a-k,k+a)@i.


Související

Funkce absolutní hodnota.


Řešené příklady

  1. Řešte nerovnici s absolutní hodnotou @i\ 5-|x+1|\leq -3 @i s reálnou neznámou @ix.@i
  2. Nerovnici lze upravit na tvar @i 8 \leq |x+1|,@i to jest @i |x-(-1)|\geq 8.@i Nerovnici vyhovují všechna čísla @i\, x\,@i, jejichž obrazy na číselné ose mají vzdálenost od obrazu čísla @i(-1)@i na číselné ose větší nebo rovnu @i\,8.@i

         

    Řešením nerovnice je @i K = (-\infty,-9\rangle\cup\langle 7 ,\infty).@i

  3. Řešte nerovnici @i\ 5+|2-x|\geq |2-5|@i s reálnou neznámou @ix.@i
  4. Nerovnici lze upravit na tvar @i 5+|2-x|\geq 3, @i  to jest @i |2-x|\geq -2,@i ale absolutní hodnota je vždy nezáporné číslo, proto je nerovnice splněna pro všechna reálná @i x @i. Řešením nerovnice je @i K = \mathbb{R}.@i

  5. Řešte nerovnici @i |1-2x|+ \sqrt{36} \leq 2^3 @i s reálnou neznámou @ix.@i
  6. Nerovnici lze upravit následujícím způsobem @b \begin{array}{r c l}|1-2x|+ \sqrt{36} &\leq& 2^3,\\[2mm]\Bigl|-2\cdot\bigl(x-\frac12\bigr)\Bigr|+ 6 &\leq& 8,\\[2mm] |-2|\cdot \Bigl|x-\frac12 \Bigr| &\leq& 2 ,\\[2mm] \Bigl| x -\frac12 \Bigr| &\leq& 1.\end{array}@b Poslední nerovnici vyřešíme nejjednodušeji geometricky pomocí následujícího obrázku. 

    Řešením nerovnice jsou @i x @i, pro která @i \frac 12 - 1 \leq x \leq \frac 12+1 @i, tedy @i K = \Bigl\langle -\frac12, \frac32 \Bigr\rangle .@i


Neřešené příklady

  1. Řešte nerovnici   @i \dfrac{|2+x|-6}{-3}\geq 2 @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i
  2. Řešte nerovnici @i|3+5x|+3>\dfrac74 @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i
  3. Řešte nerovnici @i4.5-|3-x|>\dfrac32 @i s neznámou  @ix\in\mathbb{R}.@i
Last modified: Monday, 15 April 2019, 3:49 PM