Rovnice se separovatelnými proměnnými — obecné řešení
Rovnice se separovatelnými proměnnými — obecné řešení
Teoretické minimum
V této části si popíšeme, jak lze najít obecné řešení diferenciální rovnice @b y' = g(x)h(y),\label{rce}\tag{S} @b sledujíce přesně větu z kapitoly Rovnice se separovatelnými proměnnými — úvod.
Doporučujeme ji k přečtení před tím, než začnete číst tuto část.
Algoritmus na hledání obecného řešení
- Najdeme intervaly, na kterých jsou funkce @i g @i a @i h @i spojité (pro snadný popis algoritmu předpokládejme, že funkce @i g @i je spojitá na intervalu @i (a,b) @i a @i h @i spojitá na intervalu @i (c,d) @i — obecně je třeba postupně uvažovat všechny
intervaly spojitosti funkcí @i g @i a @i h @i). Kartézským součinem intervalů @i (a,b) @i a @i (c,d) @i vznikne obdélník @i \mathcal O = (a,b)\times (c,d) @i, ve kterém budou ležet integrální křivky řešení.
- Najdeme (pokud existují) konstantní řešení, tj. nalezneme nulové body funkce @i h @i na intervalu @i (c,d) @i, tj. položíme @b h(y)=0. @b Pro jednoduchost předpokládejme, že rovnice má jediné řešení @i c_0 @i. Pak funkce @b y_{c_0}(x)=c_0,\ x\in (a,b), @b je konstantním řešením rovnice \eqref{rce} na intervalu @i (a,b) @i (vizte Obrázek C z předchozí kapitoly).
- Graf konstantního řešení @i y_{c_0} @i rozdělil obdélník @i \mathcal O @i na dva menší obdélníky (pokud budeme mít více konstantních řešení, získáme i více obdélníků)
- @i \mathcal O_1 = (a,b)\times (c,c_0) @i
- @i \mathcal O_2 = (a,b)\times (c_0,d) @i
Na každém obdélníku zvlášť (pro jednoduchost zápisu si zvolme např. @i \mathcal O_1 @i) platí věta o existenci a jednoznačnosti řešení a použijeme
-
Algoritmus separace proměnných
Nejdříve si vzpomeňme na definici diferenciálu funkce @i {\rm d}y=y'{\rm d}x @i. Z ní vyjádřeme derivaci @b y' =\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x},@b kterou nahradíme v rovnici @b y' = g(x)h(y). @b Dostaneme @b \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = g(x)h(y). @b Nyní separujeme proměnné (po tomto kroku se celý algoritmus jmenuje metoda separace proměnných) — @i x @i na jednu stranu rovnice a @i y @i na druhou, a to tak, aby diferenciály zůstaly v čitateli @b \frac{1}{h(y)}\,{\rm d}y = g(x)\,{\rm d}x\label{sep}\tag{1}.@b Všimněte si, že dělit funkcí @i h(y) @i smíme, protože je nenulová na obdélníku @i \mathcal O_1 @i. Nyní obě strany \eqref{sep} zintegrujeme @b \int \frac{1}{h(y)}\,{\rm d}y = \int g(x)\,{\rm d}x. @b Označíme-li @i H @i primitivní funkci k @i 1/h @i na intervalu @i (c,c_0) @i a @i G @i primitivní funkci ke @i g @i na intervalu @i (a,b) @i (uvědomte si, že obě primitivní funkce existují, protože funkce @i 1/h @i, resp. @i g @i, je spojitá na @i (c,c_0) @i, resp. na @i (a,b) @i) a vyznačíme-li v rovnici závislost funkce @i y @i na proměnné @i x @i, dostaneme @b H\big(y(x)\big) = G(x) + C\label{res}\tag{2}, @b kde @i C\in\mathbb R @i je integrační konstanta. To je rovnice pro obecné řešení, ze které bychom rádi vyjádřili @i y @i. Jelikož je funkce @i 1/h @i spojitá v @i (c,c_0) @i, je nutně buď kladná, anebo záporná tamtéž. A tudíž funkce @i H @i (jejíž derivace je @i 1/h @i) je rostoucí, anebo klesající, neboli prostá na intervalu @i (c,c_0) @i. Proto k ní na @i (c,c_0) @i existuje funkce inverzní (označme ji @i H^{-1}@i). Pro všechna @i x\in M_C=\{z\in (a,b);\, G(z) + C\in\mathcal D(H^{-1}) \}@i (množina @i M_C @i může záviset na konstantě @i C @i!) můžeme na obě strany rovnice \eqref{res} aplikovat @i H^{-1} @i a dostaneme @b y(x) = H^{-1}\big(G(x) + C\big),\ x\in M_C.@b Problém ovšem je, že množina @i M_C @i nemusí být interval. Proto se do obecného řešení na @i\mathcal O_1 @i berou pouze funkce @b y(x) = H^{-1}\big(G(x) + C\big) @b s definičním oborem intervalem @i (\alpha,\beta)\subset M_C \subset (a,b) @i (pro ilustraci se podívejte na Obrázek A z předchozí kapitoly).
Související
Integrální počet, diferenciál.
Řešený příklad
Protože je dost obtížné představit si výše popsaný algoritmus na hledání obecného řešení, ukážeme si ho na příkladě zmíněném v části Diferenciální rovnice — pojem řešení.
1. Najděte obecné řešení rovnice @b y' = \frac{y}{2\sqrt x}. @b
- Nejprve si uvědomme, že je naše rovnice v separovaném tvaru. Pravá strana je totiž součinem funkcí @i g(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x} @i proměnné @i x @i a @i h(y)=y @i proměnné @i y @i.
- Funkce @i g @i je spojitá na intervalu @i (0,+\infty) @i a @i h @i je spojitá na @i \mathbb R @i. A tak základní obdélník, v němž budou „žít“ všechny integrální křivky, je @i \mathcal O = (0,+\infty)\times \mathbb R @i:
- Položme @i h(y)=y=0 @i. Tato rovnice má jediné řešení @i y = 0 @i. Takže máme jediné konstantní řešení @b y_0(x)=0,\ x\in (0,+\infty). @b
- Graf tohoto konstantního řešení nám rozdělil základní obdélník @i \mathcal O @i na dva menší obdélníky
- @i \mathcal O_1 = (0,+\infty)\times (0,+\infty) @i
- @i \mathcal O_2 = (0,+\infty)\times (-\infty,0) @i
na kterých budeme úlohu řešit (a na kterých platí věta o existenci a jednoznačnosti řešení).
- Dosaďme @i y' =\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} @i do rovnice @i y' = \dfrac{y}{2\sqrt x} @i. Dostaneme @b \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = \frac{y}{2\sqrt x} @b a po separaci proměnných @b \frac{1}{y}\,{\rm d}y = \frac{1}{2\sqrt x}\,{\rm d}x. @b Integrací @b \int\frac{1}{y}\,{\rm
d}y = \int\frac{1}{2\sqrt x}\,{\rm d}x @b získáme rovnici pro obecné řešení @b \ln\big|y(x)\big| = \sqrt x + C, @b kde @i C\in\mathbb R @i je integrační konstanta. Na obě strany rovnice můžeme aplikovat exponenciální funkci @i {\rm e}^z @i, která je
funkcí inverzní k logaritmické funkci @i \ln z @i, a jejímž definičním oborem jsou všechna kladná čísla @b \big|y(x)\big| = {\rm e}^{\sqrt x + C},\ x\in(0,+\infty),C\in\mathbb R. @b Označíme-li @i {\rm e}^C=K @i (uvědomte si, že @i K>0 @i !),
pak @b \big|y(x)\big| = {\rm e}^C {\rm e}^{\sqrt x} = K {\rm e}^{\sqrt x},\ x\in (0,+\infty), K>0. @b K úplné spokojenosti zbývá na levé straně odstranit absolutní hodnotu, k čemuž nám pomůže omezení na jednotlivé obdélníky — na
- @i \mathcal O_1 = (0,+\infty)\times (0,+\infty) @i je @i y>0 @i, a tak @i \big|y(x)\big| = y(x) @i, a tudíž @b y(x) = K {\rm e}^{\sqrt x},\ x\in(0,+\infty), K>0, @b
- @i \mathcal O_2 = (0,+\infty)\times (-\infty,0) @i je @i y<0 @i, a tak @i \big|y(x)\big| = -y(x) @i, a tudíž @b y(x) = -K {\rm e}^{\sqrt x},\ x\in(0,+\infty), K>0. @b
Prohlédneme-li si předpisy pro řešení na @i \mathcal O_1 @i, @i \mathcal O_2 @i a pro konstantní řešení, můžeme zapsat všechna řešení jediným předpisem @b y_{C_1}(x)=C_1 {\rm e}^{\sqrt x},\ x\in(0,+\infty), C_1\in\mathbb R, @b kde
- @i C_1 =K >0 @i na @i \mathcal O_1 @i
- @i C_1 =-K <0 @i na @i \mathcal O_2 @i
- @i C_1 = 0 @i, jde-li o konstantní řešení
Obecným řešením naší rovnice proto je @i \{y_{C_1}(x),x\in (0,+\infty);\,C_1\in\mathbb R\}@i. Pro vybrané volby konstanty @i C_1 @i dostáváme integrální křivky
Užitečná poznámka: Rovnice má jediné řešení dokonce na celém obdélníku @i \mathcal O @i, jelikož je splněna postačující podmínka pro jednoznačnost řešení, a to že funkce @i g @i (tj. @i g(y)=y @i) má spojitou první derivaci na @i\mathbb R@i. Pokud není tato podmínka splněna, může se jednoznačnost řešení na celém obdélníku pokazit, např. rovnice @b y'= 2\sqrt y @b má jediné řešení v každém bodě obdélníku @i \mathbb R\times (0,+\infty) @i a konstantní řešení @i y\equiv 0 @i na @i\mathbb R @i, ale např. v bodě @i (0,0) @i již jediné řešení nemá. Ověřte, že např. funkce @b y_1(x)=\left\{ \begin{array}{rc} 0, & x<0,\\ x^2, &x\geq 0, \end{array} \right.\qquad y_2(x)=0,x\in\mathbb R, @b řeší diferenciální rovnici @i y'= 2\sqrt y @i a jejich grafy procházejí bodem @i (0,0) @i. Ovšem v příkladech, se kterými se při počítání setkáte, se tímto problémem zabývat nemusíte.
Neřešené příklady
- Najděte obecné řešení rovnice @i y'=\dfrac{2y}{x} @i. Nakreslete několik integrálních křivek řešení.
