Logo OPVVV

Teoretické minimum

V této části se naučíme využívat určitý (a nevlastní) integrál k výpočtu:

  1.  plošného obsahu @i S @i obrazce omezeného osou @i x @i, grafem spojité a nezáporné funkce  @i f @i uvažované na intervalu @i [a,b] @i a přímkami danými rovnicemi @i x=a @i a @i x=b @i: @b S=\int_a^b f(x)\,{\rm d}x @b
  2. plošného obsahu @i S @i obrazce omezené grafy spojitých funkcí @i f @i a @i g @i uvažovaných na intervalu @i [a,b] @i, kde platí @i f\leq g @i, a přímkami danými rovnicemi @i x=a @i a @i x=b @i: @b S=\int_a^b \big(g(x)-f(x)\big)\,{\rm d}x @b
  3. objemu @i V @i tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného grafem spojité funkce @i f @i (uvažované na intervalu @i [a,b] @i), osou @i x@i a přímkami danými rovnicemi @i x=a @i a @i x=b @i kolem osy @i x @i: @b V=\pi \int_a^b f^2(x)\,{\rm d}x @b
  4. délky @i l @i křivky (a jako důsledek délky grafu funkce uvažované na intervalu @i [a,b] @i) @i \mathcal K @i dané parametrizací @i \varphi (t)=\big(\varphi_1(t),\varphi_2(t)\big),\ t\in [a,b] @i: @b l=\int_a^b \sqrt{\big(\varphi'_1\big)^2(t)+\big(\varphi'_2\big)^2(t)}\,{\rm d}t = \int_a^b \big\|\varphi'(t)\big\|\,{\rm d}t @b
Užitečná poznámka: Uvědomte si, že ve všech případech je výsledkem nezáporné číslo!


Související

Metody integrace, určitý a nevlastní integrál, Newtonova metoda.


Řešené příklady

1. Určeme plošný obsah @i S @i obrazce ohraničeného grafem funkce @i f(x) = \ln x @i, osou @i x @i a přímkou zadanou rovnicí @i x={\rm e} @i.

Funkce logaritmus je na intervalu @i [1,{\rm e}] @i spojitá a nezáporná:


A tak @b S=\int_1^{\rm e} \ln x\,{\rm d}x =\big[x(\ln x -1)\big]_1^{\rm e}=1,@b kde pro výpočet primitivní funkce odkazujeme na Integraci metodou per partes a substitucí, Př. 2. 


2. Spočtěme plošný obsah @i P @i obrazce ohraničeného grafy funkcí @i f(x)=-x^2+2x @i a @i g(x)=-x @i.

Obě funkce jsou spojité v @i \mathbb R @i. Na obrázku jsme hledaný obrazec označili žlutě:


Integrační meze, což jsou @i x- @iové složky průsečíků grafů funkcí @i f @i a @i g @i, jsme nalezli jako řešení rovnice @b \begin{align*} -x^2+2x&=-x \\ x^2-3x &= 0 \\ x(x-3)&=0\ \Rightarrow\  x_1=0,\ x_2 = 3.\end{align*} @b Proto @b P = \int_0^3 \big(-x^2+2x -(-x)\big)\,{\rm d}x = \int_0^3 (-x^2+3x)\,{\rm d}x=\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2\right]_0^3= -9+\frac{27}{2}=\frac{9}{2}. @b


3. Vypočtěme plošný obsah @i S @i obrazce ohraničeného grafen funkce  @i f(x)=\dfrac{\sqrt x -1}{\sqrt x} @i, osou @i x @i a osou @i y @i.

Definiční obor funkce @i f @i jsou kladná čísla. Na nich je  @i f @i spojitá. Najděme její nulové body — ty nám rozdělí definiční obor na intervaly, kde @i f @i bude mít konstantní znaménko: @b f(x)=0\ \Leftrightarrow\ \sqrt x - 1 = 0\ \Leftrightarrow\ x=1. @b  Proto


Dále, protože @i \lim_{x\rightarrow 0+} f(x)=-\infty @i (zdůvodněte!), půjde o neomezený obrazec (zkuste si ho představu přibližně načrtnout) a k výpočtu musíme použít nevlastního integrálu. Jelikož je graf funkce @i f @i na intervalu @i (0,1] @i pod osou @i x @i (jež je grafem funkce @i g(x) = 0 @i), aplikujeme vzorec pro případ B:   @b S=\int_0^1 \left(0-\frac{\sqrt x -1}{\sqrt x}\right)\,{\rm d}x= -\int_0^1 \left(1-\frac{1}{\sqrt x}\right)\,{\rm d}x = -\big[x-2\sqrt x\big]_0^1= 1-\lim_{x\rightarrow 0+} 2\sqrt x = 1. @b Pokud si uvědomíme, že @b f(x)= \frac{\sqrt x -1}{\sqrt x} = 1-\frac{1}{\sqrt x}, @b což bylo nezbytné pro úspěšné spočtení primitivní funkce, vidíme, že naše funkce je pouze lineární transformací elementární funkce @i \frac{1}{\sqrt x} @i, a proto dokážeme nakreslit obrazec, jehož plošný obsah jsme právě spočetli, přesněji:

Užitečná poznámka: Většinou chceme mít aspoň přibližnou představu o tom, jak obrazec, jehož plošný obsah máme počítat, vypadá. To lze zjistit vyšetřením tzv.  „malého průběhu funkce“, což jsme vlastně udělali na začátku příkladu. Je třeba zjistit, zdali má funkce na intervalu @i I @i, který nás zajímá, nulové body, tj. mění-li znaménko, dále se hodí znát např. hodnoty (popř. limity) v krajních bodech intervalu @i I @i. Prostě vlastnosti, které nestojí mnoho výpočetního času. Např. počítat derivace již není nezbytně nutné.


4. Vypočteme objem tělesa, jež vznikne rotací obrazce ohraničeného grafem funkce @i f(x)=\ln x @i, osou @i x @i a přímkou danou rovnicí @i x={\rm e} @i kolem osy @i x @i.

Těleso vznikne rotací žlutého obrazce kolem osy @i x @i nakresleného v Příkladu 1:

Dosazením do vzorečku z C. počítáme jeho objem @b V= \pi \int_1^{{\rm e}} \ln^2 x\,{\rm d}x= \pi\int_1^{{\rm e}} 1\cdot\ln^2 x\,{\rm d}x= \left|\begin{array}{lll} u=\ln^2 x &\rightarrow &u'=2\frac{\ln x}{x}\\  v'=1 &\rightarrow &v=x\end{array}\right|= \pi\left[ x\ln^2 x - 2\int \ln x\,{\rm d}x\right]_1^{{\rm e}}. @b Integrál funkce @i \ln x @i jsme spočetli v Integrace metodou per partes a substitucí, Př. 2., a tak @b V= \pi\left[ x\ln^2 x - 2x(\ln x -1)\right]_1^{{\rm e}} = \pi\left[ x\big(\ln^2 x - 2(\ln x -1)\big)\right]_1^{{\rm e}} = \pi({\rm e}-2). @b


5. Spočtěme délku @i l @i jednoho oblouku cykloidy dané parametrizací @b \varphi(t)=(t-\sin t,1-\cos t),\ t\in [0,2\pi]. @b

Označíme-li si na kružnici jeden bod (na obrázku červeně), pak cykloida je křivka, kterou kreslí tento bod, pokud valíme kružnici po vodorovné přímce.


Potřebujeme spočítat tečný vektor ke křivce @b \varphi'(t)=(1-\cos t,\sin t),\ t\in [0,2\pi], @b a jeho velikost @b \begin{align*}\big\|\varphi'(t)\big\|&=\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2 t}=\sqrt{1-2\cos t +\cos^2 t + \sin^2 t}=\sqrt{2-2\cos t}=\sqrt 2\sqrt{1-\cos t}\\&=2\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=2\sin \frac{t}{2},\ t\in [0,2\pi],\end{align*} @b (kde jsme v poslední rovnosti využili vzorec pro poloviční úhel @i \sin\dfrac{t}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\cos t}{2}}@i) kterou dosadíme do vzorce pro délku křivky: @b l=\int_0^{2\pi} 2\sin \frac{t}{2}\,{\rm d}t =-4\Big[\cos\frac{t}{2}\Big]_0^{2\pi}= 8. @b

Užitečná poznámka: Vzorec pro výpočet délky křivky (grafu funkce) je tak komplikovaný, že po dosazení je možné jen málokterý integrál explicitně spočítat. Proto lze s výhodou k jeho výpočtu využít nějakou numerickou metodu, vizte Numerickou integraci.


Neřešené příklady

  1. Spočtěte plošný obsah obrazce ohraničeného grafy funkcí @i \dfrac{2}{x+1},\ 2x-1 @i a osou @i y @i.
  2. Vypočtěte objem tělesa, jež vznikne rotací obrazce omezeného grafem funkce @i \dfrac{2}{x+1} @i, osou @i y @i  a přímkou danou rovnicí @i x=1 @i kolem osy @i x @i.
  3. Zjistěte, jaký plošný obsah má obrazec ohraničený grafem funkce @i \dfrac{1-x}{x} @i, přímkami danými rovnicemi @i x=1 @i a @i x={\rm e} @i a osou @i x @i.
  4. Pomocí vzorce pro délku křivky spočtěte délku půlkružnice s poloměrem @i 2 @i.
  5. Vypočtěte plošný obsah neomezeného obrazce ohraničeného grafem funkce @i \dfrac{2}{1-x^2} @i, přímkou danou rovnicí @i x=2 @i  a osou @i x @i.
  6. Spočtěte objem tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného křivkami zadanými rovnicemi @i y^2- x^2 = 4,\ x=2 @i a @i x=-2 @i kolem osy @i  x @i. Vzniklé těleso načrtněte.
  7. Spočtěte plošný obsah obrazce ohraničeného křivkami danými rovnicemi @i y=\dfrac{2x}{1+x^2},\ y=0 @i a @i x=-1 @i.
  8. Vypočtěte objem tělesa, jež vznikne rotací obrazce omezeného grafem funkce @i 1-|x| @i a osou @i x @i, kolem osy @i x @i.
  9. Vypočtěte plošný obsah obrazce ohraničeného grafem funkce @i \dfrac{{\rm e}^{-\sqrt x}}{\sqrt x} @i, osou @i x @i a přímkou danou rovnicí @i x=1 @i.
  10. Jaký je plošný obsah obrazce omezeného grafem funkce @i \dfrac{x^2-x+1}{x-1} @i, osou @i x @i, osou @i y@i a přímkou zadanou rovnicí @i x=1 @i?

Licence CC BY SA

Naposledy změněno: úterý, 14. června 2022, 21.38