Přidej - Matematika: Neřešené příklady

Logo OPVVV

Nakreslete množinu bodů splňující rovnici @i 4x^2+y^2-2y=3 @i. Jelikož se jedná o křivku, najděte nějakou její parametrizaci. Do obrázku pak nakreslete tečný vektor ke křivce v průsečíku křivky s osou @i y @i.

Výsledek

Mějme křivku danou parametrizací @i \varphi_2(t)=\left(\dfrac{1}{t}+1,-t-1\right),\ t\in (-\infty,0) @i. Najděte parametrické rovnice tečny ke křivce v počátku soustavy souřadnic. Tuto tečnu spolu s křivkou zakreslete do jednoho obrázku.

Výsledek

Počátku odpovídá hodnota parametru @i t=-1 @i a tečný vektor @i \vec{v}=(-1,-1) @i, a tak parametrické rovnice tečny jsou @i t_1:\begin{array}{rcl} x & = & - s\\ y & = & - s \end{array},\ s\in \mathbb R @i.

Křivka je grafem funkce @i y=-\dfrac{1}{x-1}-1,\ x\in (-\infty,0) @i, tedy jednou z větví hyperboly.
Nakreslete křivku zadanou parametrizací @i \varphi_3(t)=(4+3\cos t,\sin t),\ t\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right] @i. Dále spočtěte tečný vektor ke křivce v průsečíku křivky s osou @i x @i a zakreslete ho do stejného obrázku jako křivku.

Výsledek

Křivka je polovina elipsy,

průsečík s osou @i x @i je @i (1,0) @i, jemuž odpovídá hodnota parametru @i t=\pi @i a tečný vektor @i \vec{v}=(0,-1) @i.
Nakreslete křivku danou parametrizací @i \varphi_4(t)=(t^3+1,t+2),\ t\in (-\infty,1] @i. Nalezněte předpis funkce proměnné @i x@i, jejímž grafem je daná křivka. Dále spočtěte tečný vektor ke křivce
- v průsečíku křivky s osou @i y @i,
- odpovídající hodnotě parametru @i t=-2 @i.
Oba vektory zakreslete do stejného obrázku jako křivku.

Výsledek

Křivka je grafem funkce @i y=\sqrt[3]{x-1}+2,\ x\in (-\infty,2] @i,

průsečík s osou @i y @i je @i (0,1) @i, odpovídající vektor je @i \vec{u}=(3,1) @i,

parametru @i t=-2 @i odpovídá bod @i (-7,0) @i na křivce a tečný vektor @i \vec{v}=(12,1) @i.
Najděte parametrické rovnice tečny v bodě @i (1,0) @i ke křivce zadané parametrizací @i \varphi_5(t)=(\sqrt t,1-t),\ t\in [0,+\infty) @i. Tečnu i křivku nakreslete do jednoho obrázku.

Výsledek

Křivka je polovina paraboly, tj. popsána jako graf funkce @i y=1-x^2,\ x\in [0,+\infty) @i;

@i t_1:\begin{array}{rcl} x & = & 1 + \dfrac{1}{2}s\\ y & = & - s \end{array},\ s\in \mathbb R. @i

Licence CC BY SA

Naposledy změněno: úterý, 14. června 2022, 21.38