Logo OPVVV

Teoretické minimum

Tečný vektor @i \vec{v} @i ke křivce @i \mathcal K @i v bodě @i T @i je úzce spjat s její parametrizací. Nechť má  křivka @i \mathcal K @i parametrizaci @i \varphi(t)=\big(\varphi_1(t),\varphi_2(t)\big),\ t\in I @i, která má, pro jednoduchost, vlastní derivaci ve všech bodech. Pak tečný vektor @i \vec{v}(t) @i v bodě @i T=\big(\varphi_1(t),\varphi_2(t)\big) @i pro libovolné @i t\in I @i je vektor @b \vec{v}(t)=\varphi'(t):=\big(\varphi_1'(t),\varphi_2'(t)\big) @b umístěný do bodu @i T @i křivky @i \mathcal K @i.
Z geometrického pohledu je nenulový tečný vektor @i \vec{v} @i  směrovým vektorem tečny @i t_1 @i ke křivce @i \mathcal K @i v bodě @i T\in\mathcal K @i.


Užitečná poznámka: Geometrický význam derivace funkce a derivace parametrizace křivky je podobný. Vlastní derivace @i f'(x_0) @i funkce @i  f @i v bodě @i x_0 @i je směrnicí tečny ke grafu funkce @i f @i v bodě@i  \big(x_0,f(x_0)\big) @i. Derivace parametrizace v bodě @i t_0 @i je směrovým vektorem tečny ke křivce @i \mathcal{K} @i v bodě @i \varphi(t_0)=\big(\varphi_1(t_0),\varphi_2(t_0)\big) @i.

Kinematická interpretace

Na křivku @i \mathcal K @i se lze dívat jako na trajektorii, po které se pohybuje hmotný bod. V tomto případě se parametr @i t @i interpretuje jako čas a hodnota parametrizace v bodě @i t @i — @i \varphi(t)=\big(\varphi_1(t),\varphi_2(t)\big) @i — je poloha hmotného bodu na křivce @i \mathcal K @i v čase @i t @i. Tečný vektor @i\vec{v}(t) @i ke křivce @i \mathcal K @i v bodě @i t @i je potom vektor okamžité rychlosti pohybu hmotného bodu v čase @i t @i — @i \vec{v}(t)=\big(\varphi_1'(t),\varphi_2'(t)\big) @i.
Každému pohybu hmotného bodu po křivce @i \mathcal K @i odpovídá jedna její parametrizace, a tedy i jeden tečný vektor. Uveďme si příklad rovnoměrného přímočarého pohybu:

Tři kamarádi @i A,B,C @i cestují z města @i M @i do vesnice @i V @i, které jsou od sebe vzdáleny @i 60 @i km. Cesta je po rovném rovinatém úseku, a tak lze předpokládat, že rychlost pohybu bude konstantní. Kamarád @i A @i jedoucí autem urazí cestu za @i 1 @i h, kamarád @i B @i ji na silničním kole urazí za @i 2 @i h a kamarád @i C @i dojede do vesnice @i V @i na horském kole za @i 3 @i h. Popište pohyb tří kamarádů na cestě a stanovte jejich okamžitou rychlost pomocí terminologie o křivkách.

Nejprve si umístěme město @i M @i a vesnici @i V @i do kartézského systému souřadnic — pro jednoduchost zvolme @i M=(0,0) @i a @i V=(60,0) @i. Pak úsečka @i MV @i je trajektorie (křivka), po níž se budou pohybovat hmotné body (kamarádi) @i A,B,C @i. Cesta autem je nejrychlejší, dvakrát pomalejší je cesta na silničním kole a třikrát pomalejší (než autem) je cesta na horském kole. Vidíme tedy, že parametr (čas) @i t @i bude křivku @i MV @i probíhat nejrychleji v případě @i A @i, dvakrát pomaleji v případě @i B @i a nejpomaleji v případě @i C @i. Parametrizujme pohyb hmotných bodů (každého z kamarádů) — jedná se o parametrizaci úsečky @i MV @i, kde čas @i t @i uvažujeme v minutách: @b \begin{array}{rcl} \varphi_A(t) & = & (t,0),\ t\in [0,60], \\ \varphi_B(t) & = & \left(\frac{t}{2},0\right),\ t\in [0,120], \\ \varphi_C(t)& = & \left(\frac{t}{3},0\right),\ t\in [0,180].\end{array} @b Spočtěme vektory okamžitých rychlostí (tečné vektory ke křivkám) — v tomto případě jsou konstantní: @b \begin{array}{rcl} \vec{v}_A(t) & = & (1,0),\ t\in [0,60], \\ \vec{v}_B(t) & = & \left(\frac{1}{2},0\right),\ t\in [0,120], \\ \vec{v}_C(t)& = & \left(\frac{1}{3},0\right),\ t\in [0,180].\end{array} @b  V libovolném bodě, např. @i T=(1,0) @i, je zakreslíme na trajektorii (aby bylo něco vidět, vektory jsou zakresleny rovnoběžně s cestou):


Všimněte si, že bodu @i T @i odpovídají různé časy dosažení, pro @i A @i je @i t=1 @i, pro @i B @i je @i t=2 @i a pro @i C @i je @i t=3 @i. Podívejme se ještě, kde se bude každý z kamarádů nacházet po jedné minutě jízdy, tj. v čase @i t=1 @i (vektor okamžité rychlosti je opět, pro lepší přehlednost, zakreslen nad cestou):


Související

Derivace funkce 


Řešené příklady

Budeme využívat příklady z tématu Parametrizace rovinných křivek. 

1. Najděme tečný vektor k přímce @i p @i dané parametrizací @i \varphi_p(t)=(1 + 2t,1 + t), \ t\in\mathbb R @i, v libovolném jejím bodě.

Tečný vektor bude v každém bodě stejný, protože @b \vec{v}_p(t)=\varphi_p'(t)=(2,1),\ t\in\mathbb R. @b Je to směrový vektor přímky @i p @i.

2. Najděme tečný vektor ke grafu funkce @i f(x)=\dfrac{1}{x+1},\ x\in (-1,+\infty), @i popsanému parametrizací @b \varphi_f(t)=\left(t,\frac{1}{t+1}\right),\ t\in (-1,+\infty), @b v bodě @i (0,1) @i. Vektor zakresleme spolu s grafem funkce do jednoho obrázku.

Tečný vektor v libovolném bodě grafu funkce je @b \vec{v}_f(t)=\varphi_f'(t)=\left(1,-\frac{1}{(t+1)^2}\right),\ t\in (-1,+\infty). @b Nyní musíme určit, jaké hodnotě parametru @i t @i odpovídá bod @i (0,1) @i. Jelikož  @i x=0 @i a @i x=t @i, vidíme, že @i t=0 @i. Dosadíme tedy @i t=0 @i do tečného vektoru @b \vec{v}=\vec{v}_f(0)=(1,-1) @b a máme výsledek. Ještě obrázek:


Užitečná poznámka: Tečný vektor se vždy umísťuje do bodu na křivce, který odpovídá hodnotě parametru, ve které tečný vektor počítáme. Např. bod @i (0,1) @i odpovídá parametru @i t=0 @i, kterému zas odpovídá tečný vektor @i \vec{v}=(1,-1) @i. Tento vektor tedy umístíme do bodu @i (0,1) @i, což znamená, že vektor bude začínat v bodě @i (0,1) @i a končit v bodě @i (0,1)+\vec{v}=(0,1)+(1,-1)=(1,0) @i (vizte obrázek výše).

3. Spočtěme tečné vektory ke kružnici @i l @i dané parametrizací @i \varphi_l(t) =(3 + 4\cos t,2 + 4\sin t),\ t\in [0,2\pi] @i, pro hodnoty parametru @i t\in\left\{0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\right\} @i. Do jednoho obrázku zakresleme kružnici @i l @i a všechny vypočtené tečné vektory.

Zderivujeme parametrizaci @i \varphi_l'(t)=(-4\sin t,4\cos t),\ t\in [0,2\pi], @i a dosadíme do ní za @i t @i postupně @i 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2} @i. Získáme tečné vektory 
  1. @i t=0:\quad v_1=\varphi_l'(0)=(0,4) @i
  2. @i t=\frac{\pi}{2}:\quad v_2=\varphi_l'\left(\frac{\pi}{2}\right)=(-4,0) @i
  3. @i t=\pi:\quad v_3=\varphi_l'(\pi)=(0,-4) @i
  4. @i t=\frac{3\pi}{2}:\quad v_4=\varphi_l'\left(\frac{3\pi}{2}\right)=(4,0) @i 
Dále dosazením čtyř hodnot parametru @i t @i do parametrizace @i \varphi_l(t) @i získáme body na kružnici, do kterých budeme tečné vektory umisťovat:
  1. @i t=0:\quad A_1=\varphi_l(0)=(7,2) @i
  2. @i t=\frac{\pi}{2}:\quad A_2=\varphi_l\left(\frac{\pi}{2}\right)=(3,6) @i
  3. @i t=\pi:\quad A_3=\varphi_l(\pi)=(-1,2) @i
  4. @i t=\frac{3\pi}{2}:\quad A_4=\varphi_l\left(\frac{3\pi}{2}\right)=(3,-2) @i
Nakonec vše zakreslíme (v obrázku je navíc vyznačeno, jakým hodnotám parametru @i t @i odpovídají body @i A_1,\ldots,A_4 @i): 


4. Spočtěme tečný vektor k části elipsy @i L @i dané parametrizací @i  \varphi(t) =(1+ 2\cos t,1 + \sin t),\ t\in [0,\pi], @i pro hodnotu parametru @i t=\frac{\pi}{2} @i. Do jednoho obrázku nakresleme část elipsy @i L @i a spočtený tečný vektor.

Nejprve si určíme, jakou částí elipsy @i L @i je naše křivka, označme ji @i \mathcal K @i. To zjistíme dosazením několika hodnot parametru @i t @i, např. pro 
  1. @i t=0 @i máme bod @i B_1=(3,1) @i
  2. @i t=\frac{\pi}{2} @i máme bod @i B=(1,2) @i  (to je bod, do kterého umístíme tečný vektor ze zadání) 
  3. @i t=\pi @i máme bod @i B_2=(-1,1) @i
Vidíme, že křivka @i \mathcal K @i je polovina elipsy začínající v bodě @i B_1=(3,1) @i a končící v bodě @i B_2=(-1,1) @i. Dále zderivujeme parametrizaci @i \varphi'(t)=(-2\sin t,\cos t),\ t\in [0,\pi], @i a dosadíme do ní @i t=\frac{\pi}{2} @i. Dostaneme hledaný tečný vektor @b \vec{v}=\varphi'\left(\frac{\pi}{2}\right)=(-2,0). @b Křivku i tečný vektor zakresleme do obrázku: 


5. Nakresleme křivku @i \mathcal L @i, která je částí paraboly @i Q @i dané parametrizací @i \varphi_{\mathcal L}(t) = (t^2+1,t),\ t\in [-1,+\infty) @i. Najděme parametrické rovnice tečny k @i \mathcal L @i v bodě @i (2,1) @i. Do stejného obrázku tuto tečnu zakresleme.

Pro prvotní představu si určeme nějaké body na křivce — začíná v bodě @i (2,-1) @i (odpovídá @i t=-1 @i), prochází bodem @i (1,0) @i (pro @i t=0 @i), @i \ldots @i 
Bodu @i (2,1) @i odpovídá parametr @i t=1 @i (neb @i 1=y=t @i). V něm spočtěme tečný vektor @b \vec{v}= \varphi_{\mathcal L}'(1)=(2\cdot 1,1)=(2,1). @b A proč jsme ho počítali? Protože tečný vektor @i \vec{v} @i je směrovým vektorem hledané tečny! Jelikož parametrické rovnice přímky jsou dány „bodem + směrem“, získáme parametrické rovnice tečny @b t_1:\begin{array}{rcl} x & = & 2 + 2s\\ y & = & 1 + s \end{array},\ s\in \mathbb R. @b Nakonec vše zakreslíme do obrázku: 

Užitečná poznámka: Poznamenejme, že při parametrizaci různých objektů je vhodné používat různá písmenka k označení parametru.

Licence CC BY SA

Naposledy změněno: úterý, 14. června 2022, 21.38