Lagrangeova věta o střední hodnotě diferenciálního počtu

Teoretické minimum

Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu

Lagrangeova věta říká následující: Mějme spojitou funkci @if@i na uzavřeném intervalu @i[a,b]@i, která je diferencovatelná všude na @i(a,b)@i. Potom uvnitř intervalu @i(a,b)@i existuje alespoň jeden bod @ic@i takový, že

@bf'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.@b

Geometrická interpretace Lagrangeovy věty

Lagrangeova věta v podstatě říká, že spojíme-li přímkou body @iA=(a,f(a))@i a @iB=(b,f(b))@i, potom existuje mezi body @ia@i a @ib@i alespoň jeden bod @ic@i takový, že tečna ke grafu funkce @if@i v bodě @iC=(c,f(c))@i je rovnoběžná s přímkou @ip@i. Tato věta má svůj velký význam v důkazové technice zejména v partii vyšetření průběhu funkce.

Fyzikální interpretace Lagrangeovy věty

Budeme-li uvažovat nějakou veličinu, jež se v čase chová podle nějaké hladké funkce, potom existuje moment uvnitř časového intervalu @i(a,b)@i, kdy se okamžitá změna hodnoty této veličiny rovná průměrné změně za celý časový interval @i(a,b)@i. Tomu také odpovídá název "střední hodnota", který v matematice obvykle používáme jako jistou analogii průměrných hodnot. 

Poznámka: Krásná (zjednodušená) formulace této věty je tzv. Opilcova věta. Ta v podstatě říká, že jde-li opilý člověk z hospody domů (za předpokladů, že mezi těmito místy neexistuje žádná překážka, že se opilec nikdy nevrací zpět a domů nakonec dojde), tak existuje alespoň jeden okamžik, kdy jde stejným směrem, jako jeho střízlivý spolubydlící, který jde nejkratší přímou cestou hospoda-domov.

Lagrangeova věta, stejně jako ostatní věty o střední hodnotě diferenciálního počtu (Rolleova a Cauchyho věta), má velký význam v dokazování dalších vět (například L'Hospitalovo pravidlo, či monotonie funkce podle první derivace), ale také pro důkaz vlastností konkrétních funkcí, které jsou ovšem celkem obecně zadány. My se pro tuto chvíli spokojíme s tím, že geometricky rozumíme významu Lagrangeovy věty o střední hodnotě.