Geometrický a fyzikální význam derivace

Teoretické minimum

Geometrický význam derivace

Uvažujme nejprve přímku @ip@i, která protne graf funkce @if@i ve dvou různých bodech @i(x_0,f(x_0))@i a @i(x,f(x))@i (jak je vyznačeno v obrázku), přičemž budeme předpokládat, že v bodě @ix_0@i má @if@i vlastní (tj. konečnou) derivaci. 

Směrnici @ik@i této přímky můžeme určit následovně:

@bk=\mathrm{tg}\ \varphi=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},@b

kde @i\varphi@i je úhel, který svírá přímka @ip@i s kladnou poloosou @ix@i. Vzorec uvedený výše vyplývá z trigonometrických vztahů pro pravoúhlý trojúhelník ("protilehlá" ku "přilehlé").

Čím blíže bude bod @ix@i k bodu @ix_0@i, tím blíže budou k sobě i průsečíky této přímky s grafem funkce @if@i. Limitním přiblížením (pokud je lze provést) @ix\to x_0@i dostáváme směrnici přímky, která je tečnou ke grafu funkce @if@i v bodě  @ix_0@i.

Geometricky je tedy vlastní derivace funkce v bodě @ix_0@i směrnice tečny ke grafu funkce @if@i v bodě @ix_0@i (pokud tečna existuje), viz Tečna ke grafu funkce.

Trochu obtížnější na představu je případ, kdy má funkce @if@i v bodě @ix_0@i nekonečnou derivaci. Příkladem funkce, která má nekonečnou derivaci je například funkce @if(x)=\sqrt[3]{x}@i (a každá další lichá odmocnina), pro kterou je @if'(0)=\infty@i. 

Na obrázku vidíme chování funkce v bodě @ix_0@i a na jeho okolí. Přímka @ip@i, která se "dotýká" grafu @if@i v tomto jediném bodě, je přímka s rovnicí @ix=0@i. Budeme-li kreslit tečny v bodech z blízkého okolí bodu @i0@i, budou úhly, které tyto tečny svírají s kladnou poloosou @ix,@i blíže a blíže úhlu @i90°@i (ale vždy menší než @i90°@i) a směrnice těchto tečen (což jsou derivace v daných bodech) budou blíže a blíže nekonečnu.

Fyzikální význam derivace funkce

Nejznámější fyzikální aplikací derivace funkce je její využití při přímočarém pohybu hmotného bodu (o nepřímočarém pohybu hmotného bodu bude řeč v kapitole Křivky).  Průměrná rychlost hmotného bodu, který urazil vzdálenost @is@i za čas @it@i, je dána vztahem

@b\bar v=\frac{s}{t}.@b

V případě, že se jedná o rovnoměrný přímočarý pohyb, odpovídá průměrná rychlost i rychlosti okamžité. Pro určení okamžité rychlosti nerovnoměrného pohybu použijeme následující úvahu. Označme @is(t)@i funkci dráhy, kterou hmotný bod urazí za čas @it@i. Změna rychlosti za opravdu krátký časový interval @it-t_0@i je velmi malá, proto se dá rychlost považovat za konstantní, a můžeme na její výpočet aplikovat předchozí vzorec, tedy pro @it-t_0@i velmi malé je okamžitá rychlost přibližně rovna

@bv=\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}@b 

a limitně pro @it\to t_0@i tedy okamžitá rychlost odpovídá derivaci dráhy podle času. Obdobnou úvahou se dá odvodit, že okamžité zrychlení odpovídá derivaci okamžité rychlosti podle času, a tudíž je druhou derivací dráhy podle času.