Goniometrické funkce, rovnice a nerovnice

Vyčíslete hodnoty @i\ \sin \frac 56\pi,\ \cos \frac 56\pi,\ \mathrm{tg} \frac 56\pi,\ \mathrm{cotg} \frac 56\pi@i.

Protože úhel @i\,x=\frac 56\pi\,@i je ze II. kvadrantu, musíme najít odpovídající úhel z I. kvadrantu. Platí @i\,\frac 56\pi=\pi-\frac \pi 6@i. Z jednotkové kružnice vyčteme




@b\sin \frac 56\pi=\sin\frac \pi 6=\frac 12.@b Poslední hodnotu známe nazpaměť. Dále @b\cos \frac 56\pi=-\,\cos\frac \pi 6=- \,\frac {\sqrt 3}2,@b @b\mathrm{tg} \,\frac 56\pi=-\,\mathrm{tg}\,\frac \pi 6=-\, \frac{\sqrt 3}3,@b @b\mathrm{cotg} \,\frac 56\pi=-\,\mathrm{cotg}\,\frac \pi 6=-\ \sqrt 3.@b





Nakreslete graf funkce @i\ f(x)=3\cos 2x@i.

Perioda funkce kosinus je @i\,2\pi@i. Funkce @i\,g(x)=\cos 2x\,@i má periodu poloviční, tedy @i\,p=\pi@i. Obor hodnot funce @i\,f\,@i se ztrojnásobí, tedy @i\,\mathcal H(f)=\langle -3,3\rangle@i.




Užitečná poznámka: Nechť @i\,f\,@i  je periodická funkce s periodou @i\,p\,@i, pak funkce  @i\,f(ax), a> 0\,@i má periodu @i\,\dfrac pa@i.





Určete periodu funkce @i\ f(x) = \sin \bigl(3x+\frac{\pi}{4}\bigr)@i.

Funkce sinus má periodu @i2\pi.@i Proto @b f(x) = \sin \bigl(3x+\frac{\pi}{4}\bigr) = \sin \bigl(3x +\frac{\pi}{4} + 2\pi \bigr) = \sin \bigl(3x +\frac{\pi}{4} + 3\cdot\frac{2}{3}\pi \bigr) =  \sin \Bigl(3 \bigl(x +\frac{2}{3}\pi  \bigr) +\frac{\pi}{4} \bigr) =  f\bigl(x +\frac{2}{3}\pi  \bigr).  @b Funkce @if@i je tedy @i\frac23\pi@i-periodická.


Užitečná poznámka: Budeme-li kreslit graf funkce @i\,f(x)=\sin\bigl(3x+\frac \pi 4\bigr)@i, je třeba v argumentu funkce sinus vytknout @i\,3@i. Tedy  @i\,f(x)=\sin\bigl(3 (x+\frac \pi {12})\bigr)@i. Graf funkce sinus posuneme o @i\,\frac \pi{12}\,@i jednotek ve směru osy @i\,x\,@i doleva a poté periodu třikrát zmenšíme, tj. @i\,p=\frac {2\pi}3@i.




Vypočtěte průsečíky grafu funkce @i\ f(x)=\mathrm{cotg}\Bigl(2x+\dfrac \pi2\Bigr)\,@i s osou @i\,x@i.

Průsečík grafu funkce @i\,f\,@i s osou @i\,x\,@i je bod o souřadnicí @i\,(x,0)@i. Tedy musíme vyřešit rovnici @b\mathrm{cotg}\Bigl(2x+\frac \pi2\Bigr)=0. @b Funkce kotangens nabývá nulové hodnoty pro @i\,x=\dfrac \pi2+k\pi,\ k\in\mathbb Z@i. Proto @b 2x+\frac \pi 2=\frac\pi2+k\pi. @b Odtud @i\, x=k\cdot\dfrac \pi2@i. Funkce @i\,f\,@i má nekonečně mnoho průsečíků @b \left(k\cdot\frac\pi2,0\right), \ k\in\mathbb Z@b





Určete, kdy má výraz @i \ \Bigl(\dfrac{\sin(2x)}{\cos^2 x}+2\mathrm{tg}^3\,x\Bigr)\cdot \sin\Bigl(\frac{3\pi}{4}\Bigr)\,@i smysl a zjednodušte ho.

Výraz má smysl, je-li definován @i\, \mathrm{tg}\, x\,@i a zároveň platí @i\, \cos^2x\neq0 @i. Obojí je splněno pro @b x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\:k\in\mathbb{Z}.@b Pro tato @i\,x\,@i platí: @b \Bigl(\dfrac{\sin(2x)}{\cos^2 x}+2\mathrm{tg}^3\,x\Bigr)\cdot \sin\Bigl(\frac{3\pi}{4}\Bigr) = \biggl(\dfrac{\sin(2x)}{\cos^2 x}+2\Bigl(\dfrac{\sin x}{\cos x}\Bigr)^3 \biggr)\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} =\biggl(\dfrac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x}+\dfrac{2\sin^3 x}{\cos^3 x} \biggr)\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} @b Použili jsme definici funkce tangens a  vzorec pro sinus dvojnásobného úhlu. Dále zlomky sečteme (převedeme na společného jmenovatele) a použijeme Pythagorovu větu @i \,\sin^2x+\cos^2x=1@i. @b\biggl(\dfrac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x}+\dfrac{2\sin^3 x}{\cos^3 x} \biggr)\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} =\biggl(\dfrac{2\sin x \cos ^2x+2\sin^3 x}{\cos^3 x} \biggr)\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\biggl(\dfrac{2\sin x (\cos ^2x+\sin^2 x)}{\cos^3 x} \biggr)\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} =\dfrac{\sqrt{2}\sin x }{\cos^3 x} @b




Určete definiční obor funkce @i \ f(x)=\dfrac{\mathrm{tg}\Bigl(2x+\dfrac{\pi}{3}\Bigr)}{2-\sin x }@i.

Nesmíme dělit nulou a tangens je definován, je-li argument různý od @i\, \dfrac{\pi}{2}+k\pi@i. Musí být zároveň splněny podmínky @b\begin{array}{rcl}2-\sin x\neq0 &\wedge & 2x+\dfrac{\pi}{3} \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\\[2mm] 2\neq \sin x& \wedge & 2x \neq \dfrac{\pi}{6}+k\pi\\[2mm] x\in\mathbb R&\wedge & x\neq \dfrac \pi{12}+k\dfrac \pi2 \end{array}@b Funkce sinus nabývá hodnoty z intervalu @i\,\langle -1,1\rangle@i, proto nikdy nenabude hodnoty @i\,2@i. Druhá nerovnost představuje vlastně nekonečně mnoho nerovností @i x \neq \dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{2},\ k\in \mathbb{Z}@i. Tedy @b \mathcal D(f) = \mathbb{R}\setminus\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\Bigl\{ \dfrac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2}\Bigr\}.@b





Řešte v oboru reálných čísel rovnici @i\ \cos x=-\,\dfrac 12@i.

Nejprve určíme @i\,x\,@i z I. kvadrantu, pro které platí @b\cos x=\frac 12.@b Z tabulky víme, že @i\,x=\dfrac\pi 3@i. Kosinus nabývá záporných hodnot ve II. a III. kvadrantu. Dvě základní hodnoty jsou @b x_1=\pi-\frac \pi3=\frac 23\pi,\qquad\qquad x_2=\pi+\frac  \pi3=\frac 43\pi.@b Protože je funkce kosinus @i\,2\pi@i-periodická, bude mít rovnice nekonečně mnoho řešení @b x=\frac 23\pi+2k\pi \quad \vee\quad  x=\frac 43\pi+2k\pi,\ k\in\mathbb Z,\\[2mm] K=\bigcup_{k\in\mathbb Z} \Bigl\{\dfrac 23\pi+2k\pi, \dfrac 43\pi+2k\pi \Bigr\}.@b





Řešte v oboru reálných čísel nerovnici @i\ \mathrm{tg}\left(x+\dfrac \pi 3 \right)>\dfrac{\sqrt 3}3@i.

Nejprve vyřešíme rovnici @b \mathrm{tg}\left(x+\dfrac \pi 3 \right)=\dfrac{\sqrt 3}3.@b Z tabulky víme, že tangens nabývá hodnoty @i\, \dfrac{\sqrt 3}3\,@i pro úhel @i\,\dfrac \pi 6@i a tangens je @i\,\pi@i-periodická funkce. Proto @b \begin{array} {rcl} x+\dfrac \pi 3&=&\dfrac \pi 6+k\pi\\[2mm] x&=&-\,\dfrac \pi6+k\pi.\end{array}@b Nyní nakreslíme graf funkce @i\,f(x)= \mathrm{tg}\left(x+\dfrac \pi 3 \right)@i. Graf funkce tangens posuneme o @i\,\dfrac \pi 3\,@i jednotek ve směru osy @i\,x\,@i doleva. Graf funkce @i\,f\,@i má svislé asymototy @i\,x=\dfrac\pi 6+k\pi,\ k\in\mathbb Z@i. Do stejného obrázku zakreslíme graf konstantní funkce @i\,g(x)=\dfrac {\sqrt 3}3@i, viz následující obrázek:





Máme spočtené @i\,x@i-ové souřadnice průsečíků grafů funkcí @i\,f\,@i a @i\,g@i. Z obrázku vidíme, že řešením dané nerovnice je sjednocení někonečně mnoho intervalů. @bK=\bigcup_{k\in\mathbb Z}\Big\langle -\,\dfrac\pi 6+k\pi,\frac \pi 6+k\pi\Big)@b

Neřešené příklady

Řešte nerovnici @i\ \cos(2x-3)+\pi>0\,@i s reálnou neznámou @i\,x@i.


Výsledek


Nerovnice je splněna pro všechna reálná čísla, @bK =\mathbf{R}.@b

Načrtněte graf funkce @i\ f(x) = \begin{cases}\bigl|1+\mathrm{cotg}(x)\bigr|,&x\in(-\pi,0),\\ \sin(2x),&x\geq 0.\end{cases}@i

Výsledek




Určete definiční obor funkce @i\ f(x) = \sqrt{\cos x} @i.

Výsledek


Máme podmínku @i \cos x\geq 0. @i

@b D(f) = \bigcup_{k\in\mathbf{Z}} \Bigl\langle -\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \Bigr\rangle @b

Graficky určete počet řešení rovnice @i\ 2\cos x = 1-\dfrac{2x}{\pi}.@i

Výsledek


Rovnice má 3 řešení.

Určete, kdy má  výraz  @i\ \dfrac{1}{\sin\bigl(\frac{\pi}{6}\bigr)} + \dfrac{1-(\sin x + \cos x)^2}{\mathrm{cotg}\, x} \ @i smysl a upravte.

Výsledek




Výraz má smysl pro @ix\neq k\frac{\pi}{2},\:k\in\mathbb{Z}.@i @b\dfrac{1}{\sin\bigl(\frac{\pi}{6}\bigr)} + \dfrac{1-(\sin x + \cos x)^2}{\mathrm{cotg} x}= \dfrac{1}{\frac{1}{2}} + \dfrac{1-\sin^2x - 2\sin x \cos x-\cos ^2x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = 2-2\sin^2x = 2\cos^2x.@b