Aritmetická a geometrická posloupnost

Teoretické minimum

Aritmetická posloupnost

V posloupnosti zadané výčtem prvních pěti členů @b -5,-2,1,4,7,\ldots @b je rozdíl každých dvou sousedních členů @i\,3@i. Tedy následující člen je o @i\,3\,@i větší něž předcházející člen, tj.  @b a_{n+1}=a_n+3, \quad a_1=-5 \ .@b Posloupnost daná rekurentním vzorcem  @b a_{n+1}=a_n+d,@b kde čísla @i\,a_1\,@i a  @i\,d\,@i jsou zadána, se nazývá aritmetická posloupnost.  Pro takovou posloupnost je rozdíl každých dvou sousedních členů konstantní, @b a_{n+1}-a_n=d , @b konstanta @i\,d\,@i se nazývá diference aritmetické posloupnosti. Je-li @i\,d>0@i, je posloupnost rostoucí, je-li   @i\,d<0@i, je posloupnost klesající. Přičteme-li k prvnímu členu aritmetické posloupnosti @i\,(n-1)\,@i krát diferenci, obdržíme @i\, n@i-tý člen posloupnosti, tj. vzorec pro @i\,n@i-tý člen aritmetické posloupnosti je @b a_n=a_1+(n-1)\cdot d ,@b kde první člen posloupnosti a diference jsou zadány.

Geometrická posloupnost

V posloupnosti zadané výčtem prvních pěti členů @b -6,12,-24,48,-96,\ldots @b je podíl každých dvou sousedních členů @i\,-2@i. Tedy následující člen je mínus dvojnásobek předcházejícího členu, tj.  @b a_{n+1}=a_n\cdot (-2), \quad a_1=-6 \ .@b Posloupnost daná rekurentním vzorcem  @b a_{n+1}=a_n\cdot q,@b kde čísla @i\,a_1\,@i a  @i\,q\,@i jsou zadána, se nazývá geometrická posloupnost.  Pro takovou posloupnost je podíl každých dvou sousedních členů konstantní, @b \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q , @b konstanta @i\,q\,@i se nazývá kvocient  geometrické posloupnosti. Je-li @i\,q>1@i, je posloupnost rostoucí, je-li   @i\,0<q<1@i, je posloupnost klesající. Násobíme-li  @i\,(n-1)\,@i-krát kvocientem první člen geometrické posloupnosti, obdržíme @i\, n@i-tý člen posloupnosti, tj.  vzorec pro @i\,n@i-tý člen geometrické posloupnosti je @b a_n=a_1\cdot q^{n-1} ,@b kde první člen posloupnosti a kvocient jsou zadány.

Užitečná poznámka: Jsou-li @i a_1, a_2, \dots, a_n@i členy aritmetické posloupnosti s prvním členem @ia_1@i a diferencí @id@i, pak pro jejich součet @is_n@i platí @b s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\frac n2(a_1+a_n)\,. @b Jsou-li @i a_1, a_2, \dots, a_n@i členy geometrické posloupnosti s prvním členem @i a_1@i a kvocientem @iq\neq 1@i, pak pro jejich součet @is_n@i platí @b s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1\cdot \dfrac {q^n-1}{q-1}\,. @b

Související

Úpravy výrazů.

Řešené příklady

Rozhodněte, zda je  posloupnost @i\, \left\{1-\,\dfrac n2\right\}^{\infty}_{n=1}\, @i aritmetická. Pokud ano, určete první člen posloupnosti a diferenci.

Pro aritmetickou posloupnost platí, že rozdíl každých dvou sousedních členů je konstantní. Posloupnost je zadaná vzorcem pro @i\,n@i-tý člen. Potřebujeme znát vzorec pro následující @i\,(n+1)@i-ní člen a rozdíl dvou po sobě jdoucích členů.

@in@i-tý člen posloupnosti: @i\, a_n=1-\dfrac n2=\dfrac{2-n}2@i

@i(n+1)@i-ní člen posloupnosti: @i\, a_{n+1}=1-\dfrac{n+1}2=\dfrac{2-n-1}2=\dfrac {1-n}2@i

rozdíl dvou po sobě jdoucích členů: @i\,a_{n+1}-a_n=\dfrac{1-n}2-\dfrac{2-n}2=\dfrac{1-n-2+n}2= -\,\dfrac {1}2@i

Rozdíl každých dvou sousedních členů nezávisí na @i\,n@i, je konstantní. Posloupnost je aritmetická s diferencí @b d=a_{n+1}-a_n=-\,\dfrac 12 @b a prvním členem @i\,a_1=1-\dfrac 12=\dfrac 12@i.

Užitečná poznámka: Dosaďme  pro kontrolu do vzorce pro @i\, n@i-tý člen aritmetické posloupnosti diferenci a první člen a vzorec upravme.   @b a_n=a_1+(n-1)\cdot d=\dfrac 12+(n-1)\cdot\left(-\,\dfrac 12\right)=\dfrac 12-\dfrac n2+\dfrac 12=1-\dfrac n2 @b  Závislost @i\, n@i-tého členu aritmetické posloupnosti  na @i\,n\,@i je vždy lineární. Rekurentní   vzorec pro tuto posloupnost  je @b a_{n+1}=a_n-\dfrac 12.@b Následující člen posloupnosti obdržíme tak, že od předcházejícího odečteme jednu polovinu. Posloupnost je klesající. 




Rozhodněte, zda je  posloupnost @i\, \left\{\dfrac {n+3}n\right\}^{\infty}_{n=1}\, @i aritmetická. Pokud ano, určete první člen posloupnosti a diferenci.

Pro aritmetickou posloupnost platí, že rozdíl každých dvou sousedních členů je konstantní. Posloupnost je zadaná vzorcem pro @i\,n@i-tý člen. Potřebujeme znát vzorec pro následující @i\,(n+1)@i-ní člen a rozdíl dvou po sobě jdoucích členů.

@in@i-tý člen posloupnosti: @i\, a_n=\dfrac{n+3}n=1+\dfrac 3n@i

@i(n+1)@i-ní člen posloupnosti: @i\, a_{n+1}=\dfrac{n+1+3}{n+1}=1+\dfrac 3{n+1}@i

rozdíl dvou po sobě jdoucích členů: @i\,a_{n+1}-a_n=1+\dfrac 3{n+1}-1-\dfrac 3n=\dfrac{3n-3(n+1)}{n(n+1)}= -\,\dfrac 3{n(n+1)}@i

Rozdíl každých dvou sousedních členů závisí na @i\,n@i, není konstantní. Posloupnost není aritmetická. 




Rozhodněte, zda je  posloupnost @i\, \left\{\dfrac  1{n(n+1)}\right\}^{\infty}_{n=1}\, @i geometrická. Pokud ano, určete první člen posloupnosti a kvocient.

Pro geometrickou posloupnost platí, že podíl každých dvou sousedních členů je konstantní. Posloupnost je zadaná vzorcem pro @i\,n@i-tý člen. Potřebujeme znát vzorec pro následující @i\,(n+1)@i-ní člen a podíl dvou po sobě jdoucích členů.

@in@i-tý člen posloupnosti: @i\, a_n=\dfrac 1{n(n+1)}@i

@i(n+1)@i-ní člen posloupnosti: @i\, a_{n+1}=\dfrac1{(n+1)(n+2)}@i

podíl dvou po sobě jdoucích členů: @i\,\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac {\frac1{( n+1)(n+2)}}{\frac 1{n(n+1)}}=\dfrac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)}= \dfrac n{n+2}@i

Podíl každých dvou sousedních členů závisí na @i\,n@i, není konstantní. Posloupnost není geometrická. 




Rozhodněte, zda je  posloupnost @i\, \left\{\Bigl(\sqrt 2\Bigr)^{n-1}\right\}^{\infty}_{n=1}\, @i geometrická. Pokud ano, určete první člen posloupnosti a kvocient.

Pro geometrickou posloupnost platí, že podíl každých dvou sousedních členů je konstantní. Posloupnost je zadaná vzorcem pro @i\,n@i-tý člen. Potřebujeme znát vzorec pro následující @i\,(n+1)@i-ní člen a podíl dvou po sobě jdoucích členů.

@in@i-tý člen posloupnosti: @i\, a_n=\Bigl(\sqrt 2\Bigr)^{n-1}@i

@i(n+1)@i-ní člen posloupnosti: @i\, a_{n+1}=\Bigl(\sqrt 2\Bigr)^{n}@i

podíl dvou po sobě jdoucích členů: @i\,\dfrac {a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\Bigl(\sqrt 2\Bigr)^{n}}{\Bigl(\sqrt 2\Bigr)^{n-1}}=\Bigl(\sqrt 2\Bigr)^{n-n+1}=\sqrt 2@i

Podíl každých dvou sousedních členů nezávisí na @i\,n@i, je konstantní. Posloupnost je geometrická s kvocientem @b q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\sqrt 2 @b a prvním členem @i\,a_1=\Bigl(\sqrt 2\Bigr)^{1-1}=1@i.

Užitečná poznámka: Dosaďme  pro kontrolu do vzorce pro @i\, n@i-tý člen geometrické posloupnosti kvocient a první člen.   @b a_n=a_1\cdot q^{n-1}=1\cdot \Bigl(\sqrt 2\Bigr)^{n-1} @b V případě, že kvocient @i\, q>0\,@i a zároveň @i\,q\neq 1@i, je závislost @i\, n@i-tého členu geometrické posloupnosti  na @i\,n\,@i exponenciální. Rekurentní   vzorec pro tuto posloupnost  je @b a_{n+1}=a_n\cdot \sqrt 2.@b Následující člen posloupnosti obdržíme tak, že předcházející vynásobíme odmocninou ze dvou. Posloupnost je rostoucí. 




Určete sedmý člen aritmetické posloupnosti, ve které platí  @i\, a_2+a_3=9\,@i a zároveň @i\,a_2\cdot a_3=14.@i

Posloupnost je aritmetická, proto známe vzorec pro @i\,n@i-tý člen @b a_n=a_1+(n-1)\cdot d\,.@b Členy @i\,a_2, a_3\,@i vyjádříme pomocí prvního členu a diference a dosadíme do rovnic ze zadání.

druhý člen aritmetické posloupnosti: @i\, a_2=a_1+(2-1)\cdot d=a_1+d@i 

třetí člen aritmetické posloupnosti: @i\, a_3=a_1+(3-1)\cdot d=a_1+2d@i 

Vztahy pro členy @i\,a_2, a_3\,@i dosadíme do soustavy rovnic a první rovnici upravíme. 

@b\begin{array}{rcl} a_2+a_3&=& 9\\  a_2\cdot a_3 &=&14 \\  \hline \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{rcl} a_1+d+a_1+2d&=& 9\\  (a_1+d)\cdot (a_1+2d) &=&14 \\  \hline \end{array}\qquad\qquad \begin{array}{rcl} 2a_1+3d&=& 9\\  (a_1+d)\cdot (a_1+2d) &=&14 \\  \hline \end{array}@b

Z první rovnice osamostatníme @i\,a_1@i, tj. @b a_{1}=\dfrac{9-3d}{2}@b a dosadíme za něj do druhé rovnice. Rovnice vyřešíme.

@b \begin{array}{r c l} (a_1+d)\cdot (a_1+2d)&=&14\\[2mm] \left(\dfrac{9-3d}{2}+d \right)\cdot \left(\dfrac{9-3d}{2}+2d \right)&=&14 \\[2mm] \dfrac{9-3d+2d}{2}\cdot \dfrac{9-3d+4d}{2}&=&14\ / \cdot 4 \\[2mm]  (9-d)(9+d)&=&56\\[2mm] 81-d^2&=&56\\[2mm] d^2&=&25\ /\, \sqrt{\ \ }\\[2mm] |d|&=&5\\[2mm] d&=&\pm 5 \end{array}@b


Podmínky ze zadání splňují dvě aritmetické posloupnosti. Pro první je diference kladná. Dopočteme první člen a následně sedmý. @b d=5\qquad a_1=\dfrac{9-3\cdot 5}2=-3\qquad a_n=-3+(n-1)\cdot 5\qquad a_7=-3+6\cdot 5=27@b Ve druhém případě je diference záporná. Dopočteme první člen a následně sedmý. @b d=-5\qquad a_1=\dfrac{9-3\cdot (-5)}2=12\qquad a_n=12+(n-1)\cdot (-5)\qquad a_7=12+6\cdot (-5)=-18@b

Užitečná poznámka: Pokud to není náročné, nezapomínejme si výsledek zkontrolovat. V prvním případě je @i\, a_2=-3+5=2\,@i a  @i\, a_3=2+5=7.@i Tedy platí @i\,2+7=9, 2\cdot 7=14@i. Ve druhém případě je @i\, a_2=12-5=7\,@i a  @i\, a_3=7-5=2.@i Tedy platí @i\,7+2=9, 7\cdot 2=14@i. 

Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí  @i\, a_1-a_2+a_3=15\,@i a zároveň @i\,a_4- a_5+a_6=120.@i

Posloupnost je geometrická, proto známe vzorec pro @i\,n@i-tý člen @b a_n=a_1\cdot q^{n-1} \,.@b Členy @i\,a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\,@i vyjádříme pomocí prvního členu a kvocientu a dosadíme do rovnic ze zadání. 

druhý člen aritmetické posloupnosti: @i\, a_2=a_1\cdot q@i 

třetí člen aritmetické posloupnosti: @i\, a_3=a_1\cdot q^2@i atd. 

Vztahy pro členy @i\,a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\,@i dosadíme do soustavy rovnic rovnice upravíme.

@b\begin{array}{rcl} a_1-a_2+a_3&=& 15\\  a_4- a_5+a_6 &=&120 \\  \hline \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{rcl} a_1-a_1\cdot q+a_1\cdot q^2&=& 9\\  a_1\cdot q^3-a_1\cdot q^4+a_1\cdot q^5 &=&120 \\  \hline \end{array}\qquad\qquad \begin{array}{rcl} a_1(1-q+q^2)&=& 15\\  a_1\cdot q^3 (1-q+q ^2) &=&120 \\  \hline \end{array}@b 

Pro soustavu dvou rovnic platí, že poměr levých stran je roven poměru pravých stran rovnic, tj. 

@b \begin{array}{r c l} \dfrac {a_1\cdot q^3 (1-q+q ^2)}{a_1 (1-q+q ^2)}&=& \dfrac {120}{15}\\[2mm] q^3&=&8 \\[2mm] q&=&2 \end{array}@b


Např. dosadíme do první rovnice soustavy za @i\,q=2\,@i a vypočteme @i\,a_1@i.@b \begin{array}{r c l}  a_1(1-2+4)&=& 15 \\[2mm] a_1&=&5 \end{array}@b

Užitečná poznámka: Zkontrolujme výsledek. Spočtěme prvních šest členů geometrické posloupnosti s kvocientem @i\,q=2@i. @b a_1=5,\quad a_2=5\cdot 2=10, \quad a_3=10\cdot 2=20,\quad a_4=20\cdot 2=40,\quad a_5=40\cdot 2=80,\quad a_6=80\cdot 2=160 @b  Tedy platí @i\, 5-10+20=15,\ 40-80+160=120@i.